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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第一章第二节集 合


新课标 ·理科数学(广东专用)

第二节
自 主 落 实 · 固 基 础




高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业





新课标 ·理科数

学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

1.集合的基本概念

确定性 互异性 (1)集合中元素的三个特性:________、___________、
无序性 _____________. (2)元素与集合的关系:属于或不属于.

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列举法 (3)集合的三种表示方法:________、描述法、 Venn图法 ____________.

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2.集合间的基本关系
x∈B (1)子集:若对?x∈A,都有_______,则A?B或B?A. ?x∈B,且x?A (2)真子集:若A?B,但_________________,则A 或B?A. (3)相等:若A?B,且_______,则A=B. B?A B

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任何 任何非空 (4)空集的性质:?是______集合的子集,是__________ 集合的真子集.
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3.集合的基本运算
并集 符号 表示 A∪B _________ 交集 A∩B _________ 补集 若全集为U,则集合A ?UA 的补集为_________

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图形 表示

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并集 意义 {x|x∈A, _______________
_______________

交集 {x|x∈A, _______________

补集 ?UA= {x|x∈U,且 ________________ _____________ x?A}

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或x∈B}

且x∈B} _______________
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1.集合A={y|y=x2+1},B={(x,y)|y=x2+1}是否是 相同的集合? 【提示】 集合A,B不同,集合A={y|y=x2 +1}=

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{y|y≥1}是数集,表示函数y=x2+1的值域;集合B是点集,
表示抛物线y=x2+1上所有点组成的集合.
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2.若全集U=A∪B,则?UB=A成立吗?
【提示】 ?UB≠A. 当A∩B=?时,? UB=A;当A∩B≠?时,

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1.(人教A版教材习题改编)若集合M={x∈ N|x≤ 10},a=2 2,则下面结论中正确的是( A.{a}?M B.a?M C.{a}∈M D.a?M

)

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【解析】 ?M.
【答案】

∵M={x∈N|x≤ 10}={0,1,2,3},∴a
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D





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2.(2012·广东高考)设集合U={1,2,3,4,5,6},M
={1,2,4},则?UM=( A.U C.{3,5,6} 【解析】 ) B.{1,3,5} D.{2,4,6}

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∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,

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4}, ∴?UM={3,5,6}.
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【答案】

C





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3.若P={x|x<1},Q={x|x>-1},则(
A.P?Q C.?RP?Q 【解析】 B.Q?P D.Q??RP

)

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∵P={x|x<1},∴?RP={x|x≥1},

因此?RP?Q.
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【答案】

C
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4.若集合A={x|x<1},B={x|x≥a},且A∩B≠?,则实
数a的取值范围为( A.a≤1 C.a≥1 【解析】 ) B.a<1 D.a>1 ∵A∩B≠?,∴a<1. B

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【答案】

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(2013·揭阳模拟)设P、Q为两个非空实数集合,定义
集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1, 2,6},则P+Q中元素的个数为( A.9 B.8 C.7 ) D.6

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【思路点拨】

先确定a值,再确定b值,注意元素的互
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异性.





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【尝试解答】

当a=0,b=1,2,6时,P+Q={1,

2,6};
当a=2,b=1,2,6时,P+Q={3,4,8}; 当a=5,b=1,2,6时,P+Q={6,7,11}. 故集合P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},共有8个元

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素. 【答案】 B
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1.解答本题时,若不按分类讨论计算,易漏掉元素.

2.(1)用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素
的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点 集还是其它的集合.(2)对于含有字母的集合,在求出字母的 值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.

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已知集合A={x|ax2-3x+2=0},若A=?,则实数a的取 值范围为________.
【解析】 ∵A=?,∴方程ax2-3x+2=0无实根, 2 当a=0时,x= 不合题意, 3 9 当a≠0时,Δ=9-8a<0,∴a> . 8

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9 【答案】 ( ,+∞) 8

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b (1)已知a∈R,b∈R,若{a, a ,1}={a2,a+b,0}, 则a2 013+b2 013=________. (2)已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+ 1≤x≤2m-1},若A∪B=A,则实数m的取值范围是 ________.
b 【思路点拨】 (1)0∈{a, ,1},则b=0,1∈{a2, a a,0},则a2=1,a≠1,从而a,b可求. (2)A∪B=A?B?A,分B=?和B≠?两种情况求解.

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b 【尝试解答】 (1)由已知得a=0及a≠0,所以b=0, 于是a2=1,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异 性可知a=1应舍去,因此a=-1, 故a2 013+b2 013=(-1)2 013=-1. (2)A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, 又A∪B=A,所以B?A.

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①若B=?,则2m-1<m+1,此时m<2.
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?2m-1≥m+1, ? ②若B≠?,则?m+1≥-2, 解得2≤m≤3. ?2m-1≤5. ? 由①、②可得,符合题意的实数m的取值范围为m≤3.

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【答案】
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(1)-1

(2)(-∞,3]
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1.解答本题(2)时应注意两点:一是A∪B=A?B?A; 二是B?A时,应分B=?和B≠?两种情况讨论. 2.集合A中元素的个数记为n,则它的子集的个数为 2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.

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3.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间
的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满

足的关系.解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图化抽
象为直观.

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若集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax+2=0,a∈R},
且M∩N=N,则实数a的取值集合是________.

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【解析】 因为M∩N=N,所以N?M. 又M={-3,2}, 若N=?,则a=0. 若N≠?,则N={-3}或N={2}. 2 所以-3a+2=0或2a+2=0,解得a= 或a=-1. 3 2 所以a的取值集合是{-1,0, }. 3
【答案】
菜 单

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2 {-1,0, } 3

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(1)(2012·深圳调研)设全集U={1,3,5,6,8},A= {1,6},B={5,6,8},则(?UA)∩B=( A.{6} B.{5,8} C.{6,8} ) D.{5,6,8}

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(2)(2012·浙江高考)设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2 -2x-3≤0},则A∩(?RB)=(
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)
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A.(1,4)
C.(1,3)

B.(3,4)
D.(1,2)∪(3,4)





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【思路点拨】
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(1)先求?UA,再求(?UA)∩B.

(2)先化简集合B,求出?RB,再借助数轴求A∩(?RB). 【尝试解答】 ={5,8}.选B. (2)解x2-2x-3≤0得-1≤x≤3, ∴B=[-1,3],则?RB=(-∞,-1)∪(3,+∞), (1)依题意得?UA={3,5,8},(?UA)∩B

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∴A∩(?RB)=(3,4).
【答案】 (1)B (2)B

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1.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴 使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表 示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点 值的取舍.

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2.在解决有关A∩B=?,A?B等集合问题时,往往忽
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略空集的情况,一定先考虑?是否成立,以防漏解. 3 . 要 注 意 六 个 关 系 式 A?B、 A∩B= A、 A∪B= B 、 ?UA??UB、A∩(?UB)=?、(?UA)∪B=U的等价性.

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(2013·惠州质检)若集合A={x||x|>1,x∈R},B={y|y =2x2,x∈R},则(?RA)∩B=( A.{x|-1≤x≤1} C.{x|0≤x≤1} ) B.{x|x≥0} D.?

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【解析】
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由|x|>1,得x>1或x<-1,

∴A={x|x>1或x<-1}, 则?RA={x|-1≤x≤1}, 又B={y|y≥0}, ∴(?RA)∩B={x|0≤x≤1}.
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【答案】
菜 单

C

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正如数轴是研究实数的工具,Venn图是研究集合的工

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具,借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化,
其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.

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1.空集在解题时具有特殊地位,它是任何集合的子集,
是任何非空集合的真子集,应时刻关注对空集的讨论,防止 漏解. 2.在解决含参数的集合问题时,要检验集合中元素的 互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错

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误.

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从近两年课标区高考试题看,集合间的关系与集合的运
算是高考命题的重点,常与函数、方程、不等式等知识结合 命题,而以集合为背景的新定义题,则是高考命题的热点.

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创新探究之一
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以集合为背景的新定义题
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(2012·课标全国卷)已知集合A={1,2,3,4,5},B ={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为 ( )

A.3
【解析】
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B.6

C.8

D.10

因为A={1,2,3,4,5},所以集合A中的
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元素都为正数,若x-y∈A,则必有x-y>0,即x>y.
当y=1时,x可取2,3,4,5,共有4个数; 当y=2时,x可取3,4,5,共有3个数;





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当y=3时,x可取4,5,共有2个数;
当y=4时,x只能取5,共有1个数; 当y=5时,x不能取任何值. 综上,满足条件的实数对(x,y)的个数为4+3+2+1= 10,即集合B中的元素共有10个.

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【答案】

D
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创新点拨:(1)本题以元素与集合的关系为载体,用附
加条件“x∈A,y∈A,x-y∈A”定义以有序实数对(x,y) 为元素的集合B,通过对新定义的理解与应用来考查阅读理 解能力与知识迁移能力. (2)考 查 创 新 意 识、 化 归 转 化 能 力,以及分类讨论 思

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想.

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应对措施:(1)准确理解集合B是解决本题的关键,集合
B中的元素是有序实数对(x,y),并且要求x∈A,y∈A,x- y∈A,所以要判断集合B中元素的个数,需要根据x-y是否 是集合A中的元素进行判断. (2)为化复杂为简单,以y取何值为标准分类,分别求

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值.
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1.(2012·湖北高考)已知集合A={x|x2 -3x+2=0,
x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A?C?B的集合C 的个数为( )

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A.1
【解析】
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B.2

C.3

D.4

由x2 -3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,
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2}.
由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1, 2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 【答案】
菜 单

D

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2.(2012·佛山质检)集合M={a1 ,a2 ,?,am},N=

{b1 ,b2 ,?,bn},定义集合M⊕N={(a,b)|a=a1 +a2 +?
+am ,b=b1 +b2 +?+bn},已知M={1,3,5,7,9},N ={2,4,6,8},则M⊕N的子集为( A.(25,20) C.?,{25,20} )

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B.{(25,20)} D.?{(25,20)}
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【解析】

由题意得M⊕N={(25,20)},又空集是任意

集合的子集,故选D. 【答案】 D





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课后作业(二)

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