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全国中学生物理竞赛——静电场


静电场

一、知识概要 1、电荷守恒定律 电子(e),e=1.602177×10-19C, me=9.109387×10-31kg, =9.109387× kg, 电子( ),e=1.602177× 质子(p),e=1.602177×10-19C, mp=1.672623×10-27kg, =1.672623× kg, 质子( ),e=1.602177× 中

子(n),e=0, mn=1.674928×10-27kg, 中子( ),e=0, =1.674928× kg, (1)电子的湮没:e + e = 2γ 电子的湮没:
+ _

Q (2)电荷量的量子化: = ne(n = 0,±1,±2 ……) 电荷量的量子化:

一、知识概要 2、库仑定律

q1q2 F =k 2 r

(1)条件:真空中的点电荷 条件:

k = 9 ×109 N ? m 2 / C 2 其中: (2)其中:
在有理化方程中,通常引入ε0新的常量来代替k,并把它写成: 在有理化方程中,通常引入ε 新的常量来代替k 并把它写成:

1 ε0 = = 8.85 ×10 ?12 C 2 / N 2 ? m 2 4πk
(称为真空介电常数) 称为真空介电常数)

一、知识概要 3、电场强度:电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该 电场强度: 点所受的电场力。 点所受的电场力。

E = F /q
Q 点电荷的电场强度: (1)点电荷的电场强度:E = k 2 r
(2)场强叠加原理和电荷系的场强: 场强叠加原理和电荷系的场强:
n

E = E 1 + E 2 + …… + E n = ∑ E i
i =1

二、例题分析 1、一个半径为R的金属圆盘绕着通过圆心且与盘面垂直的 一个半径为R 轴高速旋转,角速度为ω 盘面上有一点P 轴高速旋转,角速度为ω,盘面上有一点P,离开圆心的距离为 x,试求: 1)点P处的电场强度; 试求: 处的电场强度; ( 圆盘边缘部分与圆心之间的电势差的值。( 。(已知电 (2)圆盘边缘部分与圆心之间的电势差的值。(已知电 子的质量为m 电荷量为e 子的质量为m,电荷量为e) 解(1):在圆盘高速旋转后,金属圆盘中的电子由于离心而 ):在圆盘高速旋转后 在圆盘高速旋转后, 向外运动,致使圆盘形成辐向电场,对离开圆心x 向外运动,致使圆盘形成辐向电场,对离开圆心x的盘中电子 而言, 而言,有: 2

mω x Ee = mω x ? E = e
2

E

解(2):因为E∝x,故在计算盘边缘部分与圆心之间的电势 ):因为 因为E 差值时,可用盘中点的场强替代, 差值时,可用盘中点的场强替代,即:

R mω mω 2 R 2 2 ?R = U = E?R = e 2e
2

二、例题分析 2、相距为2r的两个等量同种正电荷带电量为Q,求在连线 相距为2r的两个等量同种正电荷带电量为 的两个等量同种正电荷带电量为Q 的中垂线上场强的最大值即位置。 的中垂线上场强的最大值即位置。 Q = 2k sin θ 如图, 解:如图,得:E P = 2E sin θ r 2 p ( ) cos θ Q = 2k 2 cos 2 θ sin θ r θ 2 令:y = cos θ sin θ + +

1 1 2 cos θ + cos 2 θ + sin 2 θ 4 1 1 3 = 2 ] 27 = 4 ? cos 2 θ ? cos 2 θ ? sin 2 θ ≤ 4[ 2 3 2 2 Q 所以: 所以:E pm = 2k 2 ym = 4 3 ? k Q r 9 r2 2 2 2 而当取最大值时有: 而当取最大值时有: cos θ / 2 = sin θ ? tan θ = 2 所以出现最大值的位置为: 所以出现最大值的位置为: 2 op = r tan θ = r 2

则: 2 y

= cos 4 θ sin 2 θ

练习:一半径为R,带电量为Q的均匀带电圆环,求过圆心垂 练习:一半径为R 带电量为Q的均匀带电圆环, 直环面轴线上的场强的最大值及位置。 直环面轴线上的场强的最大值及位置。 2 3 Q 2 E Pm = k 2 ,x = R 9 R 2

R

二、例题分析
3、将一质量为m,带电量为q的小球,从O点以与水平方向成α角的初速 将一质量为m 带电量为q的小球, 点以与水平方向成α 抛出,当达到最高点A 恰进入一匀强电场中,如图, 度v0抛出,当达到最高点A时,恰进入一匀强电场中,如图,经过一段时间 小球从A点沿水平直线运动到与A相距为S A`点后又折返回到 点后又折返回到A 后,小球从A点沿水平直线运动到与A相距为S的A`点后又折返回到A点,紧 接着沿原来斜上抛运动的轨迹逆方向运动又落回原抛出点, 接着沿原来斜上抛运动的轨迹逆方向运动又落回原抛出点,求(1)该匀强电 场的场强E的大小和方向;(即求出图中的θ ;(即求出图中的 并在图中标明E的方向); 场的场强E的大小和方向;(即求出图中的θ角,并在图中标明E的方向); 点抛出又落回O点所需的时间。 (2)从O点抛出又落回O点所需的时间。 解:小球进入电场后,其所受电场力和重力的合 小球进入电场后, 力必为水平向左方向,故在A→A`→A的过程中, 力必为水平向左方向,故在A→A`→A的过程中, 的过程中 电场力,重力的合功为0,小球水平速度: 电场力,重力的合功为0 小球水平速度:

v x = 2as = (v0 cos α ) 2 则由A→A`的过程中 的过程中, 则由A→A`的过程中,有:
2

vx = v0 cos α

场强方向: 场强方向:

m v0 cos 4 α + 4 g 2 s 2 场强大小: 场强大小: E = ( ma ) + (mg ) / q = 2qs
4

2

2

2 gs tan θ = mg / ma = 2 v0 cos 2 α

二、例题分析
3、将一质量为m,带电量为q的小球,从O点以与水平方向成α角的初速 将一质量为m 带电量为q的小球, 点以与水平方向成α 抛出,当达到最高点A 恰进入一匀强电场中,如图, 度v0抛出,当达到最高点A时,恰进入一匀强电场中,如图,经过一段时间 小球从A点沿水平直线运动到与A相距为S A`点后又折返回到 点后又折返回到A 后,小球从A点沿水平直线运动到与A相距为S的A`点后又折返回到A点,紧 接着沿原来斜上抛运动的轨迹逆方向运动又落回原抛出点, 接着沿原来斜上抛运动的轨迹逆方向运动又落回原抛出点,求(1)该匀强电 场的场强E的大小和方向;(即求出图中的θ ;(即求出图中的 并在图中标明E的方向); 场的场强E的大小和方向;(即求出图中的θ角,并在图中标明E的方向); 点抛出又落回O点所需的时间。 (2)从O点抛出又落回O点所需的时间。 解:从O点回到O点经历了四段: 点回到O点经历了四段:

t = tOA + t AA` + t A`A + t AO
其中: t 其中:
OA + t AO = 2tOA = 2

t AA` + t A`A

v0 sin α g v0 cos α 2s = 2t AA` = 2 = a v0 cos α

2v0 sin α 2s t= + g v0 cos α

二、例题分析
4、如图,在xoy平面内,沿y轴正方向有一匀强电场E。在(0,d)。 如图, xoy平面内 平面内, 轴正方向有一匀强电场E 同时开始运动。 两点分别有一个质子和一个电子,它们分别为v (0,0)两点分别有一个质子和一个电子,它们分别为v1、v2同时开始运动。 v1和v2与x轴夹角分别为-45o和45o,忽略质子和电子所受重力及它们间相互 轴夹角分别为的作用力。( 。(1 证明质子、电子的运动轨迹是抛物线;( ;(2 如果要求质子, 的作用力。(1)证明质子、电子的运动轨迹是抛物线;(2)如果要求质子, 电子运动轨迹在顶点相切, 之值应为多少;( ;(3 电子运动轨迹在顶点相切,则v1,v2之值应为多少;(3)比较它们到达切点 的时间先后。 的时间先后。 解2:由题意得: 由题意得:
2 v1 sin 45o v2 sin 45o v m v1 cos 45o ? = v2 cos 45o ? ? 12 = e Ee Ee mp v2 mp me

(v1 sin 45o ) 2 (v2 sin 45o ) 2 而: d= + Ee Ee 2? 2? mp me

v1 =

2dEe 2dEe v2 = mp me

二、例题分析
4、如图,在xoy平面内,沿y轴正方向有一匀强电场E。在(0,d)。 如图, xoy平面内 平面内, 轴正方向有一匀强电场E 同时开始运动。 两点分别有一个质子和一个电子,它们分别为v (0,0)两点分别有一个质子和一个电子,它们分别为v1、v2同时开始运动。 v1和v2与x轴夹角分别为-45o和45o,忽略质子和电子所受重力及它们间相互 轴夹角分别为的作用力。( 。(1 证明质子、电子的运动轨迹是抛物线;( ;(2 如果要求质子, 的作用力。(1)证明质子、电子的运动轨迹是抛物线;(2)如果要求质子, 电子运动轨迹在顶点相切, 之值应为多少;( ;(3 电子运动轨迹在顶点相切,则v1,v2之值应为多少;(3)比较它们到达切点 的时间先后。 的时间先后。 解3:因为: 因为:

v1 m = e 2 mp v2
因此, 1 因此, v

2

<1

电子先到达切点。 < v2 电子先到达切点。

三、电场强度求解的特殊情况 1、电偶极子轴线的延长线上和中垂线上任一点的场强。 电偶极子轴线的延长线上和中垂线上任一点的场强。 说明:两个大小相等负号相反的点电荷+q和-q,当它们之 说明:两个大小相等负号相反的点电荷+q和 间的距离re比所考虑的场点到二者的距离小得多时 比所考虑的场点到二者的距离小得多时, 间的距离re比所考虑的场点到二者的距离小得多时,这一电荷 系统称为电偶极子,其中: 称为电偶极矩,简称电矩。 系统称为电偶极子,其中p = q r e 称为电偶极矩,简称电矩。 : e
y
B(0, y )

2qre EA = k 3 x qre EB = ?k 3 (向右为正) 向右为正) y
x
A(x,0)

O

re

三、电场强度求解的特殊情况 2、连续分布电荷的场强。 连续分布电荷的场强。 (1)无限长直导线周围的电场。 无限长直导线周围的电场。

x

2λ EA = k x

(λ为电荷线密度) 为电荷线密度)

三、电场强度求解的特殊情况 2、连续分布电荷的场强。 连续分布电荷的场强。 (2)一半径为R的圆环,均匀带有电荷量为q,计算圆环 一半径为R的圆环,均匀带有电荷量为q 轴线上与环心相距为x 点处的场强。 轴线上与环心相距为x的A点处的场强。

EA = k
R

qx (x2 + R )
3 2 2

q x>>R时 上式变为: 似点电荷。 当x>>R时,上式变为:E A = k 2 ,似点电荷。 x

三、电场强度求解的特殊情况 2、连续分布电荷的场强。 连续分布电荷的场强。 (3)均匀带电圆盘轴线上与盘心相距为x的任一点A处的 均匀带电圆盘轴线上与盘心相距为x的任一点A 场强,设盘的半径为R 电荷面密度为σ 场强,设盘的半径为R,电荷面密度为σ

R

σ x EA = [1 ? ] 2ε 0 R2 + x2
情况讨论 :

1 ε0 = 4πk

(2) x >> R, E = k

σ (1) R >> x, E = = 2πkσ (无限大平面的电场) 无限大平面的电场) 2ε 0 q πR 2σ
x
2

=k

x2

三、电场强度求解的特殊情况 2、连续分布电荷的场强。 连续分布电荷的场强。 (3)推论:一对电荷面密度等值异号的无限大的均匀带 推论: 电的平行板间场强的大小为: 电的平行板间场强的大小为:

σ EA = = 4πkσ ε0

三、电场强度求解的特殊情况 2、连续分布电荷的场强。 连续分布电荷的场强。 (4)均匀带电球壳带电量为q,半径为R。 均匀带电球壳带电量为q 半径为R

情况讨论
R

q x > R, E = k 2 x
x < R, E = 0

三、电场强度求解的特殊情况 2、连续分布电荷的场强。 连续分布电荷的场强。 (4)均匀带电球带电量为q,半径为R。 均匀带电球带电量为q 半径为R

情况讨论
R

q x ≥ R, E = k 2 x qx x < R, E = k 3 R

例题:半径为R的均匀带正电半球面,电荷面密度为σ 求球心处的电场强度。 例题:半径为R的均匀带正电半球面,电荷面密度为σ,求球心处的电场强度。 解:如图在球面上的P点选一小面积△s,op与z轴的夹角 如图在球面上的P点选一小面积△ op与 所带电荷量为△q=σ△ 足够小时, 为θ, △s所带电荷量为△q=σ△s。当△s足够小时,△q 可看做点电荷。 在球心处的场强为△ 则有: 可看做点电荷。设△q在球心处的场强为△E,则有:

?E = k

?q 方向为径向) (方向为径向) R2

由对称性知,球心处的场强只有负方向的分量△Ez 由对称性知,球心处的场强只有负方向的分量△

?q σ?s ? cos θ ?E z = ?E cos θ = k 2 cos θ = k R R2
因为 △s·cosθ是 △s在xoy平面上的投影面,设为△s·,则 s·cosθ是 xoy平面上的投影面,设为△s·, 平面上的投影面

?E z = k

σ?s`
R2

整个半径上的电荷在球心O 整个半径上的电荷在球心O的场强为球面上各△s上电荷在O点场强的叠加, 上电荷在O点场强的叠加, 所以: 所以:

E z = ∑ ?E z = ∑ k

σ?s`
R
2

=k

σ
R
2

∑ ?s`

∑ ?s`= πR 2

? E z = kπσ

例题:半径为R 1/4圆周均匀带电 电荷线密度为λ 圆周均匀带电, 例题:半径为R的1/4圆周均匀带电,电荷线密度为λ,试求圆心处场强的 大小。 大小。 解:线密度为λ的无限长直导线在O点 线密度为λ的无限长直导线在O 产生的场强: 产生的场强:

2λ E= R
它可以看成是半径为R 线密度为λ 它可以看成是半径为R、线密度为λ的半圆在圆 处产生的场强,而半圆在O 心O处产生的场强,而半圆在O点产生的场强可 看成是两个半径为R的四分之一圆周在O 看成是两个半径为R的四分之一圆周在O点产生 场强E`的叠加 由对称性E`和 夹角为45 的叠加, 场强E`的叠加,由对称性E`和E夹角为45o,则:

2λ 2 2kλ E `= E ? cos 45 = k ? ? = R 2 R
o

一、知识概要 4、电势:把一电荷从P点移到参考点P0时电场力所做的功W P0时电场力所做的功 电势:把一电荷从P点移到参考点P0时电场力所做的功W ε PA 与该电荷电量q的比值, 与该电荷电量q的比值,即:

?A =

q

(参考点即电势为零的点,通常取无穷远或大地为参考点。) 参考点即电势为零的点,通常取无穷远或大地为参考点。) 5、电势的计算

q ? 点电荷电场中的电势: (1)点电荷电场中的电势: A = k x
(2)点电荷系电场中的电势: = 点电荷系电场中的电势: ?A

q
n

x

A

qi 标量,代数和) ∑ k x (标量,代数和) i =1 i

一、知识概要 5、电势的计算 (3)均匀带电球面电场中的电势分布: 均匀带电球面电场中的电势分布:

q x ≥ R, ? p = k x q x < R, ? p = k R

?
x

二、例题分析
1、如图所示,半径为R的圆环均匀带电,电荷线密度为λ,圆心在O点, 如图所示,半径为R的圆环均匀带电,电荷线密度为λ 圆心在O 过圆心跟环面垂直的轴线上有P 以无穷远为参考点,试求P 过圆心跟环面垂直的轴线上有P点, PO= r ,以无穷远为参考点,试求P点的 电势U 电势UP 。 解:这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环 这是一个电势标量叠加的简单模型。 上取一个元段? 它在P点形成的电势: 上取一个元段?L ,它在P点形成的电势:

?? = k

λ?L
R2 + r 2

2πR 各段在P点形成的电势相同, 环共有 ?L 段,各段在P点形成的电势相同,而且
她们是标量叠加。 她们是标量叠加。

?P =

2πkλR R2 + r 2

二、例题分析
2、半径为R的均匀带电圆环,圆心为O,过O电跟环平面垂直的轴线上 半径为R的均匀带电圆环,圆心为O 两点,oa=R,ob=2R,设定无穷远处电势为0 已知a点电势为φ 有a、b两点,oa=R,ob=2R,设定无穷远处电势为0,已知a点电势为φ1、b 点电势为φ 点电势为φ2,求φ2:φ1 b 解:将环分成无穷多个小段△L,它带的电荷量为: 它带的电荷量为: 将环分成无穷多个小段△

R
a

?q =

Q ? ?L 2πR

R
?q R2 + R2 =k 2?q 2R
O

? 该点电荷在a处的电势为: 该点电荷在a处的电势为: ? a = k

2 ∑ ?q = 2kQ 2R 2R 同理,整个环在b处产生的电势: 5kQ 同理,整个环在b处产生的电势: ? b = ∑ ?? b = 5R
整个环在a处产生的电势: 整个环在a处产生的电势:? = ∑ ?? = k a a 故:

?a 2 = ?b 5

二、例题分析
3、地面上有一固定的点电荷A,A的正上方有一带电质点B,若在仅受 地面上有一固定的点电荷A 的正上方有一带电质点B 重力和A的库仑力作用下, 的正上方H高度到H/2高度间作往返运动 高度间作往返运动, 重力和A的库仑力作用下,B在A的正上方H高度到H/2高度间作往返运动,试 的最大运动速度v 求B的最大运动速度vm 解:B能从H/2高度处自静止向上运动,表面B受到 能从H/2高度处自静止向上运动 表面B 高度处自静止向上运动, A的库仑力为斥力,故A、B带有同号电荷,为处理 的库仑力为斥力, 带有同号电荷, 方便, 各自所带电荷量的绝对值分别为Q 方便,设A、B各自所带电荷量的绝对值分别为Q、 q,再设B的质量为m,在H高度和H/2间的能量守恒 再设B的质量为m 高度和H/2间的能量守恒 关系为: 关系为: H 1 1

B

mg

2

= kQq(

H /2

?

H

) ? kQq = mgH 2 / 2

mg 设力平衡点距地面为h 则有: 设力平衡点距地面为h,则有: = k

Qq H ?h= h2 2

H /2
A

在力平衡点处B运动速度最大,即为v 在力平衡点处B运动速度最大,即为vm,据能量守恒有: 据能量守恒有:

1 1 1 2 mg ( H ? h) = kQq( ? ) + mvm h H 2
由以上各式得: 由以上各式得:

vm = ( 2 ? 1) gH

二、例题分析
4、求证:相距为a的两个点电荷ne(n<0)与e,其零势面是一个球面。 求证:相距为a的两个点电荷ne(n<0) 其零势面是一个球面。 解:设空间某一场点P(x,y,z)到ne与e的距离 设空间某一场点P ne与 分别为r 点电势ne和 各自独立在p 分别为r1与r2,P点电势ne和e各自独立在p点贡献的 电势的代数和, 电势的代数和,即: ne e

?p = k

若 ? p = 0 ,则有: ne 则有:

r1

+k

r2

y
r1
ne

e e(nr2 + r1 ) k +k =0 ? =0 r1 r2 r1r2 ? nr2 + r1 = 0 2 2 2 也有: 也有:(nr2 ) = (?r1 ) = r1
又因为:r12 = x 2 + y 2 + z 2 又因为:

P
a

r2
e x

r2 = ( x ? a ) 2 + y 2 + z 2
2

所以: n 2 [( x ? a ) 2 + y 2 + z 2 ] = x 2 + y 2 + z 2 所以:

n2a 2 n2 化简后得: 化简后得:( x ? ) + y2 + z2 = 2 a 2 这是一个球面方程。 这是一个球面方程。 2 2 n ?1 (n ? 1)
n2 na a , 0 , 0 ),半径为: 2 球心为O ),半径为 半径为: 球心为O( 2 n ?1 n ?1

二、例题分析
5、绝缘光滑水平面固定有一正点电荷Q,带电量为-q的电荷在水平面 绝缘光滑水平面固定有一正点电荷Q 带电量为- 上绕着它做椭圆运动,负电荷质量为m 距正电荷最近距离为a 上绕着它做椭圆运动,负电荷质量为m,距正电荷最近距离为a,最远距离为 3a,万有引力忽略不计。(1)求负电荷在距正电荷最近点和最远点的速率。 3a,万有引力忽略不计。( 。(1 求负电荷在距正电荷最近点和最远点的速率。 若负电荷在距正电荷最远点处获得能量而绕其做圆周运动, (2)若负电荷在距正电荷最远点处获得能量而绕其做圆周运动,则它获得的 能量是多大? 能量是多大? 解1:设负电荷在最近点和最远点的速率分别为v1和v2,由于它的电势 设负电荷在最近点和最远点的速率分别为v 能和动能的总和在运动中保持不变,故有: 能和动能的总和在运动中保持不变,故有:

1 Qq 1 Qq 2 2 = mv2 ? k mv1 ? k 2 a 2 3a 类似开普勒第二定律有: 类似开普勒第二定律有: 1 ? a = v2 ? 3a v
解得: 解得:

v1 = v1 =

3kQq 2ma kQq 6ma

二、例题分析
5、绝缘光滑水平面固定有一正点电荷Q,带电量为-q的电荷在水平面上 绝缘光滑水平面固定有一正点电荷Q 带电量为绕着它做椭圆运动,负电荷质量为m 距正电荷最近距离为a 最远距离为3a, 绕着它做椭圆运动,负电荷质量为m,距正电荷最近距离为a,最远距离为3a, 万有引力忽略不计。( 。(1 求负电荷在距正电荷最近点和最远点的速率。( 。(2 万有引力忽略不计。(1)求负电荷在距正电荷最近点和最远点的速率。(2) 若负电荷在距正电荷最远点处获得能量而绕其做圆周运动, 若负电荷在距正电荷最远点处获得能量而绕其做圆周运动,则它获得的能量 是多大? 是多大? 解2:设负电荷绕正电荷做半径为3a的圆周运动时的速度为v3,则有 设负电荷绕正电荷做半径为3a的圆周运动时的速度为 的圆周运动时的速度为v
2 1 Qq Qq v3 2 ? mv3 = k k =m 2 2 6a (3a ) 3a

负电荷在最远处获得的能量为: 负电荷在最远处获得的能量为:

?ε =

1 1 Qq 2 2 mv3 ? mv2 = k 2 2 12a

一、知识概要 6、电容器
Q ?Q 电容器的电容: (1)电容器的电容:C = = U ?U

εs ,C = 4πkd
RA
RB

C 孤立导体的电容器:一个半径R的孤立球形导体的电容: (2)孤立导体的电容器:一个半径R的孤立球形导体的电容: =

R k

(3)圆柱形电容器: C = 1 ? L 圆柱形电容器: 2k ln( RB ) RA (4)球形电容器: 球形电容器:
RB

L RA

1 RA RB C= ? k RB ? RA

一、知识概要 6、电容器
n 1 1 1 1 …… 1 1 = + + =∑ 电容器的串联: (5)电容器的串联: C C C C Cn i =1 Ci 1 2 3

U = U1 + U 2 , q1 = q2 ,

U1 C2 = U 2 C1

(6)电容器的并联: C = C1 + C2 + C3 电容器的并联:

……

C n = ∑ Ci
i =1

n

q1 C1 U = U1 = U2 , q = q1 + q2 , = q2 C2

二、例题分析
1、试讨论如图所示的混练电容器的耐压值问题。图中标出的数据是各个 试讨论如图所示的混练电容器的耐压值问题。 电容器的电容及额定电压值。 电容器的电容及额定电压值。 解:由电容器的串并联公式得

Cb = 20uF + 10uF = 30uF 1 1 1 1 60 = + + ? C AB = uF C AB 10 20 30 11
如果每一部分都以额定电压充电,则 如果每一部分都以额定电压充电,
?3 , q2 = 1.2 ×10 ?3 C , q3 = 1.5 ×10 C q1 = 10 × 200 ×10 C = 2 ×10 C

?6

?3

由于电容器串联时的实际电荷量相等,则只能先满足q2,即满足 由于电容器串联时的实际电荷量相等,则只能先满足q 20uF,60V”, “20uF,60V”,则: ?3

U AB

q2 1.2 ×10 = = V = 220V 60 C AB ×10 ?6 11

这时各串联部分的实际电压值: 这时各串联部分的实际电压值:

U1 = 120V ,U 2 = 60V ,U 3 = 40V

二、例题分析
2、一平行板电容器,极板面积可视为无限大,将其两极板接地,今在两 一平行板电容器,极板面积可视为无限大,将其两极板接地, 极板间放置一带电荷量为+Q的薄板 它到两极板的距离分别为a 的薄板, 极板间放置一带电荷量为+Q的薄板,它到两极板的距离分别为a和b,求放入 此电荷后,电容器两极板上的电荷量。 此电荷后,电容器两极板上的电荷量。 解:将电荷量分开,构成两个电容器 将电荷量分开,

A

B

q A + qB = Q
且两个电容器的电压U相等, 且两个电容器的电压U相等,则可得

CA b = CB a
又因为 q A

qB

=

C AU C BU

由以上各式的: 由以上各式的: q = A

b a Q , qB = Q a+b a+b qA = ? b a Q , qB = ? Q a+b a+b

则A、B两极板所带电量分别为: 两极板所带电量分别为:

二、例题分析
3、由许多个电容为C的电容器组成一个如图所示的多级网络,试问: 由许多个电容为C的电容器组成一个如图所示的多级网络,试问: 在最后一级的右边并联一个多大电容C′,可使整个网络的A (1)在最后一级的右边并联一个多大电容C′,可使整个网络的A、B两端电 容也为C′?( ?(2 不接C′,但无限地增加网络的级数,整个网络A 容也为C′?(2)不接C′,但无限地增加网络的级数,整个网络A、B两端的 总电容是多少? 总电容是多少?

解1:在(1)问中,未给出具体级数,一般结论应适用特殊情况,令级数为 问中,未给出具体级数,一般结论应适用特殊情况, 1,于是: 于是:

1 1 1 5 ?1 + = ? C `= C C + C` C C` 2
解2:在(2)问中,因为无限,所以“无限加一级后仍为无限”,不难得 问中,因为无限,所以“无限加一级后仍为无限” 出方程: 出方程:

1 1 1 5 ?1 + = ? Cz = C C + Cz C Cz 2

二、例题分析
4、两块平行放置的很大的金属薄板A和B,面积都是S ,间距为d(d远 两块平行放置的很大的金属薄板A 面积都是S 间距为d 板带尽电量+Q 小于金属板的线度),已知A板带净电量+Q ),已知 小于金属板的线度),已知A板带净电量+Q1 ,B板带尽电量+Q2 ,且Q2< Q1 ,试求:(1)两板内外表面的电量分别是多少;(2)空间各处的场强; 试求:( :(1 两板内外表面的电量分别是多少;( ;(2 空间各处的场强; 两板间的电势差。 (3)两板间的电势差。 为方便解题,做图,忽略边缘效应, 解1:为方便解题,做图,忽略边缘效应,四个面的 电荷分布应是均匀的, 电荷分布应是均匀的,设四个面的电荷面密度分别为 σ1 、σ2 、σ3和σ4 ,显然: 显然:

(σ 1 + σ 2 ) s = Q1 , (σ 3 + σ 4 ) s = Q2 ,2πk (σ 1 + σ 2 + σ 3 ? σ 4 ) = 0

A、B板内部由于静电感应场强为零: 板内部由于静电感应场强为零:

2πk (σ 1 ? σ 2 ? σ 3 ? σ 4 ) = 0
解以上四式: 解以上四式: 1 = σ 4 = σ

Q1 + Q2 Q ? Q2 , σ 2 = ?σ 3 = 1 , 2s 2s

三、静电场的能量 1、电容器储存的电能公式: 电容器储存的电能公式:
1 Q2 2 W = CU = 2 2C
U

Q

2、电容器充电过程中,电容器仅得到了电源提供的一半能 电容器充电过程中, 量,另一半能量在导线和电源内阻上转化为内能或者以电磁波的 形式发射出去。 形式发射出去。
W = QU

三、静电场的能量 3、电场的能量 以平行板电容器为例,将贮有的电能用场强表示: 以平行板电容器为例,将贮有的电能用场强表示:
1 1 s 1 s sE 2 d 2 2 2 W = CU = ? ?U = ? ? ( Ed ) = 2 2 4πkd 2 4πkd 8πk

上式表面, 上式表面,平行板电容器充电后的能量与极板间场强的平方 成正比,并与电场所占空间(sd)的体积也是成正比的。 成正比,并与电场所占空间(sd)的体积也是成正比的。我们 通常把单位体积所储存的电场能量称为静电场的能量密度, 通常把单位体积所储存的电场能量称为静电场的能量密度,用ω 表示,对匀强电场而言有: 表示,对匀强电场而言有:
E2 ω= 8πk

上式虽然是从平行板电容器这一特殊情况下导出的,但适用 上式虽然是从平行板电容器这一特殊情况下导出的, 于然和形式的静电场能。对于非匀强电场,由于场强处处不同, 于然和形式的静电场能。对于非匀强电场,由于场强处处不同, 因而能量密度也是处处不同的,电场强度大的地方能量密度大。 因而能量密度也是处处不同的,电场强度大的地方能量密度大。

三、静电场的能量
1、三个电荷位置如图示,求电荷系的相互作用能。 三个电荷位置如图示,求电荷系的相互作用能。

解:系统的相互作用能,等于搬运各个点电荷过程中外力所做的功的代数和。 系统的相互作用能,等于搬运各个点电荷过程中外力所做的功的代数和。 先设想把- 从无穷远处移到图中的A 设为零势点), ),在这个过程中外力 先设想把-q从无穷远处移到图中的A点(设为零势点),在这个过程中外力 不做功, 不做功,即: W = 0
1

在把+q从无穷远处移到图中的 在把+q从无穷远处移到图中的B点,外力做功为: 从无穷远处移到图中的B 外力做功为:

q q2 W2 = ?q[0 ? (?k )] = ?k a a
在把- 从无穷远处移到图中的C 在把-q从无穷远处移到图中的C点,外力做功为: 外力做功为:

q q q2 W3 = ?(?q)[0 ? (k ? k )] = ?k a 2a 2a
所以: 所以:

3kq 2 E = W1 + W2 + W3 = ? 2a

三、静电场的能量
2、图中所示ab为一平行板电容器的两个极板,bc是一块长宽都与a板相 图中所示ab为一平行板电容器的两个极板 bc是一块长宽都与 为一平行板电容器的两个极板, 是一块长宽都与a 同的厚导体板,平行地插在a 之间,导体板的厚度bc=ab=cd,极板a 同的厚导体板,平行地插在a、d之间,导体板的厚度bc=ab=cd,极板a、d 与内阻可忽略的电动势为ε的蓄电池以及电阻R相连如图, 与内阻可忽略的电动势为ε的蓄电池以及电阻R相连如图,已知在没有导体板 bc时电容器a、d的电容为C。现将导体板bc抽走,设已知抽走过程中所做的 bc时电容器 时电容器a 的电容为C 现将导体板bc抽走 抽走, 功为W 求这过程中电阻R上消耗的电能。 功为W,求这过程中电阻R上消耗的电能。

解:抽走导体板的过程中, 抽走导体板的过程中, 除了外力做功和电阻消耗的 电能外,电容器储存的电能 电能外, 也要发生变化,另外, 也要发生变化,另外,由于 电容器的带电量减少, 电容器的带电量减少,这过 程中还有一部分能量转变为 电源储存的能量。 电源储存的能量。

三、静电场的能量
2、图中所示ab为一平行板电容器的两个极板,bc是一块长宽都与a板相 图中所示ab为一平行板电容器的两个极板 bc是一块长宽都与 为一平行板电容器的两个极板, 是一块长宽都与a 同的厚导体板,平行地插在a 之间,导体板的厚度bc=ab=cd,极板a 同的厚导体板,平行地插在a、d之间,导体板的厚度bc=ab=cd,极板a、d 与内阻可忽略的电动势为ε的蓄电池以及电阻R相连如图, 与内阻可忽略的电动势为ε的蓄电池以及电阻R相连如图,已知在没有导体板 bc时电容器a、d的电容为C。现将导体板bc抽走,设已知抽走过程中所做的 bc时电容器 时电容器a 的电容为C 现将导体板bc抽走 抽走, 功为W 求这过程中电阻R上消耗的电能。 功为W,求这过程中电阻R上消耗的电能。 解:已知没有导体板bc时,电容器的电容为C,当有bc时,电容器的电容为 已知没有导体板bc时 电容器的电容为C 当有bc时 C`相当于两个电容器ab和cd串联,而每个电容器的电容和C相比是其3倍, C`相当于两个电容器 和cd串联 而每个电容器的电容和C相比是其3 相当于两个电容器ab 串联, 所以: 所以:

1 1 1 3 = + ? C `= C C ` 3C 3C 2

在抽走bc的过程中 电容器的电能减少量为: 在抽走bc的过程中,电容器的电能减少量为: ?ε 1 = 的过程中,

1 ? 电容器极板上的电量减少量为: 电容器极板上的电量减少量为: Q = C `ε ? Cε = Cε 1 22 ? 由此可知对电源的充电电能为: 由此可知对电源的充电电能为: ε 2 = ?Qε = Cε 2

1 1 1 C `ε 2 ? Cε 2 = Cε 2 2 2 4

用A表示电阻上消耗的电能,由能量守恒可知: W + ?ε 1 = ?ε 2 + A 表示电阻上消耗的电能,由能量守恒可知: 所以:A = W + ?ε ? ?ε = W ? 1 Cε 2 所以: 1 2

4

一、电场中的导体与电介质的极化 1、电场中的导体的特点
(1)导体内部场强为零; 导体内部场强为零; (2)导体表面是等势面,整个导体是等势体。 导体表面是等势面,整个导体是等势体。 (3)净电荷只分布在导体的外表面上。 净电荷只分布在导体的外表面上。 (4)导体表面处场强的方向一定与导体表面垂直。 导体表面处场强的方向一定与导体表面垂直。

2、电介质的极化
电介质分为两类:无极分子和有极分子,前者是指在没有外电场时每个 电介质分为两类:无极分子和有极分子, 分子的正、负电荷“重心”彼此重合(如气态的H2 、O2 、N2和CO2),后 分子的正、负电荷“重心”彼此重合(如气态的H2 N2和CO2),后 ), 者则反之(如气态的H2O 、SO2和液态的水硝基笨) 者则反之(如气态的H2O SO2和液态的水硝基笨) 和液态的水硝基笨 电介质的极化:当介质中存在外电场时,无极分子会变为有极分子, 电介质的极化:当介质中存在外电场时,无极分子会变为有极分子,有 极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列,如图所示。 极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列,如图所示。

一、电场中的导体与电介质的极化 3、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷 束缚电荷、自由电荷、
a、束缚电荷与自由电荷:在图中,电介质左右两端分别显现负电和正 束缚电荷与自由电荷:在图中, 但这些电荷并不能自由移动,因此称为束缚电荷,除了电介质, 电,但这些电荷并不能自由移动,因此称为束缚电荷,除了电介质,导体中 的原子核和内层电子也是束缚电荷;反之, 的原子核和内层电子也是束缚电荷;反之,能够自由移动的电荷称为自由电 事实上,导体中存在束缚电荷与自由电荷, 荷。事实上,导体中存在束缚电荷与自由电荷,绝缘体中也存在束缚电荷和 自由电荷,只是它们的比例差异较大而已。 自由电荷,只是它们的比例差异较大而已。

b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷,就是指图中电介质两端显现 极化电荷是更严格意义上的束缚电荷, 的电荷。而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的, 的电荷。而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的,它是指可以自由移动的净 电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是:前者能够用来冲放电, 电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是:前者能够用来冲放电,也能 用仪表测量,但后者却不能。 用仪表测量,但后者却不能。

一、电场中的导体与电介质的极化 3、镜像法求解:镜像法是一种求解边值问题的间接方法, 镜像法求解:镜像法是一种求解边值问题的间接方法, 其基本原理是:用放置在所求场域之外的假想电荷(既像电荷) 其基本原理是:用放置在所求场域之外的假想电荷(既像电荷) 等效的替代导体表面(或介质分界面)上的感应电荷( 等效的替代导体表面(或介质分界面)上的感应电荷(或极化电 对场分布的影响, 荷)对场分布的影响,从而将求解实际的边值问题转换为求解无 界空间的问题。 界空间的问题。 具体点来说,镜像法解题的理论依据是唯一性定理, 具体点来说,镜像法解题的理论依据是唯一性定理,镜像法 的目的就是要凑出若干个点电荷代替在分界面的感应电荷描述源 所在空间的电势或电场分布,这符合唯一性定理。 所在空间的电势或电场分布,这符合唯一性定理。 根据唯一性 定理,镜像电荷的确定应遵循以下两条原则: 定理,镜像电荷的确定应遵循以下两条原则: 1.所有的镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中; 1.所有的镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中 所有的镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中; 2.镜像电荷的个数位置及电荷量的大小由满足场域边界上 2.镜像电荷的个数位置及电荷量的大小由满足场域边界上 的边界条件来确定。 的边界条件来确定。

一、电场中的导体与电介质的极化
1、一个半径为R的接地导体球,距球心d处有一点电荷q,求导体球上感 一个半径为R的接地导体球,距球心d处有一点电荷q 应电荷总量。 应电荷总量。

q 解: q在球心产生的电势为:?1 = k d 在球心产生的电势为:
设球面上感应电荷总量为q` q`在球心产生的电势为 q`, 在球心产生的电势为: 设球面上感应电荷总量为q`,q`在球心产生的电势为:? 2 = k 所以球心电势: 所以球心电势:

q` R

q q` ?O = ?1 + ? 2 = k + k d R
因为球接地,所以球心电势: O = 0 ? 因为球接地,所以球心电势:

q q` R k + k = 0 ? q`= ? q d R d

一、电场中的导体与电介质的极化
2、一无限大接地导体板A前面有一点电荷Q,如图示,则导体板A前的 一无限大接地导体板A前面有一点电荷Q 如图示,则导体板A 空间电场, 空间电场,

q 解: q在球心产生的电势为:?1 = k d 在球心产生的电势为:
设球面上感应电荷总量为q` q`在球心产生的电势为 q`, 在球心产生的电势为: 设球面上感应电荷总量为q`,q`在球心产生的电势为:? 2 = k 所以球心电势: 所以球心电势:

q` R

q q` ?O = ?1 + ? 2 = k + k d R
因为球接地,所以球心电势: O = 0 ? 因为球接地,所以球心电势:

q q` R k + k = 0 ? q`= ? q d R d


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