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江苏省扬州市2015届高三高考数学考前指导原创题交流 函数题(丁沟中学)


三道函数题 1. 设函数 f(x)=x +ax ﹣a x+m(a>0) (1)若函数 f(x)在 x∈[﹣1,1]内没有极值点,求实数 a 的取值范围; (2)a=1 时函数 f(x)有三个互不相同的零点,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意的 a∈[3,6],不等式 f(x)≤1 在 x∈[﹣2,2]上恒成立,求实数 m 的取值范围.
3 2 2

/>解题分析 (1)要使函数 f(x)在 x∈[﹣1,1]内没有极值点,只需 f′(x)=0 在[﹣1,1]上没有实根即可, 即 f′(x)=0 的两根 x=﹣a 或 x= 不在区间[﹣1,1]上; (2)a=1 时,f(x)=x +x ﹣x+m,f(x)有三个互不相同的零点,即 m=﹣x ﹣x +x 有三个 互不相同的实数根,构造函数确定函数的单调性,求函数的极值,从而确定 m 的取值范围; (3)求导函数,来确定极值点,利用 a 的取值范围,求出 f(x)在 x∈[﹣2,2]上的最大值, 再求满足 f(x)≤1 时 m 的取值范围. 解: (1)∵f(x)=x +ax ﹣a x+m(a>0) ,∴f′(x)=3x +2ax﹣a , 2 2 ∵f(x)在 x∈[﹣1,1]内没有极值点,∴方程 f′(x)=3x +2ax﹣a =0 在[﹣1,1]上没有实数根, 由△ =4a ﹣12×(﹣a )=16a >0,二次函数对称轴 x=﹣ <0, 当 f′(x)=0 时,即(3x﹣a) (x+a)=0,解得 x=﹣a 或 x= ,
2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2



,或 <﹣1(a<﹣3 不合题意,舍去) ,解得 a>3,

∴a 的取值范围是{a|a>3}; (2)当 a=1 时,f(x)=x +x ﹣x+m, ∵f(x)有三个互不相同的零点, ∴f(x)=x +x ﹣x+m=0,即 m=﹣x ﹣x +x 有三个互不相同的实数根. 3 2 令 g(x)=﹣x ﹣x +x,则 g′(x)=﹣(3x﹣1) (x+1) 令 g′(x)>0,解得﹣1<x< ;令 g′(x)<0,解得 x<﹣1 或 x> , ∴g(x)在(﹣∞,﹣1)和( ,+∞)上为减函数,在(﹣1, )上为增函数, )= ;
3 2 3 2 3 2

∴g(x)极小=g(﹣1)=﹣1,g(x)极大=g( ∴m 的取值范围是(﹣1, ) ;

(3)∵f′(x)=0 时,x=﹣a 或 x= , 且 a∈[3,6]时, ∈[1,2],﹣a∈(﹣∞,﹣3]; 又 x∈[﹣2,2],∴f′(x)在[﹣2, )上小于 0,f(x)是减函数;

f′(x)在( ,2]上大于 0,f(x)是增函数; ∴f(x)max=max{f(﹣2) ,f(2)}, 2 而 f(2)﹣f(﹣2)=16﹣4a <0, 2 ∴f(x)max=f(﹣2)=﹣8+4a+2a +m, 又∵f(x)≤1 在[﹣2,2]上恒成立, ∴f(x)max≤1,即﹣8+4a+2a +m≤1, 2 即 m≤9﹣4a﹣2a ,在 a∈[3,6]上恒成立 2 ∵9﹣4a﹣2a 在 a∈[3,6]上是减函数,最小值为﹣87 ∴m≤﹣87, ∴m 的取值范围是{m|m≤﹣87}.
2

2、已知函数 f(x)=cos(x﹣

) ,g(x)=e ?f′(x) ,其中 e 为自然对数的底数.

x

(Ⅰ)求曲线 y=g(x)在点(0,g(0) )处的切线方程; (Ⅱ)若对任意 x∈[﹣ (Ⅲ)试探究当 x∈[ ,0],不等式 g(x)≥x?f(x)+m 恒成立,求实数 m 的取值范围; , ]时,方程 g(x)=x?f(x)的解的个数,并说明理由.
x 0

解题 (Ⅰ)化简 f(x)=sinx,g(x)=e cosx,g(0)=e cos0=1;从而由导数的几何意义写 分析: 出切线方程; (Ⅱ)对任意 x∈[﹣ (x)]min,x∈[﹣ ,0],不等式 g(x)≥x?f(x)+m 恒成立可化为 m≤[g(x)﹣x?f ,0],从而设 h(x)=g(x)﹣x?f(x) ,x∈[﹣ ,0],转化为函

数的最值问题求解. (Ⅲ)设 H(x)=g(x)﹣x?f(x) ,x∈[ 判定定理求解函数的零点的个数. , ];从而由函数的单调性及函数零点的

解: (Ⅰ)由题意得, x 0 f(x)=sinx,g(x)=e cosx,g(0)=e cos0=1; x g′(x)=e (cosx﹣sinx) ,g′(0)=1; 故曲线 y=g(x)在点(0,g(0) )处的切线方程为 y=x+1;

(Ⅱ)对任意 x∈[﹣

,0],不等式 g(x)≥x?f(x)+m 恒成立可化为 ,0], ,0],
x x

m≤[g(x)﹣x?f(x)]min,x∈[﹣ 设 h(x)=g(x)﹣x?f(x) ,x∈[﹣
x

则 h′(x)=e (cosx﹣sinx)﹣sinx﹣xcosx=(e ﹣x)cosx﹣(e +1)sinx, ∵x∈[﹣
x

,0],
x

∴(e ﹣x)cosx≥0, (e +1)sinx≤0; 故 h′(x)≥0, 故 h(x)在[﹣ 故当 x=﹣ 故 m≤﹣ ,0]上单调递增, )=﹣ ;

时,hmin(x)=h(﹣ ;

(Ⅲ)设 H(x)=g(x)﹣x?f(x) ,x∈[ 则当 x∈[
x



];



]时,
x x

H′(x)=e (cosx﹣sinx)﹣sinx﹣xcosx=(e ﹣x)cosx﹣(e +1)sinx<0, 故 H(x)在[ , ]上单调递减, , ]上至多有一个零点;

故函数 H(x)在[

又 H( H(

)= )=﹣

( < 0; ,



)>0,

且 H(x)在[

]上是连续不断的, , ]上有且只有一个零点.

故函数 H(x)在[

3.已知函数 . (I)若 f(x)为定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (II)当 m=1,且 1≥a>b≥0 时,证明: 解: (I) f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? mx ? ∴ f ' ( x) ? .

1 1 ln(1 ? 2 x) ? mx ( x ? ? ) , 2 2

1 ? m ……2 分 1 ? 2x 1 1 对x ?? , ? 0 ,故不存在实数 m, 2 1 ? 2x 1 1 使 f ' ( x) ? ? m ? 0 对 x ? ? 恒成立, 1 ? 2x 2 1 1 由 f ' ( x) ? ? m ? 0 对 x ? ? 恒成立得, 1 ? 2x 2 1 1 对 x ? ? 恒成立 m ≥? 1 ? 2x 2 1 而? <0,故 m≥0 1 ? 2x 1 1 经检验,当 m≥0 时, f ' ( x) ? ? m ? 0 对 x ? ? 恒成立 1 ? 2x 2
∴当 m≥0 时,f(x)为定义域上的单调递增函数. (II)当 m = 1 时,令 g ( x) ? f ( x) ?

4 1 1 x ? ln(1 ? 2 x) ? x 3 2 3

g ' ( x) ?

1 1 2(1 ? x) ? ? , 1 ? 2 x 3 3(1 ? 2 x)

在[0,1]上总有 g ' ( x ) ≥0,即 g ( x) 在[0,1]上递增

∴当 0 ? b ? a ? 1 时, g (a) ? g (b) ,

4 4 f (a) ? f (b) 4 a ? f (b) ? b ? ? ① 3 3 a?b 3 1 令 h( x) ? f ( x) ? 2 x ? ln(1 ? 2 x) ? x , 2 1 ? 2x h ' ( x) ? ?1 ? ? 0 ,知 h(x)在[0,1]上递减,∴ h(a ) ? h(b) 1? 2x 1? 2x f (a ) ? f (b) ? 2② 即 f (a ) ? 2a ? f (b) ? 2b ? a ?b 4 f (a ) ? f (b) ? 2. 由①②知,当 0 ? b ? a ? 1 时, ? 3 a?b
即 f (a) ?


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