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【推荐】四川版2016届高三第五次月考 数学(理)


第五次月考数学理试题【四川版】
考试时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 1 设集合 A={1,2,3,5,7},B={x∈Z|1<X≤6},全集 U=A∪B,则 A∩CUB =( ) A 、{1,4,6,7} B、{2,3,7} C、{1,7} D、{1} 2 命题“存在 x0 ? R,使得 2
x x0

? 0”的否定是




x0

A、不存在 x0 ? R, 使得 2 0 >0 C、对任意的 x ? R, 使得 2 ? 0
x

B、存在 x0 ? R, 使得 2

?0
x

D、对任意的 x ? R, 使得 2 >0

3.已知 x, y 的取值如下表所示

x
y

0 2.2 B. 2.6

1 4.3 C.3.36

3 4.8 D.1.95
2

4 6.7 )

? ? 0.95 x ? a ,则 a ? ( 从散点图分析 y 与 x 的线性关系,且 y
A. 2.2

4.在等差数列 {an } 中,已知 a2 与 a4 是方程 x ? 6 x ? 8 ? 0 的两个 根,若 a 4 ? a 2 ,则 a2014 =( )

(A)2012 (B)2013 (C)2014 (D)2015 5.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( ) (A)2 (B)1 (C)

1 2

(D) ?1

6.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是 等腰三角形,则这个几何体的表面积为( ) (A) 2(1 ? 2 3)? ? 4 2 (C) 4(1 ? 3)? ? 4 2 (B) 2(1 ? 3)? ? 4 2 (D) 2(2 ? 3)? ? 4 2

7.有一个正方体的玩具,六个面标注了数字 1,2,3,4,5,6,甲、乙两位学生进行如下游戏:甲 先抛掷一次,记下正方体朝上的数字为 a ,再由乙抛掷一次,朝上数字为 b ,若 a ? b ? 1 就称甲、

乙两人“默契配合”,则甲、乙两人“默契配合”的概率为(

) (D)

1 (A) 9
8.已知函数 f ( x) ?

2 (B) 9

7 (C) 18

4 9

x3 1 2 ? ax ? 2bx ? c 的两个极值分别为 f ( x1 ) 和 f ( x2 ) ,若 x1 和 x2 分别在区间 3 2
b?2 的取值范围为( a ?1
) (D) ? ? ?, ? ? ?1,??? 4

(0,1)与(1,2)内,则 (A) ? ,1?

?1 ? ?4 ?

(B) ? ,1? 4

?1 ? ? ?

(C) ? ? ?, ? ? ?1,???
a b

? ?

1? 4?

? ?

1? ?

9.已知两个实数 a, b(a ? b) ,满足 ae ? be ,命题 p : ln a ? a ? ln b ? b ;命题 q : (a ? 1)(b ? 1) ? 0 。 则下面命题正确的是( ) A. p 真 q 假 B. p 假 q 真 C.
2

p 真q 真
s ? t ?? 2
2

D.

p 假q 假
3

10 . 若 实 数 u, v, s, t满 足 v ? u2 ?3 l n u ( ) B. 2

?

? ??

?0 ,则

?u ? s ?

2

? ?v ? t ? 的 最 小 值 为
2

A. 3 2

C.2

D.4

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。将答案填在题中的横线上。 ) 11.集合 A ? {x | y ? x ?1, x ? R} , B ? { y | y ? 2x ? 1, x ∈ R} ,则 A ? B ? 。

12. 已知圆 C 的圆心为(0,1) ,直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB ? 2 5 ,则 圆 C 的半径为 . 13.如图所示的几何体,是将高为 2、底面半径为 1 的圆柱沿过旋转轴的平 面切开后, 将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体. O1, O 2 ,O2 分别为 AB,BC,DE 的中点,F 为弧 AB 的中点,G 为弧 BC 的中点.则 异面直线 AF 与 GO2 所成的角的余弦值为
' '

x 14. 在 平 面 直 角 坐 标 系 x Oy 中 , 过 定 点 Q ?1, 1 ? 的直线 l 与曲线 C : y ?
???? ???? ???? ? ???? ON ? OQ? MO ? OQ ?


x ?1

交于 M,N 点,则

15、如图,A 是两条平行直线 l1 , l2 之间的一个定点,且 A 到 l1 , l2 的距离分别为 AM ? 1, AN ? 2 ,设

?ABC 的另两个顶点 B,C 分别在 l1 , l2 上运动,且 AB ? AC ,

AB AC ,则 ? cos ?ABC cos ?ACB

以下结论正确的序号是____________. 1 2 ① ?ABC 是直角三角形;② 的最大值为 2 ; ? AB AC ③ (S四边形MBCN )min ? (S?ABC )min ? (S?AMB ? S?ACN )min ;

N

C

l1

A l2 M B

④设 ?AMB 的周长为 y1 , ?ACN 的周长为 y2 ,则 ( y1 ? y2 )min ? 10 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1, an ? (1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)求证:数列 ?an ? 2? 是等比数列; (3)求 an ,并求 ?an ?前 n 项和 Sn

1 an ?1 ? 1(n ? 2) . 2

17.某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m) ,使 ? 与 ? 之 差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大?

18.某次网球比赛分四个阶段,只有上一阶段的胜者,才能参加继续下一阶段的比赛,否则就被淘 汰, 选手每闯过一个阶段, 个人积 10 分, 否则积 0 分. 甲、 乙两个网球选手参加了此次比赛. 已 知甲每个阶段取胜的概率为
1 2 ,乙每个阶段取胜的概率为 . 2 3

(1)求甲、乙两人最后积分之和为 20 分的概率; (2)设甲的最后积分为 X,求 X 的分布列和数学期望.

19.如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,直线 PC⊥平面 ABC,E,F 分别是 PA, PC 的中点。 (I)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明。 (II)设(I)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D,记直线 DF 与平面 ABC 所成的角为 ? ,直线 DF 与直线 BD 所成的角为 ? ,二面角 E ? BD ? C 的大小为 ? ,求证: sin ? ? sin ? sin ? 。

20.设函数 f ( x) ? (m ? 3)ex , g ( x) ? 2ax ? 1 ? b ln x ,其中 m, a, b ? R, 曲线 g ( x) 在 x ? 1 处的切线 方程为 y ? 3 x. (1)求函数 g ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 的图像恒在 g ( x) 图像的上方,求 m 的取值范围; (3)讨论关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) 根的个数.

21. 已知抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的通径长为 4,椭圆 C1 : 且过抛物线 C2 的焦点.

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

(1)求抛物线 C2 和椭圆 C1 的方程;
3 (2) 过定点 M ( ?1, ) 引直线 l 交抛物线 C2 于 A, B 两点(点 A 在点 B 的左侧),分别过 A, B 作抛物线 C2 的 2

切线 l1 , l2 ,且 l1 与椭圆 C1 相交于 P, Q 两点.记此时两切线 l1 , l2 的交点为点 C . ①求点 C 的轨迹方程;

1 ②设点 D(0, ) ,求 ?DPQ 的面积的最大值,并求出此时点 C 的坐标. 4

参考答案
1.C.解:不要错选为 B. 2.D. 3.B 解:计算 y ? 4.5, x ? 2 ,又由公式 a ? y ? b x 得 a ? 2.6 ,选 B

4.C.由题意知, a2 ? a4 ? 6 , a2 ? a4 ? 8 。又 a 4 ? a 2 ,∴ a 4 ? 4 , a 2 ? 2 , ∴d ?

a4 ? a2 ? 1 。∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ,∴ a2014 ? 2014。故选 C。 4?2
1 1 …∴ a ? ?1 ,i ? 2 ;a ? ,i ? 3 ;a ? 2 ,i ? 4 ; 2 1? 2

5. D. 由程序框图知,a ? 2 ,i ? 1 ;a ?

是以 3 为周期循环出现的, 又 2014 ? 3 ? 671 ? 1 ,∴ a ? 2 , i ? 2014 ,∴ a ? ?1 , i ? 2015 当 i ? 2015 时,便退出循环,∴输出 a ? ?1 。 6.B.还原为立体图形是半个圆锥,侧面展开图为扇形的一部分,计算易得。 7.D.甲、乙两人抛掷玩具所有可能的事件有 36 种,其中“甲、乙两人?默契配合?”所包含的基本事件 有: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,3) , (4,4) , (4, 5) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,5) , (6,6) ,共 16 种。 ∴甲乙两人“默契配合”的概率为 P ?

16 4 ? 。∴选 D。 36 9

8.A 详细分析:因为 f ?( x) ? x 2 ? ax ? 2b ,由题意可知:

? f ?(0) ? 2b ? 0, ? ? f ?(1) ? 1 ? a ? 2b ? 0, ? f ?(2) ? 4 ? 2a ? 2b ? 0. ?
画出 a , b 满足的可行域,如图 1 中的阴影部分(不包括边界)所示,

b?2 表示可行域内的点 a ?1

与点 D(1,2)的连线的斜率,记为 k ,观察图形可知, kCD ? k ? k BD ,而 k CD ?

2 ?1 1 ? , 1 ? (?3) 4

k BD ?

2 1 b?2 ?1。 ? 1 ,所以 ? 4 a ?1 1 ? (?1)

9.B 构造函数 y ? xex ,求导画图分析得到 a , b 必须均小于 0 而且一个比-1 大一个比-1 小,所以答案 选B 10.C 因为 ?u ? s ?2 ? ? v ? t ?2 表示点 ? u, v ? 与 ? s, t ? 之间的距离,所以先求 ?u ? s ?2 ? ? v ? t ?2 的最小值.由 ?v ? u2 ? 3ln u ? ? ? s ? t ? 2?2 ? 0 可知 ? ?
2

?v ? ?u 2 ? 3ln u ,即点 ? u, v ? ? ?s ? t ? 2 ? 0

与 ? s, t ? 分别

是曲线 y ? ? x2 ? 3ln x 与直线 x ? y ? 2 ? 0 上的动点, 因此要求 ?u ? s ?2 ? ? v ? t ?2 的最小值, 只要曲线 y ? ? x2 ? 3ln x 上点到直线 x ? y ? 2 ? 0 上点的距离的最小值,如下图所示: 设曲线 y ? ? x2 ? 3ln x 在点 M ? m, n? 处的切线 l? 与直线 l 平行,则 y? ? ?2 x ? ,所以 ?2m ?
3 x 3 ? 1 ,解得 m

1 ? ? ?1? ? 2 3 ,所以点 M 的坐标为 ?1, ?1? ,则点 M 到直线 l 的距离为 d ? ? 2 2 ,所 m ? 1 或 m ? ? (舍) 2 2

以 3 ?u ? s ?2 ? ? v ? t ?2 的最小值为 3 ? 2 2 ? ? 2 .
2

11 . {x | x ? 1} 解 : 集合 A 表示 ( x ?1) 的定义域,集合 B 表示 y ? 2 x ? 1 的值域,取交集为

{x | x ? 1}
12.

6 .解:圆心到直线的距离 d ?

?3?2 3 ?4
2 2

? 1 。∴ R 2 ? (

AB 2

) 2 ? d 2 ? 5 ? 1 ? 6 。∴所求

圆的半径为 6 . 13.

10 10
1 x 1 相当于对函数 f ( x) ? 的图象进行向右平移一个单位,再向上平移一 ?1? x x ?1 x ?1

14. 4 因为 C : y ?

个 单 位 得 到 , 所 以 曲 线 C 的 图 象 关 于 点 Q ?1,1 ? 成 中 心 对 称 , 可 知 Q 是 线 段 MN 的 中 点 , 故
???? ???? ???? ? ???? ???? ???? ???? ? ???? 2 ON ? OQ ? MO ? OQ ? OQ ? ON ? OM ? 2 OQ ? 4 .

?

?

15.①②④由正弦定理得: sinC cosC ? sin Bcos B ,则 sin2C ? sin2B ,又 AB ? AC , B ? C ? , A ?
2

?

?
2



所以①正确;设 ?BAM ? ? (0 ? ? ? ) ,则 ?CAN ? ? ? , AB ?
2 2

?

?

1 2 , MB ? tan? , CN ? 2cot? , , AC ? cos? sin ?



1 2 ? 1 2 ? ? sin? ? cos? ? 2 sin(? ? ) , ( ? )max ? 2 AB AC 4 AB AC 3 2 S四边形MBCN ? (tan? ? 2cot ? ) ? 3 2, S?ABC ? ?2 2 sin 2? 1 S?AMB ? S?ACN ? (4cot ? ? tan ? ) ? 2 ,所以③错误; 2

, 所 以 ② 正 确 ;

sin ? cos 2cos 1 ? sin ? 2(1 ? cos ? ) 2 2? 2 ,令 t ? tan ? (0 ? t ? 1) , y1 ? y2 ? 3 ? ? ? 3? ? ? ? 2 cos? sin ? cos ? sin sin 2 2 2

?

?

?

y1 ? y2 ? 3 ?

t ?1 2 1 ,所以④正确。 ? ? 10 (当 t ? 时取等) 1? t t 2

16.解: (1) a2 ?

1 3 1 7 1 15 a1 ? 1 ? , a3 ? a2 ? 1 ? , a4 ? a3 ? 1 ? . 2 2 2 4 2 8

……3 分

1 1 an ?1 ? 1 (an ?1 ? 2) an ? 2 1 (2) ? 2 ? 2 ? ,又 a1 ? 2 ? ?1 , an ?1 ? 2 an ?1 ? 2 an ?1 ? 2 2

? 数列 ?an ? 2? 是以 ? 1 为首项,
(注:文字叙述不全扣 1 分)

1 为公比的等比数列. 2 1 2

……7 分

(3)由(2)得 an ? 2 ? ?1? ( ) n ?1 , 则an ? 2 ? ( ) n ?1 ,

1 2

……9 分

1 ? ? 1? ?1 ? ( ) n ? 1 ? 1 2 ? ? 1 1 S n ? 2n ? ?1 ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ? ? 2n ? ? ? 2n ? 2 ? ( ) n?1 . ……12 分 1 2 ? 2 ? 2 2 1? 2
17.[详细分析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)

h H H H ,同理: AB ? , BD ? 。 ? tan ? ? AD ? tan ? AD tan ? tan ?
H H h , ? ? tan ? tan ? tan ?

AD—AB=DB,故得

解得 H ?

h tan ? 4 ?1.24 ? ? 124. tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , , tan ? ? ? ? d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? H H ? h H ( H ? h) 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? ? d ? H ( H ? h) d ? d d d H ( H ? h) (当且仅当 d ? H ( H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时,取等号) d? ? 2 H ( H ? h) , d

故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。 18. (1)设“甲、乙两人最后积分之和为 20 分”为事件 A, “甲得 0 分、乙得 20 分”为事件 B ,“甲得 10 分、乙得 10 分”为事件 C ,“甲得 20 分、乙得 0 分”为事件 D ,又 P( B) ? (1 ? )( )2 (1 ? ) ?
1 2 2 3 2 3 2 1 1 2 2 1 , P(C) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? , P( D) ? ( 1 ) 2 (1 ? 1 )(1 ? 2 ) ? 1 , 27 2 2 3 3 18 2 2 3 24

P( A) ? P( B ? C ? D) ? P( B) ? P(C )? P( D) ? P( B) ?

2 1 1 37 ; (6 分) + + = 27 18 24 216
1 2 1 1 1 1 , P( X ? 10) ? (1 ? ) ? , 2 2 2 4

( 2 ) X

的 取 值 可 为 : 0,10,20,30,40 , P( X ? 0) ? 1 ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 20) ? ( ) 2(1 ? ) ? , P( X ? 30) ? ( )3(1 ? ) ? , P( X ? 40) ? ( ) 4 ? 2 2 8 2 16 2 2 16

所以 X 的分布列可为 X
P
1 2 1 4

0
1 2
1 8

10
1 4

20
1 8

30
1 16

40
1 16

数学期望 EX ? 0 ? ? 10 ? ? 20 ? ? 30 ?

1 1 75 (12 分) ? 40 ? ? 16 16 8

19.解: (I) ∵E, F 分别是 PA, PC 的中点, ∴EF∥AC, 而 AC ? 平面 ABC, EF ? 平面 ABC, ∴EF∥

平面 ABC。又 EF ? 平面 BEF,平面 BEF ? 平面 ABC= l ∴EF∥ l ,因此 l ∥平面 PAC。……4 分 (II)如图,过 B 作 AC 的平行线 BD,由(I)知,交线 l 即为直线 BD,且 l ∥AC。 因为 AB 是⊙O 的直径,所以 AC⊥BC,于是 BD ⊥BC。已知 PC⊥平面 ABC,则 PC⊥ BD , 所以 BD ⊥平面 PBC。连接 BE,BF,则 BD ⊥BF。 故∠CBF 就是二面角 E ? BD ? C 的平面角,即∠CBF= ? 。……7 分 连结 CD,因为 PC⊥平面 ABC,所以 CD 就是 FD 在平面 ABC 内的射影, 故∠CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC 所成的角,即∠CDF= ? 。 又 BD⊥平面 PBC,有 BD⊥BF,则∠BDF 为锐角,∠BDF= ? 。……9 分 于是在 Rt△CDF,Rt△BDF,Rt△BCF 中,分别可得 sin ? ? 从而 sin ? sin ? ?

BF CF CF , sin ? ? , sin ? ? , DF DF BF

BF CF CF ? ? ? sin ? , DF BF DF

即 sin ? ? sin ? sin ? .……12 分

b , 则 g '(1) ? 2a ? b ? 3, 又 g (1) ? 2a ? 1 ? 3, x 解得 a ? 1, b ? 1, 所以 g ( x) ? 2 x ? 1 ? ln x.
20.解: (1) g '( x) ? 2a ? (2)由题意, (m ? 3)e x ? 2x ? 1 ? ln x 对一切 x ? 0 恒成立, 分离参数 m 得 m ?

2 x ? 1 ? ln x ?3, ex

1 1 ? ? 2 x ? ln x 2 x ? 1 ? ln x x 令 h( x ) ? , ? 3 ,则 h?( x) ? ex ex 1 令 t ( x) ? 1 ? ? 2 x ? ln x ,探根:令 x ? 1 ,则 t (1) ? 0 , x 1 1 又 t ?( x ) ? ? 2 ? 2 ? ? 0 ,说明函数 t ( x) 过点(1,0) ,且在(0,+∞)上单调递减, x x
其大致图像如图. 观察图像即知,当 x ?(0,1)时, t ( x) ? 0 ;当 x ?(1,+∞)时, t ( x) ? 0 。 又易知 h ?( x ) 与 t ( x) 同号,所以 h( x) 在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减, 即 hmax ( x) ? h(1) ?

3 ?3 ? ? 3 ,故所求 m 取值范围为 ? ? 3, ? ? ? . e ?e ?

(3)由题意,原方程等价于分离参数后的方程 m ? 仍令 h( x) ?

2 x ? 1 ? ln x ?3, ex

2 x ? 1 ? ln x ? 3 ,则由(1)知: h( x) 在(0,1)上 ex
?

h( x) ? ?? ; 单调递增; 在 (1, +∞) 上单调递减。 又当 x ? 0 时,
当 x ? ?? 时, h( x) ? 3 ,即直线 x ? 0 ( y 轴)和 y ? 3 是函

数 h( x) 图像的两条渐近线, 所以 h( x) 的大致图像如图 2,观察图像即知: 当m ?

3 ? 3 或 m ? (??,3] 时,方程 f ( x) ? g ( x) 根的个数为 1; e

当 m ? ? 3,

? ?

3 ? ? 3 ? 时, f ( x) ? g ( x) 根的个数为 2; e ? ? ?

当 m ? ? ? 3, ? ? ? 时, f ( x) ? g ( x) 根的个数为 0. 21.解:(1)根据抛物线的通径长 2p=4,得抛物线 C2 的方程为 x2 ? 4 y. 由题意 C2 焦点坐标为 (0,1) ,所以 b ? 1, e ?

?3 ?e

c b2 3 ? 1? 2 ? ? a ? 2, a a 2

所以椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 =1. . 4
3 3 ? k ( x ? 1) ,即 y ? kx ? (k ? ) . 2 2

(2) ①设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l : y ?

3 ? s2 t2 ? y ? kx ? ( k ? ) 2 2 ? x ? 4kx ? 4k ? 6 ? 0 .设 A( s, ), B (t , ), s ? t. 则 s ? t ? 4k , st ? ?4k ? 6. ? 4 4 2 ? ?x ? 4y
抛物线 y ?

x2 s2 s s s2 t t2 x . y ? ? . 则 l1 : y ? ? ( x ? s ), 即 l1 : y ? x ? , ,同理 l2 : y ? x ? , 4 4 2 2 4 2 4 2

? s s2 y? x? 2 2 ? ? 2 4 ? x ? s ? t ? 2k , y ? s x ? s ? s ? s ? t ? s ? st ? ? k ? 3 . 所以 x ? 2 y ? 3 ? 0 . ? 2 2 2 4 2 2 4 4 2 ?y ? t x? t ? 2 4 ?
因为 l1 与椭圆 C1 相交于 P, Q 两点,

? s s2 y ? x ? 4 ? s4 ? 2 4 ? ( s 2 ? 1) x 2 ? s 3 x ? s ? 4 ? 0 , ? ? (? s 3 ) ? 4( s 2 ? 1)( ? 4) ? 0 , ? 2 4 4 ? x ? y2 ? 1 ? ?4

? 8?4 5 ? x ? 2 ? 5 ? x ? 1? 2 5 . 即 16s ? s ? 16 ? 0 ,所以 0 ? s ? 8 ? 4 5 . ? y ? ? 2 1? 8 ? 4 5 ? x ? 2y ? 3 ? 0 ?
2 4

2

点 C 的轨迹方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0( x ?

1? 2 5 1? 8 ? 4 5

).

②法 1:设 l1 : y ? kx ? b ,带入 C1 :

x2 ? y 2 =1 中得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0 , 4 8kb 4b 2 ? 4 , x x ? , ? 1 ? 0. 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
设 l1 与

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

y 轴交于点 E ,则

S? DPQ ? S? EPD ? S? EDQ ?
?

1 1 1 | ED | (| x1 | ? | x2 |) ? ( ? b) | x1 ? x2 | 2 4 2

1 1 ( ? b) ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2 4

1 1 4k 2 ? b 2 ? 1 …… (*) ? ( ? b) 2 4 1 ? 4k 2
由 l1 : y ? kx ? b 与抛物线 C2 : x ? 4 y 相切得: x 2 ? 4kx ? 4b ? 0 ,故 ? ? 16k 2 ? 16b ? 0 ,
2

所以 k 2 ? ?b ,带入(*)得: S? DPQ ?

1 1 ?b 2 ? 4b ? 1 ? ?(b ? 2) 2 ? 5 2 2
5 . 2

故 b ? ?2 时,此时 ?1 ? 0 成立, ?DPQ 的面积的最大值为

? y ? ? 2 x ? 2, 1? 2 2 10 ? 2 ? 此时直线 l1 : y ? ? 2x ? 2, ? ?x?? ,y?? . 7 7 ? ? x ? 2y ? 3 ? 0
所以此时点 C (?

1 ? 2 2 10 ? 2 ,? ). 7 7

? s s2 y ? x ? 4 ? ? 2 4 ? ( s 2 ? 1) x 2 ? s 3 x ? s ? 4 ? 0 法 2: ? 2 , 4 ? x ? y2 ? 1 ? ?4

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