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一元二次方程与几何综合(教师版)


一元二次方程与几何综合
一、教学目标
知识目标:运用根的判别式及韦达定理解决与一元二次方程的根有关的几何问题,强化旋转中的基本图形 和有关圆的综合题的处理方法. 能力目标:能熟练地将方程的根与几何图形中的条件联系起来,通过方程的性质和几何图形的性质实行转 化. 情感目标:增强学习的信心,培养科学探究的意识.

二、教学重点
建立一

元二次方程的两根的与几何图形之间的联系.

三、教学难点
含参一元二次方程的处理.

四、课时安排
2~3 课时(2 小时左右) .

五、教学过程
1.先简单回顾上节课一元二次方程综合题的基本方法,并回顾韦达定理的基本内容和含参数的一元二次方 程的处理方法. 2.例题讲解: 【例 1】 (2013~2014· 江岸九上起点· (试题难度:A) 25)

1

参考答案: (1)①

a 2 ? ;②m=1(2)5000. b 3
5 a ,且∠BAD=45°,故过 B 点做 BF⊥AD 于 F,在△BFD 2

分析: (1)①△ABD 的三边分别为 2a、b、

中使用勾股定理可以得到 a、b 之间的关系式,因式分解之后得到两个结果,根据条件 a<b 可以排除一个 结果;②由韦达定理可以得到 a、b 与 m 之间的两个关系式,再加上①求出的结果,一共三个方程,可以 把 m 的值求出来,得到两个解 m=1 和 m=-3,分别算出 a、b 之后发现当 m=-3 时 a、b 为负值,又 a、b 是 线段长不可能为负,故排除此解,所以 m=1. (2)a、b、c 长度都未知,只知道 BE 的长,直接去求五边形各部分面积肯定行不通.考虑到△ABC 和△ ADE 是两个共底角顶点的等腰直角三角形,尝试使用全等将五边形 ABCDE 拼接成为一个与 BE 相关的三 角形.故取 CD 中点 F,延长 EF 至 G,使 FG=EF,连接 BG、CG,则△EDF≌△GCF,△BAE≌BFG, 所以五边形 ABCDE 的面积就等于△EBG 的面积,而△EBG 又是一个腰长为 100 的等腰直角三角形,问题 解决. 另法:过 E 点做 AB 的垂线,交 BA 延长线于 F,过 D 做 DG⊥AC 于 G,设 EF=x,AF=y,证明△AEF∽△ DAG,且相似比为 2 ,在△BEF 中使用勾股定理用 a、b、x、y 把 BE 表示出来,再把五边形 ABCDE 的 面积表示出来,然后做整体代换,也可以求出结果,此法较复杂. 点评:本题(1)的①②两问都有两个结果,算出答案之后注意结合题目条件验证,排除掉与几何条件不 符的结果;第(2)问考查了两个等腰直角三角形共底角顶点的基本图形.

【例 2】 (2013~2014· 黄陂区九上期中· 改编) 24 (试题难度:A)

参考答案: (1)PA=9; (2)10. 分析: (1)这是一个八年级常考的图形,结论是 PA=PB+PC,又由韦达定理得到 PB+PC=9,问题解决.给 出两种证明:①延长 PC 至 D,使 CD=BP,证明△ABP≌△ACD;②延长 BP 至 E,使 PE=PC,证明△BCE ≌△ACP. (2)根据韦达定理不能求出 p、q,所以先处理第二个式子,去掉绝对值之后可以将其因式分解,得到 p=6 或 q=3,将两种情况都代入到韦达定理中验算,可以排除掉 q=3 的结果,故 p=6,q=8.要使 PA+PB+PC
2

最小,可以将△BPC 绕点 B 顺时针旋转 60°至△BED,则 PA+PB+PC 转化为 PA+PE+ED,则当 PA、PE、 ED 共线时有最小值,即最小值为 AD,因为 AB=6,BD=BC=8,∠ABD=90°,故 AD=10. 点评:本题第(1)问考查八年级常考的图形以及韦达定理;第(2)问是一元二次方程与几何最值问题的 结合. 阶段性小结:例 1 例 2 告诉我们,在做此类题目的时候,常常会得到多解,得到的结果一定要结合题目条 件一一验证.

【例 3】 (2013· 武汉元调· (试题难度:B) 25)

参考答案: (1)略; (2) 2 ; (3)0<m<1 或-2≤m<-1 分析: (1)因为 AC+CE=AE,所以只需证明 CE= 3 BC 即可,因为 BC⊥CE,所以连接 BE,只需证明∠ E=30°,因为∠E 是⊙O 的圆周角,所以∠E 是∠O 的一半,问题得证; ⌒ (2)取AB 中点 F,连接 AF、BF,则出现了一个八年级常考的图形,过 F 分别向 AC、BC 做垂线,垂足 分别为 G、H,则△AFG≌△BFH,故 AC+BC=2AG,又因为 AG≤AF,故 AC+BC≤2AF= 2 . (3)这个关于 x 的方程可以因式分解,可以得到 x1 =b 和 x2 = ? 3a ? b ,所以需要考虑两种情况:b 的范 围即 AC 的范围,即 0 到 1 之间; ? 3a ? b 的范围可以考虑 AE,当 C 在运动过程中,AE 最短为 AB,最 长为⊙O 直径,这一点很容易出错,故 m 的取值范围有两个. 点评:本题第(2)问将八年级的基本图形隐藏在圆中,同时加入了最值问题;第(3)问是韦达定理与几 何最值的结合,

3

【例 4】 (2013~2014· 六中周练· (试题难度:A) 25)

参考答案: (1)①a+3b=10;②m= 3 (2)①a=2,b= 2 3 ;②MN 最大值 6 ? 2 3 ,最小值 6 ? 2 3 分析: (1)①过 D 点分别向 x 轴、y 轴做垂线,垂足分别为 E、F,则△DEB∽△DFA,然后可以得到 a、b 间的关系;②由韦达定理可以得到关于 a、b、m 的两个关系式,加上①中的关系式,可以把 m 求出来, 得到两个结果,注意其中一个结果不符合题意要舍掉; (2)①用因式分解法可以得到这个方程的两根,由于 A 在 y 轴负半轴上,所以 a=-2,b= b 代入

3n 2 ? n ,将 a、 2

1 a ? 3b ? 5 中,可以求出 n、b,注意舍掉不符合题意的一根; ②在⊙Q 中,MN 所对的圆周角 2

为一定值 60°,所以⊙Q 半径越大,MN 越大,⊙Q 半径越小,MN 越小.Q 点为 CO1 与⊙O1 的交点时, QC 最小,Q 点为 CO1 延长线与⊙O1 的交点时,QC 最大,然后可以求出 MN 的长. 点评:本题是韦达定理与几何最值问题的结合. 阶段性小结:熟练掌握含参一元二次方程的做法是这一类题的基础,例 2 例 3 例 4 都涉及到了因式分解, 对代数式变形的基本功有一定的要求.

【归纳小结】
本节课你们学到了什么知识?对一元二次方程与几何综合题有什么新的认识?这类题的易错点是什么?
4

【家庭作业】
1. (2013~2014· 二中、七一九上期中· 改编) 16 (试题难度:B)

参考答案: (1) 4 3 ?

3 ; (2) 3 3 ; (3)①CD 最小值为 2;②2 2

分析: (1)把四边形 ABCD 的面积用 a、b 表示出来,然后结合韦达定理稍加变形即可; (2)与(1)方法一样; (3)①分别过 CD 向 AB 做垂线,可以把 CD 用 a、b 表示出来,然后用代数方法求其最值;②当 CD 最小 时,即 a=b,此时△PCD 是一个等边三角形,显然可以得到 R=2r,或者把 R 和 r 都计算出来也可以. 点评:本题主要是用代数运算解决几何问题,设置(1) (2)两问给第(3)问降低了难度.

5

2. (2013~2014· 六中九上期中· (试题难度:A) 25)

参考答案: (1)A( ? 2 ,0)(2) 2 ; ; (3) S ?

4 ? t2 ? t 4 ? t2 , t< 2 0< 4

分析: (1)把半径求出来用勾股定理计算,或者直接用直角三角形射影定理计算; ⌒ (2)首先由韦达定理可以得到 N 点坐标,发现 N 是AB 中点,连接 FN、GN,就成为了八年级常考的一 个图形,此题迎刃而解; (3)注意到∠ACB=135°,所以可以过 A 点做 BC 的垂线,垂足为 M,用勾股定理可以把 AM 和 CM 用 t 表示出来,然后把△ABC、△CDE、四边形 ACBO1 都用 t 表示出来,就可以算出 S. 点评:本题第(3)问考查了勾股定理、一元二次方程等知识点,计算量较大.

六、教学反思

注:本讲义约定压轴题(含综合题,难题)定级为 A,较综合性题(含易错题)定级为 B,中档题定级为 C,容易题定级为 D
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