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安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《椭圆及其标准方程》(北师大版选修2-1)


理解教新 新知
§1

知识点一 知识点二 考点一

第 三 章

1.1

把握热点 考向

考点二 考点三

应用创新演练

设计游戏时,要考虑游戏的公平性.某电视台少儿节目欲 设计如下游戏.规则是:参赛选手站在椭圆的一个焦点处,快 速跑到随机出现在椭圆上的某一点处,然后再跑向另一个焦点, 用时少者获胜.考验选手的反应能力与速度. 问题1:参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点 再跑向椭圆的另一焦点,每个参赛选手所跑的路程相同吗?

提示:相同.

问题2:这种游戏设计的原理是什么? 提示:椭圆的定义.椭圆上的点到两焦点距离之 和为定值. 问题3:在游戏中,选手所跑的路程能否等于两焦 点间的距离?为什么? 提示:不能.椭圆上的点到两焦点距离之和一定

大于两焦点间的距离.

椭圆的定义

定义
焦点

平面内到两个定点F1,F2的 距离之和等于常数 (大于|F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1,F2叫作椭圆的焦点

焦距
集合语言

两焦点F1,F2间的 距离 叫作椭圆的焦距 P={M| |MF1|+|MF2|=2a, >|F |}
2

在平面直角坐标系中,已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2), D(0,-2). 问题1:若动点P满足|PA|+|PB|=6,则P点的轨迹方 程是什么? x2 y2 提示:9 + 5 =1. 问题2:若动点P满足|PC|+|PD|=6,则动点P的轨 迹方程是什么? y 2 x2 提示: 9 + 5 =1.

椭圆的标准方程 焦点在x轴上 标准方程 焦点坐标 a、b、c
x y a2+b2=1(a>b>0)
2 2

焦点在y轴上
y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)

(±c,0) a2-b2=c2

(0,±c)

的关系

1.平面内点M到两定点F1,F2的距离之和为常数2a, 当2a>|F1F2|时,点M的轨迹是椭圆; 当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是一条线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,点M的轨迹不存在.

2.椭圆的标准方程有两种形式,若含x2项的分母大于
含y2项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之焦点在y轴上.

[例 1]

写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)a=4,c=3,焦点在 y 轴上; (2)a+b=8,c=4; (3)经过点 A( 3,-2)和点 B(-2 3,1). [思路点拨] 求椭圆的标准方程时,要先判断焦

点位置,确定椭圆标准方程的形式,最后由条件确定a
和b的值.

y2 x2 [精解详析] (1)焦点在 y 轴上,设标准方程为 2+ 2=1(a>b a b >0), 则 a2=16,b2=a2-c2=16-9=7. y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 16 7 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 16 7
?a+b=8, ? (2)? 2 ?a -b2=16 ? ?a+b=8, ? ?? ?a-b=2 ? ?a+b=8, ? ?? ??a+b??a-b?=16 ? ?a=5, ? ?? ?b=3. ?

x2 y2 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 + =1,或 + =1. 25 9 25 9 (3)法一:①当焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 x2 y2 + =1(a>b>0). a2 b2 ?? 3?2 ?-2?2 ? 2 + 2 =1, b ? a 依题意有? 2 ??-2 3? 1 ? a2 +b2=1, ?
?a2=15, ? 解得? 2 ?b =5. ?

x2 y2 所以所求椭圆的方程为 + =1. 15 5

y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a a b >b>0).依题意有 ??-2?2 ? 3?2 ? 2 + 2 =1, b ? a ? 2 1 ?-2 3? ? ?a2+ b2 =1, ?
?a2=5, ? 解得? 2 ?b =15. ?

舍去,

x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1. 15 5

法二:设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0, 且 m≠n). 1 ? ?3m+4n=1, ?m=15, ? 依题意有? 解得? ?12m+n=1, ? ?n=1. 5 ? x2 y2 所以所求椭圆的方程为 + =1. 15 5

[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为:

1.若 a=6,b= 35,则椭圆的标准方程是 ( ) x2 y2 A.36+35=1 y2 x2 x2 y2 B. 6 + =1 或 6 + =1 35 35 x2 C.36+y2=1 x2 y2 y2 x2 D.36+35=1 或36+35=1 x2 y2 解析:椭圆的焦点在 x 轴上时,方程为36+35=1,在 y

y2 x2 轴上时,方程为36+35=1.

答案:D

2.已知椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点,求 椭圆C的标准方程.
x2 y2 解:依题意,可设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0),且可 知左焦点为 F′(-2,0).
?c=2, ? 从而有? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ? ?c=2, ? 解得? ?a=4. ?

又 a2=b2+c2,所以 b2=12, x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为16+12=1.

3.求焦点在坐标轴上,且过点 A(2,0)和 准方程.

? B?1, ? ?

3? ? 的椭圆的标 2? ?

x2 y2 解: 法一: 若焦点在 x 轴上, 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), ?4 ?a2=1, 依题意,有? ? 12+ 3 2=1, ?a 4b

解得 a2=4,b2=1.

y2 x2 若焦点在 y 轴上,设椭圆方程为 a2+ b2 =1(a>b>0),同理
?a2=1, ? ? 2 ?b =4, ?

这与 a>b 矛盾.

x2 2 故所求椭圆方程为 4 +y =1.

法二:设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). ?4m=1, ? 将 A,B 坐标代入得? 3 ?m+4n=1, ? 1 ? ?m= , x2 2 4 解得? 故所求椭圆方程为 4 +y =1. ?n=1, ?

[例 2]

如图所示, 已知椭圆的方程

x2 y2 为 4 + 3 =1,若点 P 在椭圆上,F1,F2 为椭圆的两个焦点,且∠PF1F2=120° , 求△ PF1F2 的面积. [思路点拨] 因为∠PF1F2=120°,|F1F2|=2c,所以要

求S△PF1F2,只要求|PF1|即可.可由椭圆的定义|PF1|+|PF2| =2a,并结合余弦定理求解.

[精解详析]

由已知 a=2,b= 3,

所以 c= a2-b2=1,|F1F2|=2c=2, 在△ PF1F2 中,由余弦定理得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|· 1F2|· 120° |F cos , 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|. 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, ①

即|PF2|=4-|PF1|. 6 将②代入①解得|PF1|=5,



1 1 6 3 3 3 ∴S△ PF1F2=2|PF1|· 1F2|· 120° 2× × 2 = 5 . |F sin = 5 2× 3 因此所求△ PF1F2 的面积是5 3.

[一点通]

椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的

△ F1PF2 称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时 要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾 股定理等知识.对于求焦点三角形的面积,若已知∠F1PF2, 1 可利用 S=2|PF1|· 2|sin∠F1PF2 求面积,这时可把|PF1|· 2| |PF |PF 看成一个整体,运用公式|PF1|2+|PF2|2=4a2-2|PF1||PF2|及余 弦定理求出|PF1|· 2|,而无需单独求出|PF1|和|PF2|,这样可以 |PF 减少运算量.

4.平面内有一个动点M及两定点A,B.设p:|MA|+|MB|为

定值,q:点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.那么(
A.p是q的充分不必要条件 B.p是q的必要不充分条件 C.p是q的充要条件 D.p既不是q的充分条件,又不是q的必要条件

)

解析:若|MA|+|MB|为定值,只有定值>|AB|时,点M轨迹
才是椭圆.故p为q的必要不充分条件. 答案:B

x2 y2 5.椭圆16+ 7 =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,一直线过 F1 交椭圆于 A,B 两点,则△ ABF2 的周长为 A.32 C.8 B.16 D.4 ( )

解析:∵a2=16,a=4,而由椭圆定义|AF1|+|AF2|=2a, |BF1|+|BF2|=2a, ∴△ABF2周长=|AB|+|AF2|+|BF2|

=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=16.
答案:B

x2 2 6.点 P 在椭圆 4 +y =1 上,且 PF1⊥PF2,求 S△ PF1F2. 解:∵点 P 在椭圆上∴|PF1|+|PF2|=4,
即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16, 又 PF1⊥PF2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=12, ∴|PF1||PF2|=2, 1 ∴S△ PF1F2=2|PF1||PF2|=1.

[例3]

(12分)已知圆B:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C

为圆B上任意一点,求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P 的轨迹方程. [思路点拨] P为AC垂直平分线上的点,则|PA|=|PC|,

而BC为圆的半径,从而4=|PA|+|PB|,可得点P轨迹为以A、

B为焦点的椭圆.

[精解详析]如图所示,连接AP,∵l垂直平分AC, ∴|AP|=|CP|. ∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4, ∴P点的轨迹是以A,B为焦点的椭圆. ∵2a=4,2c=|AB|=2, ∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3.? x2 y2 ∴点P的轨迹方程为 4 + 3 =1.? (10分) (12分) (8分) (3分)

[一点通] 种思路:

求解有关椭圆的轨迹问题,一般有如下两

(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式,然后 化简等式得到对应的轨迹方程; (2)首先分析几何图形所揭示的几何关系,对比椭圆

的定义,然后设出对应椭圆的标准方程,求出其中a,b的
值,得到标准方程.

7.△ABC的三边a,b,c成等差数列,A,C的坐标分 别为(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹方程. 解:由已知得 b=2,又 a,b,c 成等差数列,
∴a+c=2b=4,即|AB|+|BC|=4, ∴点 B 到定点 A、C 的距离之和为定值 4,由椭圆定义知 B 点的轨迹为椭圆,其中 a′=2,c′=1. ∴b′2=3. 又∵A、B、C 三点共线时不能构成三角形, x2 y2 ∴顶点 B 的轨迹方程为 4 + 3 =1(y≠0).

8.已知动圆M过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2

=64的内部与其相内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解: 设动圆 M 和定圆 B 内切于点 C, 由|MA|=|MC|得|MA| +|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=8,即动圆圆心 M 到两定点 A(-3,0),B(3,0)的距离之和等于定圆的半径, ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆, 且 2a=8,2c=6,b= a2-c2= 7, x2 y2 ∴M 的轨迹方程是16+ 7 =1.

1.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位 置,可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情

况求解;也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求解.
2.解决与椭圆有关的轨迹问题时,要注意检验所得到的 方程的解是否都在曲线上. 3.涉及椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出 |PF1|+|PF2|=2a求解,因此回归定义是求解椭圆的焦点三角

形问题的常用方法.


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