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2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编3:三角函数


2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 3:三角函数
一、选择题 1 . (2013 年高考大纲卷(文) )已知 a 是第二象限角, sin a ?

A. ?

12 13

B. ?

5 13

C.

5 13

5

, 则cosa ? 13 12 D. 13





【答案】A 2 . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )函数 f ( x) ? (1 ? cos x) sin x 在 [ ?? , ? ] 的图像大致为

【答案】C; 3 . (2013 年高考四川卷(文) )函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ?

的值分别是

( A. 2, ?



?
3

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

? 3
3 b,则角 A 等于______
( )

【答案】A 4 ( .2013 年高考湖南 (文) ) 在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2sinB=

A.

?
3

B.

?
4

C.

?
6

D.

?
12 ) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长
( )

【答案】A 5 . (2013 年高考福建卷(文) )将函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(?

?
2

?? ?

?
2

度后得到函数 g ( x) 的图象,若 f ( x), g ( x) 的图象都经过点 P (0, A.

3 ) ,则 ? 的值可以是 2

5? 3

B.

5? 6

C.

?
2

D.

?
6

【答案】B 6 . (2013 年高考陕西卷(文) )设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A ,

则△ABC 的形状为 A.直角三角形 【答案】A

( B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定



7

. ( 2013

年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 )) 在 ?ABC , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 长 分 别 为

1 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且a ? b, 则?B ? 2 ? ? 2? A. B. C. 3 6 3
【答案】A

( D.



5? 6

8 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 的面

积为 A.2 +2 B. +1 C.2 -2 D. -1





【答案】B 9 . (2013 年高考江西卷(文) ) 若 sin

?
2

?

3 ,则 cos ? ? 3
C.





A. ?

2 3

B. ?

1 3

1 3

D.

2 3

【答案】C 10. (2013 年高考山东卷(文) ) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,

若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ? A. 2 3
【答案】B 11. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )已知 sin2α = ,则 cos (α + )=
2

( C. 2 D.1



B.2





A.
【答案】A

B.

C.

D.

12. (2013 年高考广东卷(文) )已知 sin(

A. ?

2 5

B. ?

1 5

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? 2 5 1 2 C. D. 5 5





【答案】C 13. (2013 年高考湖北卷(文) )将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所

得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.





π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

【答案】B 14. (2013 年高考大纲卷(文) )若函数 y ? sin

??x ? ? ??? ? 0?的部分图像如图,则?=
C. 3 D. 2





A. 5

B. 4

【答案】B

?? ? ? ?? 15. (2013 年高考天津卷(文) )函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上的最小值是 4? ? ? 2?
A. ?1
【答案】B





B. ?

2 2

C.

2 2

D.0

16( .2013 年高考安徽 (文) ) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 b ? c ? 2a,3sin A ? 5sin B ,

则角 C = A.

( B.



?
3

2? 3

C.

3? 4

D.

5? 6

【答案】B

17 .( 2013 年 高 考 课 标 Ⅰ 卷 ( 文 )) 已 知 锐 角

?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为
( D. 5 )

a, b, c , 23cos 2 A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则 b ?
A. 10
【答案】D

B. 9

C. 8

18. (2013 年高考浙江卷(文) )函数 f(x)=sin xcos x+

3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 ( 2
D.2π ,2



A.π ,1
【答案】A

B.π ,2

C.2π ,1

19. (2013 年高考北京卷(文) )在△ABC 中, a ? 3, b ? 5 , sin A ?

1 ,则 sin B ? 3
D.1





A.

1 5

B.

5 9

C.

5 3

【答案】B 20. (2013 年高考山东卷(文) )函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为

【答案】D 二、填空题 21. (2013 年高考四川卷(文) )设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( 【答案】

?
2

, ? ) , 则 tan 2? 的值是________.

3

22 . ( 2013 年高考课标 Ⅱ 卷(文) ) 函数 y ? cos(2x ? ? )(?? ? ? ? ? ) 的图像向右平移

y ? sin(2x ?
【答案】

?
3

? 个单位后 ,与函数 2

)的图像重合,则 | ? |? ___________.

5? 6

23 . ( 2013 年上海高考数学试题(文科) ) 已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c . 若

a2 ? ab ? b2 ? c2 ? 0 ,则角 C 的大小是________(结果用反三角函数值表示).
【答案】

2? 3 1 ,则 cos ? 2x ? 2 y ? ? ________. 3

24. (2013 年上海高考数学试题(文科) )若 cos x cos y ? sin x sin y ? 【答案】 ?

7 9

25. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ?

? ______.

【答案】 ?

2 5 ; 5

26. (2013 年高考江西卷(文) )设 f(x)=

sin3x+cos3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范

围是_____._____
【答案】 a ? 2 三、解答题 27. (2013 年高考大纲卷(文) )设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac .

(I)求 B (II)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

【答案】(Ⅰ)因为 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac ,

所以 a ? c ? b ? ?ac .
2 2 2

a 2 ? c 2 ? b2 1 ?? , 由余弦定理得, cos B ? 2ac 2
因此, B ? 120 .
0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ? C ? 60 ,所以
0

cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C
? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C

? cos( A ? C) ? 2sin A sin C

?

1 3 ?1 ? 2? 2 4 3 , 2
0 0

?

故 A ? C ? 30 或 A ? C ? ?30 , 因此, C ? 15 或 C ? 45 .
0
0

28. (2013 年高考湖南(文) )已知函数 f(x)=

2? ) 的值; 3 1 (2) 求使 f ( x) ? 成立的 x 的取值集合 4
(1) 求 f (
【答案】解: (1) f ( x) ? cos x ? (cos x ? cos

?

? 1 3 1 1 ? sin x ? sin ) ? (sin 2 x ? ? cos 2 x ? ) ? 3 3 2 2 2 4

?

1 ? 1 2? 1 3? 1 1 2? 1 sin( 2 x ? ) ? ? f ( ) ? sin ? ? ? .所以f ( ) ?? ? . 2 6 4 3 2 2 4 4 3 4

(2)由(1)知, [来源:学|科|网 Z|X|X|K]

1 ? 1 1 ? ? sin( 2 x ? ) ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 0 ? (2 x ? ) ? (2k? ? ? ,2k? ) 2 6 4 4 6 6 7? ? 7? ? ? x ? (k? ? , k? ? ), k ? Z .所以不等式的解集是: (k? ? , k? ? ), k ? Z . 12 12 12 12 f ( x) ?
29. (2013 年高考天津卷(文) )在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A ? 3c sin B , a

= 3, cos B ?

2 . 3

(Ⅰ) 求 b 的值;

?? ? (Ⅱ) 求 sin ? 2 B ? ? 的值. 3? ?
【答案】

30. (2013 年高考广东卷(文) )已知函数

? ? ? f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?

(2) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

?? ? ?? ? ? ?? ? f ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ? 3 12 ? ?4? 【答案】(1) ? 3 ?
(2)? cos ? ?

4 3 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?

31. (2013 年高考山东卷(文) )设函数 f ( x) ?

3 ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x (? ? 0) ,且 y ? f ( x) 的图象 2

的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 (Ⅰ)求 ? 的值 (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [? ,
【答案】

?
4

,

3? ] 上的最大值和最小值 2

32. (2013 年高考浙江卷(文) )在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

且 2asinB= 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

【答案】 解:(Ⅰ)由已知得到: 2sin Asin B ?

? 3 , 3sin B ,且 B ? (0, ) ?sin B ? 0 ?sin A ? 2 2

且 A ? (0,

?
2

)? A ?

?
3

;

(Ⅱ)由(1)知 cos A ?

1 ,由已知得到: 2

1 28 36 ? b2 ? c2 ? 2bc ? ? (b ? c)2 ? 3bc ? 36 ? 64 ? 3bc ? 36 ? bc ? , 2 3

所以 S? ABC

?

1 28 3 7 ? ? ? 3; 2 3 2 3
?

33. (2013 年高考福建卷(文) )如图,在等腰直角三角形 ?OPQ 中, ?OPQ ? 90 , OP ? 2

2 ,点 M 在线段

PQ 上.
(1)若 OM ?

3 ,求 PM 的长;

(2)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30? ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面积最小?并求出面积 的最小 值.

【答案】解:(Ⅰ)在 ?OMP 中, ?OPM

? 45? , OM ? 5 , OP ? 2 2 ,

由余弦定理得, OM 2 ? OP 2 ? MP 2 ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? , 得 MP 2 ? 4 MP ? 3 ? 0 , 解得 MP ? 1 或 MP ? 3 . (Ⅱ)设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? , 在 ?OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM ?

OM OP , ? sin ?OPM sin ?OMP

OP sin 45? , sin ? 45? ? ? ? OP sin 45? sin ? 75? ? ? ?
1 ? OM ? ON ? sin ?MON 2

同理 ON ? 故 S ?OMN ?

1 OP 2 sin 2 45? ? ? 4 sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?

?

1 sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?

?

1 ? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? ? 2 ? 2 ?

?

1 3 2 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? 2 2 1 3 1 1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? sin ? 90? ? 2? ? ? ? ? 4 4 1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4 1 3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2

?

?

?

因 为 0? ? ? ? 60? , 30? ? 2? ? 30? ? 150? , 所 以 当 ? ? 30? 时 , sin ? 2? ? 30? ? 的 最 大 值 为 1 , 此 时

?OMN 的面积取到最小值.即 2 ?POM ? 30? 时, ?OMN 的面积的最小值为 8 ? 4 3 .
b. 34. (2013 年高考陕西卷(文) )已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a·

1 2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
b = cos x ? 【答案】(Ⅰ) f ( x) ? a·

1 3 1 ? 3 sin x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 2 6

最小正周期 T ?

2? ?? . 2

所以 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

), 最小正周期为 ? .

(Ⅱ) 当x ? [0,

?
2

]时, (2 x ?

?
6

) ? [-

? 5?
6 , 6

],由标准函数 y ? sin x在[-

? 5?
6 , 6

]上的图像知, .

f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? ? 1 ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2

1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1, ? . 2 ? ? 2

35. (2013 年高考重庆卷(文) )(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 9 分)

在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a2 ? b2 ? c2 ? 3ab . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积,求 S ? 3cos B cos C 的最大值,并指出此时 B 的值.

【答案】

36. (2013 年高考四川卷(文) )在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

3 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin( A ? c) ? ? . 5 (Ⅰ)求 sin A 的值;
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.
【答案】解:(Ⅰ)由 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B ) sin( A ? c) ? ?

??? ?

??? ?

3 得 5

3 cos( A ? B) cos B ? sin(A ? B) sin B ? ? , 5 3 3 则 cos( A ? B ? B) ? ? ,即 cos A ? ? 5 5 4 又 0 ? A ? ? ,则 sin A ? 5 b sin A 2 a b ? (Ⅱ)由正弦定理,有 ,所以 sin B ? , ? a 2 sin A sin B
由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ?

?
4

.

根据余弦定理,有 (4 2 ) 2 ? 5 2 ? c 2 ? 2 ? 5c ? (? ) , 解得 c ? 1 或 c ? ?7 ( 负值舍去),

3 5

2 2 37( .2013 年高考江西卷 (文) ) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.[来 源:学,科,网 Z,X,X,K]
向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ? (1)求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若 C=

??? ?

??? ?

2? 3

,求

a 的值. b
2 2

【答案】解:(1)由已知得 sinAsinB+sinBsinC+1-2sin B=1.故 sinAsinB+sinBsinC=2sin B

因为 sinB 不为 0 ,所以 sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得 a+c=2b,所以 a,b,c 成等差数列
2 2 2 (2)由余弦定理知 c ? a ? b ? 2ac cos C 得 (2b ? a ) ? a ? b ? 2ac cos
2 2 2

2? a 3 化简得 ? 3 b 5

38 . ( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 文 ) ) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 对 应 的 边 分 别 是 a , b , c . 已 知

cos A 2?

3 co Bs? (C ?. ) 1

(Ⅰ)求角 A 的大小;

(Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

【答案】(Ⅰ)由 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 ,得 2cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,

即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ,解得 cos A ? 因为 0 ? A ? π ,所以 A ?

1 或 cos A ? ?2 (舍 去). 2

π . 3

1 1 3 3 ? bc ? 5 3, 得 bc ? 20 . 又 b ? 5 ,知 c ? 4 . (Ⅱ)由 S ? bc sin A ? bc ? 2 2 2 4

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ? 16 ? 20 ? 21, 故 a ? 21 .

b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sin B sin C ? sin A ? sin A ? 2 sin 2 A ? ? ? . a a a 21 4 7
39. (2013 年高考安徽(文) )设函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
3

).

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值,并求使 f ( x) 取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说 明函数 y ? f ( x ) 的图像可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到.

【答案】解:(1)

f ( x) ? sin x ? sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

1 3 3 3 ? sin x ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 2 2 2 2

3 3 ? ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 sin( x ? ) ? 3 sin( x ? ) 2 2 6 6

3? 4? ? 2k? ,? x ? ? 2k? , (k ? Z ) 6 6 2 3 4? 所以, f ( x) 的最小值为 ? 3 ,此时 x 的集合 {x | x ? ? 2k? , k ? Z } . 3
当 sin( x ?

?

) ? ?1 时, f ( x) min ? ? 3 ,此时 x ?

?

?

(2) y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,得 y ? 3 sin x ; 然后 y ? 3 sin x 向左平移

? ? 个单位,得 f ( x) ? 3 sin( x ? ) 6 6
2

f x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ? 40. (2013年高考北京卷(文) )已知函数 (

1 cos 4 x . 2

f x) (I)求 ( 的最小正周期及最大值;
(II)若 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 ( f ?) ?

2 ,求 ? 的值. 2
2

f x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ? 【答案】解:(I)因为 (
=

1 1 cos 4 x = cos 2 x sin 2 x ? cos 4 x 2 2

1 ? 2 ? 2 (sin 4 x ? cos 4 x) = . sin(4 x ? ) ,所以 f ( x) 的最小正周期为 ,最大值为 2 2 2 4 2

(II)因为 ( f ?) ? 所以 4? ?

? 2 ,所以 sin(4? ? ) ? 1 . 4 2

因为 ? ? (

?
2

,? ) ,

?
4

?(

9? 17? ? 5? 9? , ) ,所以 4? ? ? ,故 ? ? . 4 4 4 2 16

41. (2013 年上海高考数学试题(文科) )本题共有 2 个小题.第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 . (1)令 ? ? 1 ,判断函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?
2

) 的奇偶性并说明理由;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再往上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图 6

像.对任意的 a ? R ,求 y ? g ( x) 在区间 [a, a ? 10? ] 上零点个数的所有可能值.

【答案】法一:解:(1) F ( x) ? 2sin x ? 2sin( x ?

?

) ? 2sin x ? 2 cos x ? 2 2 sin( x ? ) 2 4

?

F ( x) 是非奇函数非偶函数.
∵ F (?

?

) ? 0, F ( ) ? 2 2 ,∴ F (? ) ? F ( ), F (? ) ? ? F ( ) 4 4 4 4 4 4

?

?

?

?

?

∴函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?

2

) 是既不是奇函数也不是偶函数.

(2) ? ? 2 时, f ( x) ? 2sin 2 x , g ( x) ? 2sin 2( x ? 其最小正周期 T ? ? 由 2sin(2 x ?

?

) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 6 3

?

? 1 ) ? 1 ? 0 ,得 sin(2 x ? ) ? ? , [来源:学,科,网] 3 3 2 ? k? ? ? k ? ? (?1) k ? ? , k ? Z ∴ 2 x ? ? k? ? (?1) ? , k ? Z ,即 x ? 3 6 2 12 6
区间 ? a, a ? 10? ? 的长度为 10 个周期, 若零点不在区间的端点,则每个周期有 2 个零点; 若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含 3 个零点,其它区间仍是 2 个零点; 故当 a ? 法二:

?

k? ? ? ? (?1) k ? ? , k ? Z 时,21 个,否则 20 个. 2 12 6

42. (2013 年高考辽宁卷(文) )设向量 a ?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(I)若 a ? b .求x的值;
【答案】

(II)设函数 f ? x ? ? a? b, 求f ? x ?的最大值.


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