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1.2函数的概念(二)


1.2.1函数的概念(二)

复习回顾:

y对应取值, 具有唯一性

x的取值具 有任意性

定义:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中 都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f: A→B为从集合A到集合B的一个函数(function

),
记作y=f (x),x∈A。

自变量 ,x的取值范围A叫函数 其中x叫_______ 定义域 ,与x值相对应的y(或f(x))值叫 ________ 函数值 _______,函数值的集合{y|y=f(x),x∈A} 值域 。 叫函数的_______ 定义域 对应关系 值域 函数的三要素:______、___ _、______。

二、研究函数时常用到的区间的概念
思考一:设a、b是两个实数,且a<b,介于这两个数之间的 实数x用不等式表示有哪几种情况?

定义 {x a≤x≤b} {x a<x<b} {x a≤x<b} {x a<x≤b}

名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间

符号

数轴表示 a a a a b b b

[a,b] ( a,b) [ a,b ) (a,b]

b

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。

思考二:变量x相对于常数a有哪几种大小关系?用不等式 怎样表示?区间呢?

思考三:将实数R看成一个大区间,怎么表示呢? (-∞,+∞) 练一练:集合{x x≥6且x≠10}怎样用区间表示呢?

一、已知函数解析式求定义域

求函数定义域:构造使函数有意义的不等式(组)

分式的分母不为零;偶次方根的被开方数 非负;零次幂的底数不为零;
例1. 求下列函数的定义域:

1 : 求函数f ( x) ?

x ? 5x ? 6 的定义域 x?2
2

练习:求函数

f ? x ? ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 的定义域

二、求抽象函数的定义域

题型(一) :已知f ( x)的定义域, 求f [ g ( x)]的定义域
g(x) 替换 f(x)中的x

例2.若f ( x)的定义域是 [0,2], 求f (2 x ?1)的定义域
解:

由题意知:

0 ? 2x ?1 ? 2
? 1 3 ? x? 2 2

1 3 故 : f ( 2 x ? 1)的定义域是 {x ?x? } 2 2

?0,2?, 求f ( x2 )的定义域 练习 2 : 若f ( x)的定义域是

(题型二) :已知f ?g ?x?? 的定义域, 求f ( x)的定义域
即求g(x)的值域

例3 :已知f ?2 x ?1?的定义域(?1,5], 求f ( x)的定义域
解: 由题意知:

?1 ? x ? 5
? ?3 ? 2 x ? 1 ? 9

?? 3, 9? ? f ( x)的定义域为
练习3: 已知f (2 x ? 1)的定义域 ??1, 5?, 求f (2 ? 5x)的定义域

三、求函数的值域 例 1、求下列函数的值域:
(1)y = 1 -2x R 值域为 ____________ -1, 0, 1 } 值域为 { _________

(2)y = | x | -1 x∈{-2, -1, 0, 1, 2 }
( 3) y =
x?3

[0, + ∞ ) 值域为 ____________

例2、求函数y = x 2 -2x + 3
解:由 y = ( x -1 ) 2 + 2 ∵ -1 ≤ x ≤ 2 y

(-1 ≤ x ≤ 2 )的值域。

?

6

5
4 3 2 1

注意画图截图!
?
由图知: 2 ≤ y ≤ 6 故函数的值域为 [ 2 , 6 ]
1 2 3 4

-1

o

x

例 3.求函数 y ? x ? 1 ? x ( x ? 1)的值域 .
解:

令 1 ? x ? t 则t ? 0, x ? 1 ? t .
2

? y ? ?t ? t ? 1, (t ? 0)
2

?? ?,1? 故, 所 求 值 域 为
点评:换元法——转化成二次函数,再用图 象法求解值域。注意t 的取值范围。

1? 5 ? 即, y ? ?? t ? ? ? , ?t ? 0? 2? 4 ?

2

1? x 例 4. 求函数的值域: y ? 2x ? 5
1 7 ( 2 x ? 5) ? 2 解:由 y ? 2 2x ? 5 7 1 2 ?? ? 2 2x ? 5 ?

1 1 故函数的值域为 ( ??,? ) ? ( ? ,??) 2 2

课堂小结

?区间的表示

1.已知函数解析式:使函 ?函数定义域的求法 数有意义

?函数的值域求法: 2.抽象函数
1.直接求法

2.图像法——数形结合
3.分离常数法(适用于分式)

4. 换元法


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