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辽宁省凤城市第一中学2014-2015学年高二数学6月月考试题 理


凤城一中 2014/2015 下学期月考 高二理科数学试题
1. 若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 4 ? 2i(i 为虚数单位) ,则 | z |? ( A. 2 2、下列值等于 1 的是( A ?1 0 xdx B. ) ) D.
1 D ?0

3

C. C ?1 0 1dx )

5
1 dx 2

10

B ?1 0 ( x ? 1)dx

7 7 8 3、已知 Cn ?1 ? Cn ? Cn ,那么 n 的值是(

A.12 B.13 C.14 D.15 4.某人射击一次击中的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 81 54 36 27 A. B. C. D. 125 125 125 125 5、一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都乘以 2 后再加上 60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是 ( ) A. 62.8 , 3.6 B. 62.8 , 14.4 C. 65.6 , 3.6 D. 65.6 , 14.4 6、已知 f ( x ) 是定义在 R 上偶函数且连续,当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,若 f (lg( x)) ? f (1), ,则 x 的取值范围是 ( )

1 ,10) D.(0,1) ?(10, ??) 10 5 7、设随机变量 ? ~B(2,p),? ~B(4,p),若 p (? ? 1) ? ,则 p(? ? 2) 的值为( ) 9 32 11 65 16 A B C D 81 81 27 81 3 8、过曲线 y ? x ? bx ? c 上一点 A(1,2)的切线方程为 y ? x ? 1 ,则 b ? c 的值为( ) A. ? 6 B.6 C. ? 4 D.4 9、两封不同的信随机投入 A, B, C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 ? 的数学期望 E? ? ( ) 1 2 1 3 A. B. C. D. 3 3 2 4
A.( C.( 10、已知函数 f(x)=x?sinx 则 f (? A. f (?

1 1 ,1) B.(0, ) ? (1,??) 10 10

?

?

C. f ( ) ? f (1) ? f ( ?

?

) ? f (1) ? f ( ) 4 3

?

), f (1)及( f ) 的大小关系为( 4 3
B. f (1) ? f ( ) ? f ( ? D. f ( ) ? f (?

?



?

?

?

3

4

)

?

3

?
4

4

)

3

) ? f (1)

x x 11、 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:f ( x) + f ( x) > 1 ,f (0) = 4 , 则不等式 e f ( x) > e + 3 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为( ) +? ) +? ) A. (0, B. (- ? ,0) U (3, ? ) C. (- ? ,0) U (0, ? ) D. (3,

'

12、已知 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? m, 其中 a ? 0 ,如果存在实数 t 使 f ' (t ) ? 0 ,则 3 2t ? 1 f ' (t ? 2) ? f ' ( ) 的值( ) 3
1

A. 必为负数 13.在 ( ? x )(1 ?

B. 必为正数

C. 可能为零

D. 可正可负

2 x

x ) 6 的展开式中, x 的系数是

14.把一枚硬币任意抛掷三次, 事件 A= “至少一次出现反面” , 事件 B= “恰有一次出现正面” , 求 P(B|A)= 15.若函数 f ( x) = ln x + x +

2 - a 有零点,则 a 的取值范围是 x

16.由正整数组成的一组数据 x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1, 则这组数据为________.(从小到大排列) 17.(本题满分 12 分) 已知

? x ? 1?

n

? a0 ? a1 ? x ? 1? ? a2 ? x ?1? ? ? ? an ? x ? 1? , (其中 n ? N ).
2 n
*

(1)求 a 0 及 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ; (2)试比较 s n 与 ? n ? 2? ? 2 ? 2n 的大小,并用数学归纳法给出证明过程.
n 2

18.(本题满分 12 分) 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗 人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有 60%, 参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相 互之间没有影响. (1).任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率(用数字作答); (2).任选 3 名下岗人员,记 X 为 3 人中参加过培训的人数,求 X 的分布列和数学 期望.

19.(本题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? ax+lnx, x ??1, e? , (1)若 a ? 1 ,求 f ? x ? 的最大值; (2)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

20.(本题满分 12 分) 某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加 A,B,C,D,E 五项考试,如果前四项 中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一定 继续参加后面的考试.已知每一项考试都是相互独立的,一定继续参加后面的考试.已知每 1 一项考试都是相互独立的,该考生参加 A,B,C,D 四项考试不合格的概率均为 ,参加第五 2 2 项不合格的概率为 . 3
2

(1)求该考生被录取的概率; (2)记该考生参加考试的项数为 X,求 X 的分布列及其期望值.

21.(本题满分 12 分) 已知函数

1 ? ln ? x ? 1? ? x ? 0? . x ? ?? 上单调性并证明你的结论; (1)试判断函数 f ? x ? 在? 0, f ? x? ?
(2)若 f ? x ?> (3)求证: ?1 ? 1? 2 ??1 ? 2 ? 3??1 ? 3 ? 4 ? ??? ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ? >e

k 对于?x ? ? 0, ?? ? 恒成立,求正整数 k 的最大值; x ?1
2 n ?3

.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答 时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E ,割线 PBA 交⊙ O 于 A 、 B 两点, ? APE 的平分线和

AE , BE 分别交于点 C , D .求证: (1) CE ? DE ; CA PE ? (2) . CE PB
A

E C ?O P B D

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? ? y ? sin ?

, ( ? 为参数),以原点 O

为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? sin(? ? (1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C 2 上点的距离的最小值.

?
4

)?2 2.

3

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?a .

(1)若关于 x 不等式 f ( x) ? 6 的解集是 {x | ?2 ? x ? 3} ,求实数 a 的值; (2)在(1)条件下,若存在实数 x ,使 f ( x) ? m ? f (? x) 成立,求实数 m 的取值范围.

4

选择题 题号 选项 填空题 13、31 1 D

凤城一中 2014/2015 下学期月考 高二理科数学参考答案 2 C 3 C 4 A 15、 a ? 3 5 D 6 C 7 B 8 A 9 B 10 C 11 A 12 A

14、

3 7

16、1,1,3,3

解答题 17、(本题满分 12 分)

解:(1)取 x=1,则 a0=2 ;??????????2 分 取 x=2,则 a0+a1+a2+a3++an=3 , ∴Sn=a1+a2+a3++an=3 -2 ;????????????4 分 (2)要比较 Sn 与(n-2)2 +2n 的大小, 即比较:3 与(n-1)2 +2n 的大小, 当 n=1 时,3 >(n-1)2 +2n ; 当 n=2,3 时,3 <(n-1)2 +2n ; 当 n=4,5 时,3 >(n-1)2 +2n
n n n 2 n n 2 n n 2 n n 2 n 2 n n n

n

猜想:当 n≥4 时,3 >(n-1)2 +2n ,????????????6 分 下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知,n=4 时结论成立,????????????7 分 假设当 n=k,(k≥4)时结论成立,即 3 >(k-1)2 +2k , 两边同乘以 3 得:3 >3 [(k-1)2 +2k ]=k2 +2(k+1) +[(k-3)2 +4k -4k-2] 而(k-3)2 +4k -4k-2=(k-3)2 +4(k -k-2)+6=(k-3)2 +4(k-2)(k+1)+6>0 ∴3 >((k+1)-1)2 +2(k+1)
k+1 k+1 2 k 2 k 2 k k+1 k 2 k+1 2 k 2 k k 2

n

2

即 n=k+1 时结论也成立,??????????11 分 ∴当 n≥4 时,3 >(n-1)2 +2n 成立.??????12 分 18、(本题满分 12 分) 解:任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A, “该人参加过计算机培训”为事件 B, 由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.6,P(B)=0.75.???????2 分 (1)任选 1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是 ???????4 分
n n 2

5

根据事件的对立事件得到该人参加过培训的概率是 P2=1-P1=1-0.1=0.9.?????6 分 (2)∵每个人的选择是相互独立的, ∴3 人中参加过培训的人数ξ 服从二项分布 B(3,0.9),???????8 分 即ξ 的分布列是 P(ξ =k)=C3 ×0.9 ×0.1 ,k=0,1,2,3,???????10 分 ξ 的期望是 Eξ =3×0.9=2.7?????????????12 分 19、(本题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? 1 ?
'
k k 3-k

1 ? 0 ? 函数 f ( x) 在 [1, e] 上单调递增???????4 分 x

? f ( x) 的最大值为: f (e) ? e ? 1 ???????6 分
(2) 、 f ? x? ? 0 ? a ? ? 令 g ( x) ? ?

ln x x

ln x ???????8 分 x ln x ? 1 ?0 x ? [1, e] ? g ' ( x) ? x2

函数 g ( x) 在 [1, e] 上单调递减,???????10 分

1 g (e) ? ? ? g ( x) 的最小值为: e ???????11 分 1 ?a ? ? e ???????12 分

20.(本题满分 12 分) 解: (1)若该生被录取,则前四项最多有一项不合格,并且第五项必须合格 记 A={前四项均合格},B={前四项中仅有一项不合格}

1 4 2 1 ????????????2 分 2 3 48 1 3 2 1 1 1 P(B)= C4 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ?????????4 分 2 2 3 12 5 又 A、B 互斥,故所求概率为 P=P(A)+P(B)= ?????????6 分 48 (2)该生参加考试的项数 ? 可以是 2,3,4,5.
则 P(A)= ( ) ? (1 ? ) ? , , 9分 2 3 4 5 ???????

????????10 分
6

????????12 分 21(本题满分 12 分)

1 ? ln(x ? 1) ' x ? 1 解:(1) f ( x) ? ? x2 ? x ? 0,? f ' ( x) ? 0
故函数

f ? x ? 在? 0, ? ?? 上单调递减????????3 分
k ( x ? 1) ? [1 ? ln( x ? 1)] ? k ? g ( x) ? x ?1 x

(2) f ? x ?>

x ? 1 ? ln( x ? 1) 令 h( x) ? x ? 1 ? ln(x ? 1) x ? 0 x x h ' ( x) ? ? 0 ? h( x) 在(0, ? ?) ? ????????5 分 x ?1 ? h(2) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(3) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 g ' ( x) ?

??唯一x0 ? (2,3), h( x0 ) ? 0 即 x0 ? 1 ? ln(x0 ? 1)
因此函数 g ( x) 在 (0, x0 ) ?, 在 ( x0 ,??) ?

? g ( x)min ? g ( x0 ) ? x0 ?1? (3, 4) ????????7 分
所以正整数 k 的最大值是 3????????8 分 3x 3 3 3 ?1 ? 2 ? ? 2? (3)由 2 知: f ? x ?> ? ln( x ? 1) ? x ?1 x ?1 x x ?1 ???????? 10 分 3 1 1 ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ? ? 2 ? 3( ? ) 令 x ? n ? (n ? 1) 则

n(n ? 1)

n

n ?1

再令 n=1,2,??n,两边分别相加得:

ln[(1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ?? (1 ? n ? ( n ? 1)) ? 2n ? 3(1 ?

2 n ?3 ????????12 分 ? ?1 ? 1? 2 ??1 ? 2 ? 3??1 ? 3 ? 4 ? ??? ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ? >e

1 ) ? 2n ? 3 n ?1

22 证明:(1)? PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP , 因为 PC 平分 ?APE ,??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ,
? ?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE , ??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED .

????5 分

(2)? ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE , PE PC ??BPD ? ?EPC ,??PBD ∽ ?PEC ,? , ? PB PD PC CA PE CA 同理 ?PDE ∽ ?PCA ,? ,? , ? ? PD DE PB DE CA PE . ? DE ? CE , ? ? CE PB

????10 分

x ? x ? 3 cos? ? ? cos? ? 23 解:(1)由曲线 C1 : ? 得? 3 , ? y ? sin ? ? ? y ? sin ?

7

x2 ? y2 ? 1, 3 2 ? ? (sin ? ? cos ? ) ? 2 2 , 由曲线 C 2 : ? sin(? ? ) ? 2 2 得: 4 2 即:曲线 C 2 的直角坐标方程为: x ? y ? 4 ? 0 . ????5 分 (2)由(1)知椭圆 C1 与直线 C 2 无公共点,
即:曲线 C1 的普通方程为: 椭圆上的点 P( 3 cos? , sin ? ) 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离为

? 2 2? ) ? ?1 时, d 的最小值为 2 . 所以当 sin(? ? 3 24.解: (1)由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a , 所以 a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 , 所以 a ? 3 ? ?2 ,所以 a ? 1 . (2)由(1)知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? ,
1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? , 则, ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ? 所以 ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? .

d?

3 cos ? ? sin ? ? 4

2sin(? ?

2? )?4 3 , 2

????10 分

????5 分

????10 分

8



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