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山东省诸城一中2012届高三下学期阶段测试数学(文)试题


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诸城一中 2012 届高三阶段测试
数学试题(文科)

本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,60 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号

、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题 卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 3.考试结束后,考生将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有 一项是符合题目要求的) 1.设函数 y ? x ? 1 的定义域为 A,集合 B ? y | y ? x , x ? R ,则 A?B ?
2

?

?

A.?

B. [0,?? )

C. [1,?? )
1 B. y ? ( ) x ( x ? R) 2

D. [?1,??)

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
1 A. y ? ( x ? R且x ? 0) x

C. y ? x( x ? R) 3.已知函数 f (x) ?

D. y ? ? x 3 ( x ? R)
2 x, x ? 0 ,若 f(a) ? f(1) ? 0 ,则实数 a 的值等于 x ? 1, x ? 0

A.-3 B.-1 C.1 4.设 0 ? b ? a ? 1 ,则下列不等式成立的是 A. ab ? b 2 ? 1 C. 2 b ? 2 a ? 2
3 2

D.3

B. a 2 ? ab ? 1 D. log1 b ? log1 a ? 0
2 2

5.函数 y ? f(x) 在定义域( ? ,3 )内的图象如图所示,记 y ? f(x) 的导函数为 y ? f ' (x) ,则不 等式 f ' ( x) ? 0 的解集为
3 1 A. [? , ] ? [1,2) 2 2

1 4 8 B. [?1, ] ? [ , ] 2 3 3 1 C. [? ,1] ? ?2,3? 3 3 1 1 4 4 D. (? ,? ] ? [ , ] ? [ ,3) 2 3 2 3 3
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(1)以下有关命题的说法错误的是 A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” B.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 C.若 p? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 D.对于命题 p : ? x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ? x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 7.函数 y ? x 2 cosx 的导数为 A. y'? x 2 cosx? 2 xsinx C. y'? 2 xcosx? x 2sinx B. y'? 2 xcosx? x 2sinx D. y'? xcosx? x 2sinx

8.已知函数 f(x) ? x ? 2 x , g(x) ? x ? lnx 的零点分别为 x 1 , x 2 ,则 x 1 , x 2 的大小关系是 A. x 1 ? x 2 9.已知 f (x) ? A.(1,+ ? ) B. x 1 ? x 2
(3 ? a) x ? a loga x
3 2

C. x 1 ? x 2

D.不能确定

(x ? 1) 是( ??,?? )上是增函数,那么实数 a 的取值范围是 (x ? 1)

B. ( ,3)

C. [ ,3)

3 2

D.(1,3) P , 且 点 P 在 直 线

9.函 数 f(x) ? a x ?1 ? 3(a ? 0,且a ? 1) 的 图 象 过 一 个 点
mx ? ny? 1 ? 0(m ? 0 且n ? 0) 上,则

1 4 ? 的最小值是 m n

A.12 B.13 C.24 D.25 11.已知函数 f(x ? 1) 是奇函数, f(x ? 1) 是偶函数,且 f(0) ? 2,则 f(4) = A.-2 B.0 C.2 D.3
1 12.具有性质: f ( ) ? ? f ( x) 的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: x
1 1 ? y ? x? ;? y ? x ? ;?y= x x
x, (0 ? x ? 1) 0, ( x ? 1) 中满足“倒负”变换的函数是 1 ? ( x ? 1) x

A.??

B.??

C.??

D.只有?

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第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
注意事项: 1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题两个大题。 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上。 2.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卷中对应题号后的横线上) 13.已知曲线 y ?
5 x2 ? 3 lnx 的一条切线的斜率为 ? ,则切点的坐标为 2 4 1 f(4) =3,则 f ( ) = 2 f(2)



14.若 f(x) 是幂函数,且满足



15.若命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是 ;

x ? y? 1 ? 0 16.若实数 x,y 满足 x ? y ? 0 ,则 z ? 3 x?2 y 的最小值是 . x?0 3.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)
已知两个集合 A ? {x |
mx ? 1 ? 0} , B ? {x | log1 x ? 1} ;命题 P:实数 m 为小于 6 的正整数,命 x 2

题 q:A 是 B 成立的必要不充分条件,若命题 p? q 是真命题,求实数 m 的值.

18.(本小题满分 12 分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图 、 、 、 案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正 方形的摆放规律相同) ,设第 n 个图形包含 f(n) 个小正方形.

(Ⅰ)求出 f(5) ; (Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n ? 1) 与 f(n) 的关系式,并根据你得到的关
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系式求 f(n) 的表达式. 19.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x) ? ax 2 ? bx? c(a ? 0), 不等式 f(x) ? ?2 x 的解集为(1,3). (Ⅰ)若方程 f(x) ? 6 a ? 0 有两个相等的实根,求 f(x) 的解析式; (Ⅱ)若 f(x) 的最大值为正数,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)
1 1 已知函数 f(x) ? x 3 ? x 2 ? cx? d 有极值. 3 2

(Ⅰ)求 c 的取值范围;
1 (Ⅱ)若 f(x) 在 x=2 处取得极值,且当 x ? 0 , f(x) ? d 2 ? 2 d 恒成立,求 d 的取值范围. 6

21.(本小题满分 12 分) 如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相 等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (Ⅰ)设 AD=x(x ? 0),ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式,并 注明函数的定义域; (Ⅱ)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位 置应在哪里?如果 DE 是参观线路,则希望它最长,DE 的位置又应 在哪里?请给予证明.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x) ? ax 3 ? (a ? 2) x 2 ? 6 x ? c (a,c 为常数) , (Ⅰ)若函数 f(x) 为奇函数,求此函数的单调区间
1 (Ⅱ) g(x) ? (a ? 2) x 2 ? 3 ? c , a ? 0 时, 记 当 试讨论函数 y ? g(x) 与 y ? f(x) 的图象的交点个数. 2

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高三数学试题(文科)参考答案及评分标准
一、选择题: BDADC CCACD AB 二、填空题: 13.(1,
1 ) 4

14.

1 3

15. (??,?1) ? (3,??)

16.1

三、解答题 17.解:? 命题 p? q 是真命题,? 命题 p 和 q 都是真命题 ????????? 2 分 ? 命题 p 是真命题,即 0 ? m ? 6, m ? N ? ?

mx ? 1 1 ? 0} ? {x | 0 ? x ? } ????????????????? 4 分 x m 1 B={ x | log1 x ? 1 }= {x | 0 ? x ? } ???????????????????? 6 分 2 2
? A= {x | ? 命题 q 是真命题,? B
? ?

A,???????????????????? 8 分



1 1 ? m 2

??????????????????????????????10 分

由??得 m=1.????????????????????????????? 12 分 15.解: (Ⅰ)? f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ? f(5)=25+4×4=41.?????????????????????????? 4 分 (Ⅱ)? f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 由上式规得出 f(n+1)-f(n)=4n.????????????????????? 8 分 ? f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, ???? f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), f(n)-f(n-1)=4·(n-1) ???????????????????????? 10 分 ? f(n)-f(1)=4[1+2+?+(n-2)+(n-1)]=2(n-1)·n, ? f(n)=2 n 2 ? 2 n ? 1 .?????????????????????????? 12 分 19.解: (Ⅰ)∵不等式 f(x) ? ?2 x 的解集为(1,3) ∴ x ? 1 和 x ? 3 是方程 ax 2 ? (b? 2) x ? c ? 0(a ? 0) 的两根
b? 2 ? ?4 a c ?3 a



∴ b ? ?4 a ? 2, c ? 3 a ?????????????????? 2 分

又方程 f(x) ? 6 a ? 0 有两个相等的实根 ∴△= b 2 ? 4 a(c? 6 a) ? 0

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∴ 4(2a ? 1)2 ? 4 a? 9 a ? 0

即 5 a 2 ? 4 a?1 ? 0

1 ∴ a ? ? 或 a ? 1 (舍)??????????????????????????4 分 5 1 6 3 ∴ a ? ? , b ? ? ,c ? ? 5 5 5 1 6 3 f(x) ? ? x 2 ? x ? ???????????????????????????6 分 5 5 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x) ? ax 2 ? 2(2a ? 1) x ? 3 a ∵a ?0,
? a 2 ? 4a ? 1 ??????????????????????8 分 a ∵ f(x) 的最大值为正数
a?0

∴ f(x) 的最大值为



????????????????????????? 10 分 ? a 2 ? 4 a?1 ?0 a
a?0 a 2 ? 4a ? 1 ? 0



解得 a ? ?2 ? 3 或 ? 2 ? 3 ? a ? 0

∴所求实数 a 的取值范围是 (??,?2 ? 3 ) ? (?2 ? 3,0) ??????????? 12 分
1 1 20.解: (Ⅰ)∵ f(x) ? x 3 ? x 2 ? cx? d, ∴ f ' (x) ? x 2 ? x ? c ,????????? 2 分 3 2

因为 f(x) 有极值,则方程 f ' (x) ? x 2 ? x ? c ? 0 有两个相异实数解,
1 ??????????????????????? 4 分 4 (Ⅱ)∵ f(x) 在 x ? 2 处取得极值,

从而 Δ ? 1? 4c ? 0 ,∴ c ?

f' (2) ? 4 ? 2 ? c ? 0 ,

∴ c ? ?2 .??????????????????????????????? 6 分
1 1 ∴ f(x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? d , 3 2

∵ f ' ( x) ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ? 1), ∴当 x ? (??,?1) 时, f ' (x) ? 0 ,函数单调递增, 当 x ? (?1,0) 时, f ' (x) ? 0 ,函数单调递减.???????????????? 8 分
7 ∴当 x<0 时, f(x) 在 x=-1 处取得最大值 ? d , 6 1 ∵x<0 时, f(x) ? d 2 ? 2 d 恒成立, 6

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7 1 ? d ? d 2 ? 2 d ,即 (d? 7)(d? 1) ? 0 ,??????????????????12 分 6 6

∴ d ? ?7 或 d ? 1 , 即 d 的取值范围是 (??,?7) ? (1,??) .???????????????????12 分 21.解: (Ⅰ)在△ADE 中,由余弦定理得: y 2 ? x 2 ? AE2 ? 2 x? AE? cos60?
y 2 ? x 2 ? AE2 ? x? AE , ? ??????????????????????? 1 分

1 3 1 2 又 SΔADE ? SΔABC ? ? x? AE? sin60? ? x? AE ? 2 ? AE ? . ? 2 2 2 x 2 把?代入?得 y 2 ? x 2 ? ( ) 2 ? 2(y ? 0) , x

???? 2 分

∴ y ? x2 ?
x?2

4 ? 2 ??????????????????????????4 分 x2



AE ?

2 ?2 x

∴1 ? x ? 2

即函数的定义域为 {x | 1 ? x ? 2} .???????????????????? 6 分 (Ⅱ)如果 DE 是水管,则 y ? x 2 ? 当且仅当 x 2 ?
4 ? 2 ? 2?2 ? 2 ? 2 , x2

4 ,即 x ? 2 时“=”成立,故 DE//BC,且 DE= 2 .?????? 8 分 x2 4 8 ,则 f ' (x) ? 2 x ? 3 x2 x

如果 DE 是参观线路,记 f(x) ? x 2 ?

∴函数 f(x) 在 [1, 2 ) 上递减,在 [ 2 ,2] 上递增 故 f(x) max ? f(1) ? f(2) ? 5 . ??????????????????????? 10 分 ∴ y max ? 5 ? 2 ? 3 . 即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时,DE 最长.????????????????? 12 分 22.解: (Ⅰ)∵ f(x) ? ax 3 ? (a ? 2) x 2 ? 6 x ? c 为奇函数,∴ c ? 0, a ? ?2 .?????2 分 ∴ f(x) ? ?2 x 3 ? 6 x, f ' (x) ? ?6 x 2 ? 6 ? ?6(x? 1)(x? 1) .
f ' ( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 1, ∴ y ? f(x) 单调递增区间为[-1,1]; f ' ( x) ? 0 ? x ? ?1 或 x ? 1 ,∴ y ? f(x) 单调递减区间为 (??,?1], [1,??) . ???? 5 分

(Ⅱ)函数 y ? g (x ) 的图象与 y ? f(x) 的图象的交点的个数即为方程 f(x) ? g(x) 的根的个数,即
3 ax 3 ? (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 的根的个数. 2

3 令 F(x) ? ax 3 ? (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 ,即是求函数 y ? F (x) 的图象与 x 轴的交点个数. 2
F ' (x) ? 3 ax 2 ? 3(a? 2) x ? 6 ? 3(x? 1)(ax? 2) .????????????????7 分

?当 a ? 0 时, F(x) ? ?3(x? 1)2 , y ? F(x) 的图象与 X 轴只有 1 个交点;?????8 分
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2 2 ? 1, F' (x) ? 3 a(x? 1)(x ? ) . a a 当 x 变化时, F' (x) 、F(x) 的变化情况如下表:

?当 a ? 0 时,

x
F' (x) 的符号
F(x) 的单调性

2 (??, ) a

2 ( ,1) a

(1,?? )

-

+

-

?????????????????????????????????????10 分
2 1 3 3 由表格知: F(x) 极小值 ? F( ) ? ?4( ? ) 2 ? ? 0 , a a 4 4
a ? 0. 经验算 F(2) ? 2 a ? 3 ? 0 . 2 ∴ y ? F(x) 的图象 x 轴有 3 个不同交点.????????????????????12 分 F(x) 极大值 ? F(1) ? ?

综上所述:当 a=0 时,函数 y ? g(x) 的图象与函数 y ? f(x) 的图象的交点的个数为 1;当 a<0 时,函 数 y ? g(x) 的图象与函数 y ? f(x) 的图象的交点的个数为 3. ???????? 14 分

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