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2012年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷(数学)word版有答案


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ









考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分。考试 时间为 120 分钟。考试结束后,请

将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置 作答一律无效。 参考公式: 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 1 棱锥的体积 V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高.
3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........
4 6} 1.已知集合 A ? {1 ,2 ,4} , B ? {2 , , ,则 A ? B ?

▲ .

2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中 抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生.
b 3.设 a , ? R , a ? b i ?
11 ? 7i 1 ? 2i

(i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值

开始 k←1



▲ .

4.右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ . 5.函数 f ( x ) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为 ▲ . 6.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ? 3 为公比的 等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ . 结束 (第 4 题) k2-5k+4>0 Y 输出 k N k←k +1

第 1 页(共 12 页)

7.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm , D1 则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为 ▲ cm3. 8.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 为 5 ,则 m 的值为 ▲ . D 9.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 ,BC ? 2 , 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是 ▲ . E
1] 10.设 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [ ? 1 , 上,

C1 B1

A1

x

2

?

y
2

2

D
? 1 的离心率

C B

m

m ?4

A (第 7 题) F

C

??? ?

????

??? ?

??? ?

? ax ? 1 ,? 1 ≤ x ? 0 , B ? ?1? ?3? A f ( x ) ? ? bx ? 2 b 其中 a , ? R .若 f ? ? ? f ? ? , , ≤ x ≤ 1, 0 ?2? ?2? ? (第 9 题) ? x ?1

则 a ? 3b 的值为 ▲ . 11.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?
? ? ?? 4 ? ? 4 ? ? ? ,则 sin ? 2? ? ? ? 的值为 6? 5 12 ? 5 ?

▲ .

12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以 该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ .
b ? 13 . 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? b ( a , ? R ) 的值域为 [ 0 , ? ) ,若关于 x 的不等式 f ( x ) ? c 的解 集 为
( m , ? 6) ,则实数 c 的值为 m

▲ .
b a

c 14.已知正数 a ,b ,c 满足: 5 c ? 3 a ≤ b ≤ 4 c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则

的取值范围是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或 ....... 演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ? ABC 中,已知 AB ? AC ? 3 BA ? BC . (1)求证: tan B ? 3 tan A ; (2)若 cos C ?
5 5 , 求 A 的值.

??? ???? ?

??? ??? ? ?

第 2 页(共 12 页)

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1B1 ? A1C1 , D ,E 分别是棱 BC , 1 上的点(点 D 不同于点 C) , CC 且 AD ? DE ,F 为 B1C1 的中点. 求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE.
A1 C1

F

B1

E

A D B (第 16 题) 17. (本小题满分 14 分)

C

如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐 标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由. y(千米)
1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有
2 2

O

(第 17 题)

x(千米)

18. (本小题满分 16 分) 已知 a,b 是实数,1 和 ? 1 是函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值;
第 3 页(共 12 页)

(2)设函数 g ( x ) 的导函数 g ?( x ) ? f ( x ) ? 2 ,求 g ( x ) 的极值点; (3)设 h ( x ) ? f ( f ( x )) ? c ,其中 c ? [ ? 2 ,2] ,求函数 y ? h ( x ) 的零点个数.

19. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 知 (1 ,e ) 和 ? e , ?
? ?
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ( ? c , , F2 ( c , .已 0) 0)

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2 ? ?

y (1)求椭圆的离心率; (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P. (i)若 AF1 ? BF2 ?
6

A P
F1

B
F2

O

x

2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.

,求直线 AF1 的斜率;

(第 19 题)

20. (本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个数列 {a n } 和 {bn } 满足: a n ?1 ?
a n ? bn a n ? bn
2 2

,n ? N .

?

(1)设 bn ?1

?? b ?2 ? ? ? ?1? ,n ? N ,求证:数列 ? ? n ? ? 是等差数列; an ?? an ? ? ? ?
bn
?

(2)设 bn ?1 ? 2 ?

bn an

,n ? N ,且 {a n } 是等比数列,求 a 1 和 b1 的值.

?

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数学Ⅱ(附加题) 21.【选做题】 本大题包括 A、B、C、D 四小题,请选定期中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多 ..................... 做,则按作答的前两小题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A. [选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, D , E 为圆 O 上位于 AB 异侧 的 两 点 , 连 结 BD 并 延 长 至 点 C , 使 BD ? DC , 连 结
A C, A E D E , .

求证: ? E ? ? C .

? 1 ?- 4 ?1 已知矩阵 A 的逆矩阵 A = ? ? 1 ? 2 ?

? 4 ? ? ,求矩阵 A 的特征值. 1 ? 2 ? ? 3

B. [选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)

第 5 页(共 12 页)

? ? 3 ? ? ? ? 在坐标系中,已知圆 C 经过点 P ? 2 , ? ,圆心为直线 ? sin ? ? , ? ? ? ? 与极轴的交点,求圆 C 3? 2 4? ? ?
的极坐标方程.

C. [选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分)

已知实数 x , y 满足: x ? y ?

1 3

, 2x ? y ?

1 6

, 求证: y ?

5 18

.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤。

22.(本小题满分 10 分) 设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时, ? ? 0 ;当两条棱平 行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时 ? ? 1 . (1) 求概率 p (? ? 0) (2) 求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

23. (本小题满分 10 分)
2 … 设集合 Pn ? {1 , , ,n} , n ? N ? .记 f ( n ) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数:

① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2 x ? A ;③若 x ? ? P A ,则 2 x ? ? P A .
n n

(1)求 f (4) ; (2)求 f ( n ) 的解析式(用 n 表示) .

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第 7 页(共 12 页)

第 8 页(共 12 页)

第 9 页(共 12 页)

第 10 页(共 12 页)

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