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1.3.1函数的单调性


画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x

上升 1、从左至右图象上升还是下降 ____?

∞,+∞) 上,随着x的增大,f(x)的值随 2、在区间 (________ 着 ______ 增大 .

画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x2

∞,0]上, f(x) 的值随着 x 的增大而 1 、在区间 (____ 减小 . ______ 2、 在区间 (0,+∞) _____ 上,f(x)的值随着x的增大而 增大 . _____

x f(x)=x2

… -4 -3 -2 -1 0 1 … 16 9 4 1 0 1

2 4

3 4 … 9 16 …

在区间? 0, ? ? ? 上任取两个x1 , x2,得到f ( x1 ) ? x f ( x2 ) ? x ,当x1 ? x2时,有f ( x1 ) ? f ( x2 ),这时我
2 2

2 1

们就说函数f ( x) ? x 在区间? 0, ? ? ? 上是增函数.
2

一、函数单调性定义
1.增函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是增函数.

2.减函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就 说f(x)在区间D上是减函数 .

注意:
1 、函数的单调性是在定义域内的某个区间上 的性质,是函数的局部性质; 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1, x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) ,则 f(x)为增函数 f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数.

二.函数的单调区间定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函 数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,区间D叫 做y=f(x)的单调区间.

y
o x 在(-∞,+∞)是 减函数

y

在(o x

∞,+∞)是
增函数

? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ?

增函数 b ? ? - ? 在? - ?, 2a ? ? 减函数

b ? ? - ?, - ? 在? 2a ? ?

增函数 ? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ? 减函数

例1、下图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在 每个区间上,它是增函数还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数, 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。

三.判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: 1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;

2 作差f(x1)-f(x2);
3 变形(通常是因式分解和配方);

4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性).

思考?
思考:画出反比例函数的图象.

1 这个函数的定义域是什么?
2 它在定义域I上的单调性怎样?证明你 的结论.

1 1 函数 f ( x) ? 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). x

1 证明:函数f(x)= 在(0,+∞)上是减函数 x
证明:设x1,x2是(0,+∞)上任意两个实数, 且x1<x2,则 1 1 x 2 ? x1 ? ? f(x1)- f(x2)= x1 x 2 x1 x 2 由于x1,x2 ? ?0,?? ? 得x1x2>0,又由x1<x2 得x2-x1>0 所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2) 因此 f(x)=
取值 作差 变形

定号

1 x

在(0,+∞)上是减函数。

判断

讨论
1、法二:作商的方法 f ? x1 ? 由x1<x2时, f ? x2 ? 大于或小
y

o

1 f ?x ? ? x
x

于1来比较f(x1)与f(x2) 的 大小,最后得出结论。

2、由图象知:函数在 ?? ?,??? 上不具有单调性。

1 证明函数f ( x) ? x ? 在[1, +?)上是增函数。 x
证明:设x1,x2是[1,+∞)上任意两个实数, 且x1<x2,则 x2 ? x1 1 1 ? x1 ? x2 ? f(x1)- f(x2)= x1 ? ? x2 ?

x1

x2

x1 x2

由于x1,x2 ? 1, ?? ? 得x1x2>1,又由x1<x2 得x1-x2<0
所以f(x1)- f(x2)<0, 即f(x1)< f(x2)

x1 x2 ? 1 1 ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) ? ( x1 ? x2 ) x1 x2 x1 x2

?

1 因此 f(x)= x ? 在[1,+∞)上是增函数。 x

练习: 2x ? 3 证明函数f(x)= 在(-?,1)上为单调增函数。 x ?1

四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断,再利 用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调 性的证明一般分五步:

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

例3.作出函数y =-x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的 的单调区间.
2+ 2 f?x ? = x ?

x +3
8

6

4

2

-1 0

-5

5

10

-2

-4

-6

-8


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