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【金榜课件】高考第一轮复习教师配套课件:必修1 第一章 第3讲 运动图像 追及相遇问题


第3讲 运动图像 追及相遇问题

知识点 1

匀变速直线运动的图像



1.直线运动的s-t图像
位移 时间 (1)物理意义:反映了物体做直线运动的_____随_____变化的 规律。 速度 (2)斜率的意义:图线上某点切线斜率的大小表示物体_____ 速度 的大小,斜率正负表示物体

_____的方向。

2.直线运动的v-t图像
速度 时间 (1)物理意义:反映了做直线运动的物体的_____随_____变化 的规律。 加速度 (2)斜率的意义:图线上某点切线斜率的大小表示物体_______ 加速度 的大小,斜率正负表示物体_______的方向。 (3)“面积”的意义: 位移大小 ①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的_________。 正方向 ②若面积在时间轴的上方,表示位移方向为_______;若面积在 负方向 时间轴的下方,表示位移方向为_______。

知识点 2

追及和相遇问题

1.追及问题的两类情况

同一 (1)若后者能追上前者,追上时,两者处于_____位置,且后者
速度一定不小于前者速度。 相等 (2)若后者追不上前者,则当后者速度与前者速度_____时,两 者相距最近。 2.相遇问题 等于 相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和_____开始时两 物体间的距离时即相遇。

【思考辨析】 (1)s-t图像是物体的运动轨迹。( ) )

(2)s-t图像是一条直线,说明物体一定做匀速直线运动。( (3)v-t图像是一条平行于t轴的直线,说明物体做匀速直线运 动。 ( ) )

(4)s-t图像与时间轴围成的面积表示物体运动的路程。(

(5)两条v-t图像的交点表示两个物体相遇。(
(6)两条s-t图像的交点表示两个物体相遇。(

)
)

(7)相向运动的物体各自发生的位移大小之和等于开始时二者 之距时即相遇。( )

分析:s-t图像反映物体做直线运动的位移随时间变化的规律, 不是物体运动的轨迹,(1)错;s-t图像若是一条平行于t轴的 直线,表示物体处于静止状态,若是倾斜直线,表示物体做匀 速直线运动,v-t图像是一条平行于t轴的直线,说明物体做匀 速直线运动,(2)错、(3)对;s-t图像与时间轴围成的面积无

任何意义,(4)错;v-t图像的交点表示两个物体的速度相等,
s-t图像的交点表示两个物体相遇,(5)错、(6)对;物体相向 运动相遇时,各自发生的位移大小之和等于开始时二者之距, (7)对。

考点 1

运动图像的应用(三年6考)
深化理解

【考点解读】
1.应用运动图像的三点注意 (1)无论是s-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。 (2)s-t图像和v-t图像都不表示物体运动的轨迹。 (3)s-t图像和v-t图像的形状由s与t、v与t的函数关系决定。

2.应用运动图像解题“六看” s-t图像 轴 横轴为时间t,纵轴为 位移s v-t图像 横轴为时间t,纵轴为速度v

线
斜 面 率 积

倾斜直线表示匀速直线 倾斜直线表示匀变速直线 运动 运动 表示速度 无实际意义 表示初位置 表示加速度

图线和时间轴围成的面积 表示位移
表示初速度

纵截距

拐点表示从一种运动变 拐点表示从一种运动变为另 特殊点 为另一种运动,交点表 一种运动,交点表示速度相 示相遇 等

【典例透析1】一物体自t=0时开始做直线运动,其速度—时间 图像如图所示。下列选项正确的是( )

A.在0~6 s内,物体离出发点最远为30 m B.在0~6 s内,物体经过的路程为40 m C.在0~4 s内,物体的平均速度为7.5 m/s D.在5~6 s内,物体做匀减速直线运动

【解题探究】请分析物体运动的速度—时间图像,回答下列 问题: (1)0~6 s内,物体的运动方向是否发生变化?什么时刻离出

发点最远?
提示:由图像可得,0~5 s内物体沿正方向运动,5~6 s物体

沿负方向运动,即第5 s末物体离出发点最远。
(2)v-t图像中“面积”的含义是什么?如何根据v-t图像求平 均速度? 提示:图线与时间轴所围的“面积”表示位移的大小,求得位 移可用公式 v ? s 求平均速度。
t

【解析】选B、C。根据图像可知,前5 s物体沿正方向运动,
第6 s物体沿负方向运动,所以物体离出发点最远的时刻是第 5 s末,前5 s的位移 s1 ? ?
2 ? 5 ? ? 10

m=35 m,第6 s内的位移

2 1?10 大小 s 2 ? m=5 m,所以离出发点最远为35 m,故A错误; 2

6 s内的路程s=s1+s2=40 m,故B正确;前4 s内的位移是

? 2 ? 4 ? ?10 m=30 m,平均速度 s?
2

C正确;在5~6 s内,物体沿负方向做匀加速直线运动,故D

s 30 m/s=7.5 m/s,故 v? ? t 4

错误。

【总结提升】用速度—时间图像巧得四个运动量 (1)运动速度:从速度轴上直接读出。

(2)运动时间:从时间轴上直接读出时刻,取差得到运动时间。
(3)运动加速度:从图线的斜率得到加速度,斜率的大小表示

加速度的大小,斜率的正负反映了加速度的方向。
(4)运动的位移:从图线与时间轴围成的面积得到位移,图线 与时间轴围成的面积表示位移的大小,第一象限的面积表示与 规定的正方向相同,第四象限的面积表示与规定的正方向相反。

【变式训练】如图所示是A、B两个物体做直线运动的速度图像,
下列说法正确的是( )

A.物体A做加速直线运动 B.物体B做减速直线运动 C.物体A的加速度为正值,B的 加速度为负值,所以A的加速度 大于B的加速度

D.物体B的速度变化比物体A的速度变化快

【解析】选A、D。由两物体的速度图像可知,两物体速度的绝
对值都在增大,则都在做加速运动,物体A的速度为正,图线 的斜率为正,说明A沿正方向做匀加速运动;物体B的速度为负, 图线的斜率为负,说明B沿负方向做匀加速运动,A正确、B错 误;物体A的加速度的绝对值为1 m/s2,物体B的加速度的绝对

值为2 m/s2,所以物体B的加速度大于物体A的加速度,从而物
体B的速度变化比物体A的速度变化快,C错、D对。故选A、D。

【变式备选】如图所示是某质点做直线运动的v-t 图像,由图 可知这个质点的运动情况是( )

A.前5 s做的是匀速运动 B.5~15 s内做匀加速运动,加速度为1 m/s2

C.15~20 s内做匀减速运动,加速度为-3.2 m/s2
D.质点15 s末离出发点最远,20s末回到出发点

【解析】选A、C。由图像可知前5 s做的是匀速运动,A正确;

5~15 s内做匀加速运动,加速度为0.8 m/s2,B错误;15~
20 s内做匀减速运动,其加速度为 ? 运动,D错误。
16 m/s2=-3.2 m/s2,C正 5

确;质点在20 s末离出发点最远,质点一直做方向不变的直线

考点 2

追及和相遇问题(三年3考) 解题技巧

【考点解读】讨论追及、相遇的问题,其实质就是分析讨论两

物体在同一时刻能否到达相同的空间位置问题。
1.追及相遇问题中的两个关系和一个条件 (1)两个关系: 即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画运动示意图得到。 (2)一个条件: 即两者速度相等,它往往是物体间能否追上、追不上或(两者) 距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。

2.追及相遇问题常见的情况 假设物体A追物体B,开始时,两个物体相距s0,有两种常见情况: (1)A追上B时,必有sA-sB=s0,且vA≥vB。 (2)要使两物体恰好不相撞,两物体同时到达同一位置时速度

相同,必有sA-sB=s0,vA=vB。若使两物体保证不相撞,此时应
有vA<vB。

【典例透析2】甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶,
乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动,甲车经

过乙车旁边开始以0.5 m/s2的加速度刹车,从甲车刹车开始计
时,求: (1)乙车在追上甲车前,两车相距的最大距离; (2)乙车追上甲车所用的时间。

【解题探究】(1)分析甲、乙两车的运动情况,明确两个 问题: 甲、乙两车速度 ①两车相距最大距离时速度满足的条件:_______________ 相等 _____。

先判断甲车何时停下, ②求乙车追上甲车所用时间的方法:_____________________
再计算乙车追上甲车的时间 _________________________。 (2)请画出甲、乙两车的运动过程简图: 提示:

【解析】(1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大,

设该减速过程经过的时间为t,则
v乙=v甲-at

解得:t=12 s
此时甲、乙间的距离为
1 2 ?s ? v甲t ? at ? v乙 t 2 1 ? 10 ?12 m ? ? 0.5 ?122 m ? 4 ?12 m ? 36 m 2

(2)设甲车减速到零所需时间为t1,则有:
t1 ? v甲 a v甲 2

=20 s
10 ? 20 m ? 100 m 2

t1时间内:
s甲 ? t1 ?

s乙=v乙t1=4×20 m=80 m 此后乙车运动时间:
t2 ? s甲 ? s乙 v乙 ? 20 s?5 s 4

故乙车追上甲车需t1+t2=25 s 答案:(1)36 m (2)25 s

【互动探究】若甲车经过乙车旁边时,乙车开始以恒定的加速 度加速运动,甲车匀速行驶,乙车追上甲车前,两车有最大距 离18 m,求乙车的加速度大小。

【解析】当甲、乙两车速度相等时有最大距离,则
v甲=v乙+a′t 对甲车:s甲=v甲t 对乙车: s乙 ?
v甲 ? v乙 2

t

又有:Δsm=s甲-s乙 代入数值,解以上各式得:a′=1 m/s2 答案:1 m/s2

【总结提升】追及相遇问题的求解方法 1.解题思路

2.解题技巧 (1)紧抓“一图三式”,即:过程示意图,时间关系式、速度关 系式和位移关系式。 (2)审题应抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,

如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等,往往对应一个临界
状态,满足相应的临界条件。

(3)若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体
是否已经停止运动,另外还要注意最后对解的讨论分析。

【备选例题】 考查内容 利用图像信息解决实际问题

【典例透析】如图所示为汽车刹车痕迹长度x(即刹车距离) 与刹车前车速v(汽车刹车前匀速行驶)的关系图像。例如, 当刹车痕迹长度为40 m时,刹车前车速为80 km/h。

(1)假设刹车时,车轮立即停止转动,尝试用你学过的知识定量 推导并说明刹车痕迹与刹车前车速的关系。 (2)在处理一次交通事故时,交警根据汽车损坏程度估计出碰撞 时的车速为40 km/h,并且已测出刹车痕迹长度为20 m,请你根

据图像帮助交警确定出该汽车刹车前的车速,并在图像中的纵
轴上用字母A标出这一速度。由图像知,汽车刹车前的速度为多 少?

【规范解答】(1)设汽车的质量为m,轮胎与路面间的动摩擦因 数为μ,根据牛顿第二定律,汽车刹车时有 μmg=ma 对汽车的刹车过程由运动学公式得: -2ax=-v2
v2 由以上两式得 x ? 2?g

即刹车痕迹与刹车前车速的平方成正比。

(2)汽车相撞时的速度为40 km/h,根据图像可知从这个速度减 到零,汽车还要向前滑行10 m,撞前汽车已经滑行20 m,所以,如 果汽车不相撞滑行30 m后停下。滑行30 m对应的初速度即图中 的A点对应速度。故汽车刹车前的速度为68 km/h。

答案:见规范解答

图像法在解决追及相遇问题中的应用 1.方法概述 (1)图像可以直观地叙述物理过程,并鲜明地表示物理量间的各

种关系。利用图像解决物理问题,是学好物理的一种重要方法。
(2)追及相遇问题涉及的过程比较复杂,如果用公式法求解, 有时不仅计算量大,而且难以将过程叙述清楚,而使用图像法 求解,往往会比较直观。

2.常见类型

(1)两个做匀减速直线运动物体的追及相遇问题。
(2)两个做匀加速直线运动物体的追及相遇问题。

(3)求追及相遇过程中距离的极值问题。

3.解题思路

用图像法解决追及相遇问题时应把握的三个环节:
环 画 节 基本要求

定量画图时需根据物体在不同阶段的运动情况,通 图 过定量计算分阶段、分区间逐一描图

从不同的角度描绘同一物理过程所进行的变换,如 转换图 将s-t图像转换成v-t图像等 用 利用图像中斜率、面积、截距、交点等的含义进 图 行定性分析或定量计算,进而解决相关问题

【典例】两辆完全相同的汽车,沿水平路面一前一后均以20 m/s 的速度前进。若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停止时,后 车以前车刹车时的加速度的2倍开始刹车。已知前车刹车的过程 中所行驶的距离为100 m,若要保证两车在上述情况下不相撞,则 两车在匀速行驶时保持的最小距离是多少?

【深度剖析】设前、后两车的加速 度分别为a1、a2,从刹车开始到停 止所用的时间分别为t1、t2。由题 意知,a2=2a1,则 t 2 ? 1 t1 ,根据题 意作出两车从前车刹车开始的v-t 图像。分别为AC和ABD。图中三角形AOC的面积为前车刹车后的
2

位移,且s1=100 m,梯形ABDO为从前车刹车后后车的位移,由图
像可知,矩形ABCO面积为三角形AOC面积的二倍,三角形BCD面积 为三角形AOC面积的 1 ,即梯形ABDO面积为三角形AOC面积的2.5
2

倍。由此得,后车从前车刹车开始到自己停止通过的距离为

s2=250 m,因此为使两车不相撞,两车在匀速行驶时应保持的最
小距离为:Δs=s2-s1=150 m。

答案:150 m

【名师指津】图像法解决追及相遇问题的方法技巧 (1)两个做匀减速直线运动物体的追及相遇问题,过程较为复杂。 如果两物体的加速度没有给出具体的数值,并且两个加速度的 大小也不相同,如果用公式法,运算量比较大,且过程不够直观,

若应用v-t图像进行讨论,则会使问题简化。
(2)根据物体在不同阶段的运动过程,利用图像的斜率、面积、 交点等含义分别画出相应图像,以便直观地得到结论。

【变式训练】甲、乙两物体在同一水平轨道上,一前一后相距 s,乙在前,甲在后。某时刻两物体同时开始运动,甲做初速 度为v0、加速度为a1的匀加速运动,乙做初速度为零、加速度 为a2的匀加速运动。假设甲能从乙旁边通过,下列情况可能发

生的是(

)

A.a1=a2,一定相遇一次 B.a1<a2,可能相遇两次 C.a1>a2,可能相遇两次 D.a1<a2,可能相遇一次或不相遇

【解析】选A、B、D。本题中由于没有具体给出原来两者相距 的数值,也没有给出甲、乙两物体的加速度的大小,故应分以

下几种情况:
(1)在a1=a2时,由图甲可知:当S阴影=s时,相遇一次,以后甲

一直在前;
(2)在a1<a2时,由图乙可知,可能的情况有以下几种: ①当S阴影=s时,第一次相遇后,甲在前,乙在后,当两者速度 相等时,两者相距最远,速度相等后,两者出现第二次相遇; ②当S△OPQ=s时,只相遇一次; ③当S△OPQ<s时,不会相遇。

(3)在a1>a2时,由图丙知,当S阴影=s时,相遇一次,且只能相 遇一次。

【双基题组】

1.一遥控玩具小汽车在平直路面上
运动的位移—时间图像如图所示, 则( )

A.15 s末汽车的位移为300 m B.20 s末汽车的速度为-1 m/s C.前10 s内汽车的加速度为3 m/s2 D.前25 s内汽车做单方向直线运动

【解析】选B。由位移—时间图像可知:前10 s汽车做匀速直 线运动,速度为3 m/s,加速度为0,所以C错误;10~15 s汽 车处于静止状态,汽车相对于出发点的位移为30 m,A错误;
?s ? 15~25 s汽车向反方向做匀速直线运动,速度为v= ?t 20 ? 30 m/s=-1 m/s,B正确,D错误。 25 ? 15

2.(2013·广州模拟)甲、乙两物体同时从同一地点出发,同方 向做匀加速直线运动的v-t图像如图所示,则( )

A.甲的瞬时速度表达式为v=2t B.乙的加速度比甲的加速度大 C.t=2 s时,甲在乙的前面 D.t=4 s时,甲、乙两物体相遇

【解析】选A、D。由题图可知甲、乙均做匀加速直线运动,斜
率表示加速度, 甲 ? a
?v甲 ?t v=2t,A项对;又 a乙 ? ?v乙 ? 6 ? 2 m / s 2 ? 1 m / s 2<a甲, B项错; ?t 4 由v-t图像的面积求2 s内的位移,s甲= 1 ×2×4 m=4 m,s乙= 2 2 ? 4 ×2=6 m,故t=2 s时,乙在甲前面,C错;同理,4 s内 2 ? 2 m / s 2,故甲的瞬时速度表达式为

甲、乙的位移s甲′=s乙′=16 m,D项对。

【高考题组】 3.(2012·海南高考)如图,表面处处同样粗糙的楔形木块abc 固定在水平地面上,ab面和bc面与地面的夹角分别为α 和β ,

且α >β 。一初速度为v0的小物块沿斜面ab向上运动,经时间
t0后到达顶点b时,速度刚好为零;然后让小物块立即从静止

开始沿斜面bc下滑。在小物块从a运动到c的过程中,可能正确
描述其速度大小v与时间t的关系的图像是( )

【解析】选C。设b到地面的高度为h,小物块在bc面的运动时 间为t,滑到c点速度为v,小物块在ab、bc面上分别做匀变速 直线运动,在v-t图像上表现为两条直线,选项D错误;由于在 运动过程中滑动摩擦力的作用,末速度减小,所以v<v0,选
h 1 ? v0 t 0 ,在bc面上运动 项A错误;在ab面上运动时,有 sin? 2 h 1 ? vt ,两式相比,得 t ? sin? ?v 0 >1 由此式可 时,有 , sin? 2 t 0 sin? v

知,t>t0,选项C正确,B错误。

4.(2010·广东高考)如图是某质点运动的速度图像,由图像得 到的正确结果是( )

A.0~1 s内的平均速度是2 m/s B.0~2 s内的位移大小是3 m C.0~1 s内的加速度大于2~4 s内的加速度 D.0~1 s内的运动方向与2~4 s内的运动方向相反

【解析】选B、C。由v-t图像的面积可求得0~1 s的位移x=1 m,
时间t=1 s,由平均速度定义得: v ? x =1 m/s,故A选项错误;
t

由v-t图像的面积可求得0~2 s的位移x=3 m,故B选项正确;利
用图像斜率求出0~1 s的加速度大小a1=2 m/s2、2~4 s内的加 速度大小a2=1 m/s2,因而a1>a2,故C选项正确;由图像可见0~ 1 s、2~4 s两个时间段内速度均为正,表明速度都为正向,运 动方向相同,故D选项错误。

5.(2010·天津高考)质点做直线运动的v-t图像如图所示,规

定向右为正方向,则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向
分别为( )

A.0.25 m/s B.0.25 m/s C.1 m/s D.1 m/s

向右 向左 向右 向左

1 【解析】选B。由图像可知0~3 s内的位移为:x1= ×3×2 m 2 =3 m,方向为正方向;3~8 s内的位移为:x2= 1 ×(8-3)×2 m 2

=5 m,方向为负方向;0~8 s内的位移为:x=x1-x2=-2 m;该段
时间内的平均速度为: v ? x ? ?2 m ? ?0.25 m / s,负号表示方向
t 8s

是向左的。故B正确,A、C、D错误。

A卷

B卷


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