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三角恒等变换知识点和例题


三角恒等变换复习 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? ? sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ?   tan ?? ? ? ? ?

令? ? ? sin ? sin ? ??? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

                        ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         ? cos 2 ?= 1 tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                      ? sin 2 ?= 2 2 tan ?     tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 1 如(1)下列各式中,值为 的是 2
A、 sin15 cos 15 B、 cos
2

?
12

? sin 2

?
12

C、

tan 22.5 1 ? tan 2 22.5

D、

1 ? cos 30 2

(3)已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ?

3 ,那么 cos 2 ? 的值为____ 5

(4)

1 3 的值是______ ? sin10 sin 80
0 0

(5)已知 tan110 ? a ,求 tan 50 的值(用 a 表示)甲求得的结果是 乙求得的结果的正确性你的判断是______

1 ? a2 a? 3 ,乙求得的结果是 ,对甲、 2a 1 ? 3a

2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观 察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1) 巧变角 (已知角与特殊角的变换、 已知角与目标角的变换、 角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如

? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?
???
2 ? ??

? ??
2



?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等) ,

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是____ 5 4 4 4 ? ? 1 ? 2 (2)已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) 的值 2 2 9 2 3
如(1)已知 tan(? ? ? ) ?

(2)三角函数名互化(切化弦), 如(1)求值 sin 50 (1 ? 3 tan10 )

1

(2)已知

sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值 1 ? cos 2? 3

(3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 tan ? tan ? ? 。 如(1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____

3 ,则此三角形是____三角形 4 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 2 (4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos ? ? , sin ? ? 与 2 2 2 2? 2 c ? os 2? 2 2 s? in 升幂公式 1 ? c o s? , 1 ? c o s? )。
(2)设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ?

1 1 ? cos 2? 为_____ 2 2 5 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________ (2)函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ? 2
如(1)若 ? ? ( ? , (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

3 1 1 ?) ,化简 ? 2 2 2

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
如(1)化简:

2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4

?

?

1 2

? tan ? ? sin ? ? 等) , 4 2 2 2 如已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ?

(6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x
2 2

sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” (7)正余弦— sin x ? cos x、 ,
如(1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? (2)若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。

2

8、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x ? b cos x ? 定, ? 角的值由 tan ? ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由 a, b 的符号确

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a

如(1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. (2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______
2

(3)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? = 4、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其标准有二:一是此三 角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值) 。 如(1)若 ? , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? 、 tan ? 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根,则求 ? ? ? 的值______
2

(2) ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1 ,则 ?C =_______ (3)若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 ? ? ? 的值

课后练习题 1:(1)已知 ? ∈( A.

1 7
1 2
B.

? 3 ? , ? ),sin ? = ,则 tan( ? ? )等于( ) 5 2 4 1 B.7 C.- D.-7 7
) C.-
3 2

(2) sin163° sin223° +sin253° sin313° 等于 ( A.-

1 2

D.

3 2

3:设 cos( ? - 求 cos( ? +β).

?
2

)=-

1 ? 2 π π ,sin( -β)= ,且 < ? <π,0<β< , 9 2 3 2 2

4:在△ABC 中,角 A、B 、C 满足 4sin2

7 A?C -- cos2B= ,求角 B 的度数. 2 2

5. 已知 α 为锐角,且 tan ? ? ,求

1 2

sin 2? cos? ? sin ? 的值. sin 2? cos 2?

3

6.已知 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ; (1) 求 f (
25? ) 的值; 6

(2) 设 ? ? (0, ? ), f ( ) ? ?
2

?

1 4

3 ,求 sinα 的值. 2

7:已知

sin

x x ? 2 cos ? 0 2 2

(1)求 tan x 的值; (2)求

cos 2 x 2 cos( ? x) ? sin x 4

?

的值.

8 设函数 f(x)=2 sin x cos (1)求 ? .的值;

2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(2)在 ? ABC 中, a , b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?

2, f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

4


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