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【精品一轮 特效提高】2014高考总复习(理数)-题库:1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件


1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

解析:若 a=1,则有|a|=1 是真命题,即 a=1? |a|=1,由|a|=1 可得 a=±1,所以若 | a|=1,则有 a=1 是假命题,即|a|=1? a=1

不成立,所以 a=1 是|a|=1 的充分而不必 要条件. 答案:A 2.已知命题 p:? n∈N,2 >1 000,则綈 p 为( A.? n∈N,2 ≤1 000 C.? n∈N,2 ≤1 000
n n n

).

[来源:学。科。网]

B.? n∈N,2 >1 000 D.? n∈N,2 <1 000
n

n

解析 特称命题的否定是全称 命题.即 p:? x∈M,p(x),则綈 p:? x∈M,綈 p(x).故选 A. 答案 A 3.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 解析:原命题的逆命题是:若一个数的平方是正数,则它是负数. 答案:B 4.已知 α ,β 角的终边均在第一象限,则“α >β ”是“sin α >sin β ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 解析 (特例法)当 α >β 时,令 α =390°,β =60°,则 si n 39 0°=sin 30°= <sin 2 ).
[来源:Zxxk.Com]

)

60°=

3 ,故 sin α >sin β 不成立;当 sin α >sin β 时,令 α =60°,β =390°满 2

足上式,此时 α <β ,故“α >β ”是“sin α >sin β ”的既不充分也不必要条件. 答案 D 【点评】 本题采用了特例法,所谓特例法,就是用特殊值? 特殊图形、特殊位置? 代替题

设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的判断.特例法的理论依 据是:命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真,即普通性寓于特殊性之中. 常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方 法实际是一种“小题小做”的解题策略,对解答某些选择题有时往往十分奏效. 5.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( A.若 a?M,则 b?M B.若 b?M,则 a∈M )

C.若 a?M,则 b∈M D.若 b∈M,则 a?M 解析:因为原命题只与逆否命题是等价命题,所以只需写出原命题的逆否命题即可 .故选 D. 答案:D 6 若实数 a,b 满足 a≥0,b≥0,且 ab=0,则称 a 与 b 互补.记 φ (a,b)= a +b -a-b, 那么 φ (a,b)=0 是 a 与 b 互补的( ).
2 2

A.必要而不充分的条件 B .充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 解析 若 φ (a, b)=0, 即 a +b =a+b, 两边平方得 ab=0, 故具备充分性. 若 a≥0, b≥0,
2 2

ab=0,则不妨设 a=0.φ (a,b)= a2+b2-a-b= b2-b=0.故具备必要性.故选 C.
答案 C 1 x 7.已知集合 A={x∈R| <2 <8},B={x∈R|-1<x<m+1},若 x∈B 成立的一个充分不必要的 2 条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是( A.m≥2 B.m≤2 )

C.m>2 D.-2<m<2 1 x 解析:A={x∈R| <2 <8}={x|-1<x<3} 2 ∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A ∴A?B ∴m+1>3,即 m>2. 答案:C 二、填空题 8.若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范围是________. 解析:x?[2,5]且 x?{x|x<1 或 x>4}是真命题.
? ?x<2或x>5, ?1≤x≤4 ?
[来源:学科网 ZXXK]

由?

得 1≤x<2.

答案:[1,2) 9.已知 p: “a= 2”, q: “直线 x+y=0 与圆 x +(y-a) =1 相切”, 则 p 是 q 的________ 条件. 解析:由直线 x+y=0 与圆 x +(y-a) =1 相切得,圆心(0,a)到直线 x+y=0 的距离等于 |a| 圆的半径,即有 =1,a=± 2.因此,p 是 q 的充分不必要条件. 2 答案:充分不必要 10.设 p:| 4x-3|≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是________. 1 解析 p:|4x-3|≤1? ≤x≤1, 2
2 2 2 2

q:(x- a)(x-a-1)≤0?a≤x≤a+1
1 ? ?a≤ , 由 pq,得? 2 ? ?a+1≥1,

1 解得:0≤a≤ . 2

? 1? 答案 ?0, ? 2 ? ?
11.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ ,有下列四个命题

p1:|a+b|>1?θ ∈?0, p2:|a+b|>1?θ ∈?

? ?

2π ? 3 ? ?

?2π ,π ? ? ? 3 ? ? ?
π?

p3:|a-b|>1?θ ∈?0, ? 3

? ?

? ? p4:|a-b|>1?θ ∈? ,π ?
π ?3 其中真命题的个数是____________. 1 2 2 解析 由|a+b|>1 可得 a +2a?b+b >1,因为|a|=1,|b|=1,所以 a?b>- ,故 θ 2 1 ? 2π ? ? 2π ? 2 2 2 ∈?0, ?.当 θ ∈?0, ?时,a?b>- ,|a+b| =a +2a?b+b >1,即|a+b|>1, 3 3 2 ? ? ? ? 1 2 2 故 p1 正确.由|a-b|>1 可得 a -2a?b+b >1,因为|a|=1,|b|=1,所以 a?b< ,故 2

?π ? θ ∈? ,π ?,反之也成立,p4 正确. ?3 ?
答案 2 12.给出下列命题: ①原命题为真,它的否命题为假; ②原命题为真,它的逆命题不一定为真; ③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真; ④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真; ⑤“若 m>1,则 mx -2(m+1)x+m+3>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题是_____ ___.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)
2

解析:原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错 误,②③正确.又因为不等式 mx -2(m+1)x+m+3>0 的解集为 R,
? ?m>0 由? ?Δ =4? m+1? ? ? ?m>0 ?m>1 ?
2

2

-4m? m+3?

<0

??

? m>1.

故⑤正确. 答案:②③⑤ 三、解答题 13.写出命题“已知 a,b∈R,若关于 x 的不等式 x +ax+b≤0 有非空解集,则 a ≥4b”的 逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. 解析:(1)逆命题:已知 a,b∈R,若 a ≥4b,则关于 x 的不等式 x +a x+b≤0 有非空解集, 为真命题. (2)否命题:已知 a,b∈R,若关于 x 的不等式 x +ax+b≤0 没有非空解集,则 a <4b,为真 命题.
[来源:学科网]

2

2

2

2

2

2

(3)逆否命题:已知 a,b∈R,若 a <4b,则关于 x 的不等式 x +ax+b≤0 没有非空解集,为 真命题. 14.求方程 ax +2x+1=0 的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件. 解析:方程 ax +2x+1=0 有且仅有一负根. 1 当 a=0 时,x=- 适合条件. 2 当 a≠0 时,方程 ax +2x+1=0 有实根, 则 Δ =4-4a≥0,∴a≤1, 当 a=1 时,方程有一负根 x=-1. 1 当 a<1 时,若方程有且仅有一负根,则 x1x2= <0,
2 2 2

2

2

a

∴a<0. 综上,方程 ax +2x+1=0 有且仅有一负实数根的充要条件为 a≤0 或 a=1.
2

15.已知命题 p:?

?x+2≥0, ? ?x-10≤0, ?

命题 q:1-m≤x≤1+m,m>0,若?p 是?q 的必要不充分条

件,求实数 m 的取值范围. 解析:p:x∈[-2,10],q:x∈[1-m,1+m],m>0, ? ∵?p 是?q 的必要不充分条件,∴p? q 且 q/ p. ∴[-2,10]?[1-m,1+m].

m>0, ? ? ∴?1-m≤-2, ? ?1+m≥10.

∴m≥9.

16.已知全集 U=R,非空集合 A={x| 1 (1)当 a= 时,求(?UB)∩A; 2

x-2 x-a2-2 <0},B={x| <0}. x-? 3a+1? x-a

[来源:Zxxk.Com]

(2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 1 5 解析:(1)当 a= 时,A={x|2<x< }, 2 2

B={x| <x< },
1 9 ?UB={x|x≤ 或 x≥ }, 2 4 9 5 (?UB)∩A={x| ≤x< }. 4 2 (2)若 q 是 p 的必要条件,即 p? q,可知 A? B, 由 a +2>a,得 B={x|a<x<a +2}, 1 当 3a+1>2,即 a> 时,A={x|2<x<3a+1}, 3
? ?a≤2 ? 2 ?a +2≥3a+1 ?
2 2

1 2

9 4

1 3- 5 ,解得 <a≤ ; 3 2

1 当 3a+1=2,即 a= 时,A=?,符合题意; 3

1 当 3a+1<2,即 a< 时,A={x|3a+1<x<2}. 3
? ?a≤3a+1 ? 2 ?a +2≥2 ?

1 1 ,解得- ≤a< ; 2 3

1 3- 5 综上,a∈[- , ]. 2 2


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