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圆锥曲线中的热点问题(总结的非常好)


第3讲
【高考考情解读】

圆锥曲线中的热点问题

1.本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭

圆或抛物线为背景,考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大.2. 求轨迹方程也是高考的热点与重点,若在客观题中出现通常用定义法,若在解答题中出现一 般用直接法、代入法、参

数法或待定系数法,往往出现在解答题的第(1)问中.

1. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若 Δ>0,则直 线与椭圆相交;若 Δ=0,则直线与椭圆相切;若 Δ<0,则直线与椭圆相离. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法: 将直线方程与双曲线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2 +by+c=0). ①若 a≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线相交;当 Δ=0 时,直线与双曲线相切;当 Δ<0 时, 直线与双曲线相离. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点. (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法: 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2 +by+c=0). ①当 a≠0 时,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点. 2. 有关弦长问题 有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长 问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算. (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2), 则所得弦长|P1P2|= 1+k2 |x2-x1|或|P1P2|= 即作如下变形: |x2-x1|= ?x1+x2?2-4x1x2, |y2-y1|= ?y1+y2?2-4y1y2. 1 1+ 2|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系, k

(2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式). 3. 弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算.

考点一 圆锥曲线的弦长及中点问题 例1 x2 y2 6 已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点(2 2,0),斜率为 1 的直线 l a b 3

与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. 解 c 6 (1)由已知得 c=2 2, = . a 3

解得 a=2 3,又 b2=a2-c2=4. x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m. y=x+m, ? ? 2 2 由? x y ? ?12+ 4 =1. 得 4x2+6mx+3m2-12=0.① 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= =- ,y0=x0+m= ; 2 4 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB. m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2. 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2. 所以|AB|=3 2. 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:

|-3-2+2| 3 2 x-y+2=0 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· d= . 2 2 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题, 其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点 的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. 椭圆 ____________. 答案 2x+4y-3=0 解析 设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=1,y1+y2=1. x2 x2 1 2 2 2 ∵A,B 在椭圆上,∴ +y1=1, +y2 =1. 2 2 ?x1+x2??x1-x2? +(y1+y2)(y1-y2)=0, 2 即 y1-y2 x1+x2 1 =- =- , 2 x1-x2 2?y1+y2? 1 1? x2 + y2 = 1 的 弦 被 点 ? ?2,2? 平 分 , 则 这 条 弦 所 在 的 直 线 方 程 是 2

1 即直线 AB 的斜率为- . 2 1 1 1 x- ?, ∴直线 AB 的方程为 y- =- ? 2 2? 2? 即 2x+4y-3=0. 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 例2 x2 y2 1 已知椭圆 C: 2+ 2=1 经过点(0, 3),离心率为 ,直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F a b 2

交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次为 D、K、E. (1)求椭圆 C 的方程; → → → → (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且MA=λAF,MB=μBF,当直线 l 的倾斜角变化时,探求 λ +μ 的值是否为定值?若是,求出 λ+μ 的值;否则,说明理由; (3)连接 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若 是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由. (1)待定系数法;(2)用直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消 y 后 → → → → 可得点 A,B 的横坐标的关系式,然后根据向量关系式MA=λAF,MB=μBF把 λ,μ 用点 A,B 的横坐标表示出来,只要证明 λ+μ 的值与直线的斜率 k 无关即证明了其为定值, 否则就不是定值;(3)先根据直线 l 的斜率不存在时的特殊情况,看两条直线 AE,BD 的

交点坐标,如果直线 AE,BD 相交于定点的话,这个特殊位置时的交点就是这个定点, 这样只要证明直线 AE,BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点,否则两直线就 不相交于定点. 解 c 1 (1)依题意得 b= 3,e= = ,a2=b2+c2, a 2

x2 y2 ∴a=2,c=1,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)因直线 l 与 y 轴相交,故斜率存在,设直线 l 方程为 y=k(x-1),求得 l 与 y 轴交于 M(0,-k), 又 F 坐标为(1,0),设 l 交椭圆于 A(x1,y1),B(x2,y2), y=k?x-1?, ? ?2 2 由?x y ? ? 4 + 3 =1, 消去 y 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, ∴x1+x2= 4k2-12 8k2 , x x = , 3+4k2 1 2 3+4k2

→ → 又由MA=λAF,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1), x1 x2 ∴λ= ,同理 μ= , 1-x1 1-x2 x1+x2-2x1x2 x1 x2 ∴λ+μ= + = 1-x1 1-x2 1-?x1+x2?+x1x2 2?4k2-12? 8k2 2- 3+4k 3+4k2 8 = =- . 3 4k2-12 8k2 1- 2+ 2 3+4k 3+4k 8 所以当直线 l 的倾斜角变化时,直线 λ+μ 的值为定值- . 3 (3)当直线 l 斜率不存在时,直线 l⊥x 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相 5 ? 交于 FK 的中点 N? ?2,0?, 猜想,当直线 l 的倾斜角变化时, 5 ? AE 与 BD 相交于定点 N? ?2,0?, 证明:由(2)知 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴D(4,y1),E(4,y2),当直线 l 的倾斜角变化时,首先证直线 5 ? AE 过定点? ?2,0?, y2-y1 ∵lAE:y-y2= (x-4), 4-x1

y2-y1 ? 3? 5 当 x= 时,y=y2+ ·- 2 4-x1 ? 2? = = = = 2?4-x1?· y2-3?y2-y1? 2?4-x1? 2?4-x1?· k?x2-1?-3k?x2-x1? 2?4-x1? -8k-2kx1x2+5k?x1+x2? 2?4-x1? -8k?3+4k2?-2k?4k2-12?+5k· 8k 2 =0. 2 2?4-x1?· ?3+4k ?

5 ? ∴点 N? ?2,0?在直线 lAE 上. 5 ? 同理可证,点 N? ?2,0?也在直线 lBD 上. 5 ? ∴当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点? ?2,0?. (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题, 基本思想是使用参数表示要 解决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键 的. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定 点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). (2013· 陕西)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴是 ∠PBQ 的角平分线,证明:直线 l 过定点. (1)解 如图,设动圆圆心为 O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|,

当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中 点, ∴|O1M|= x2+42, 又|O1A|= ?x-4?2+y2, ∴ ?x-4?2+y2= x2+42, 化简得 y2=8x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标为(0,0)也满足方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x. (2)证明 由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2),

将 y=kx+b 代入 y2=8x 中, 得 k2x2+(2bk-8)x+b2=0. 其中 Δ=-32kb+64>0. 8-2bk 由根与系数的关系得,x1+x2= , k2 b2 x1x2= 2, k y1 y2 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线,所以 =- , x1+1 x2+1 即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0 将①,②代入③得 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b,此时 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0). 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题 例3 x2 y2 (2013· 浙江)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭 圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. 解
?b=1, ? (1)由题意得? ?a=2. ?

① ②



x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4, 故点 O 到直线 l1 的距离 d= 1 , k +1
2

所以|AB|=2 4-d2=2

4k2+3 . k2+1

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.
? ?x+ky+k=0, 由? 2 2 ?x +4y =4. ?

消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 8k 故 x0=- . 4+k2 所以|PD|= 8 k2+1 . 4+k2

1 设△ABD 的面积为 S,则 S= · |AB|· |PD| 2 8 4k2+3 = , 4+k2 所以 S= ≤ 13 4k2+3+ 2 4k2+3 32 32 4k2+3· 13 4k2+3



16 13 , 13 10 时取等号. 2 10 x-1. 2

当且仅当 k=±

所以所求直线 l1 的方程为 y=±

求最值及参数范围的方法有两种: ①根据题目给出的已知条件列出一个关于参 数的函数关系式,将其代入由题目列出的不等式(即为消元),然后求解不等式;②由题 目条件和结论建立目标函数,进而转化为求函数的值域. 已知椭圆 C1 与抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上且 C1 的中心和 C2 的顶点均为坐 标原点 O,从每条曲线上的各取两个点,其坐标如下表所示: x y (1)求 C1,C2 的标准方程; π (2)过点 A(m,0)作倾斜角为 的直线 l 交椭圆 C1 于 C,D 两点,且椭圆 C1 的左焦点 F 在以 6 线段 CD 为直径的圆的外部,求 m 的取值范围. 解 (1)先判断出(- 6,0)在椭圆上,进而断定点(1,-3)和(4,-6)在抛物线上,故( 3, 1 -3 - 6 0 4 -6 3 1

x2 y2 1)在椭圆上,所以椭圆 C1 的方程为 + =1,抛物线 C2 的方程为 y2=9x. 6 2 (2)设 C(x1,y1),D(x2,y2),直线 l 的方程为 y= 3 (x-m), 3

?y= 33?x-m? 由? x y ? 6 + 2 =1,
2 2

消去 y 整理得 2x2-2mx+m2-6=0, 由 Δ>0 得 Δ=4m2-8(m2-6)>0, 即-2 3<m<2 3, m2-6 而 x1x2= ,x1+x2=m, 2 故 y1y2= 3 3 (x1-m)· (x2-m) 3 3 ①

1 = [x1x2-m(x1+x2)+m2] 3 m2-6 = . 6 欲使左焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆的外部, → → 则FC· FD>0, → → 又 F(-2,0),即FC· FD=(x1+2,y1)· (x2+2,y2) =x1x2+2(x1+x2)+y1y2+4>0. 整理得 m(m+3)>0, 即 m<-3 或 m>0.② 由①②可得 m 的取值范围是(-2 3,-3)∪(0,2 3).

1. 求轨迹与轨迹方程的注意事项 (1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中, 发现动点 P 的运动规律, 即 P 点满足 的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变. (2)求出轨迹方程后, 应注意检验其是否符合题意, 既要检验是否增解(即以该方程的某些 解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表 示).检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形. 2. 定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题,处理时可以直接推理求出定值,也可以先 通过特定位置猜测结论后进行一般性证明.对于客观题,通过特殊值法探求定点、定值 能达到事半功倍的效果. 3. 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法

(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解 决; (2)代数法: 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系, 则可首先建立起目标函数, 再求这个函数的最值,在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等 量关系; ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.

设直线 l:y=k(x+1)与椭圆 x2+3y2=a2(a>0)相交于 A、B 两个不同的点,与 x 轴相交于 点 C,记 O 为坐标原点. 3k2 (1)证明:a2> ; 1+3k2 → → (2)若AC=2CB,求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程. (1)证明 依题意,直线 l 显然不平行于坐标轴, 1 故 y=k(x+1)可化为 x= y-1. k 1 将 x= y-1 代入 x2+3y2=a2,消去 x, k 1 ? 2 2y 2 得? ?3+k2?y - k +1-a =0, 由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点,得 1 4 2 ? Δ= 2-4? ?k2+3?(1-a )>0, k 1 ? 2 整理得? ?k2+3?a >3, 即 a2> 3k2 . 1+3k2 ①

(2)解 设 A(x1,y1),B(x2,y2)由①, 2k 得 y1+y2= , 1+3k2 → → 因为AC=2CB,得 y1=-2y2,

-2k 代入上式,得 y2= . 1+3k2 1 3 于是,△OAB 的面积 S= |OC|· |y1-y2|= |y2| 2 2 = 3|k| 3|k| 3 ≤ = . 1+3k2 2 3|k| 2

3 其中,上式取等号的条件是 3k2=1,即 k=± . 3 -2k 3 由 y2= ,可得 y2=± . 3 1+3k2 将 k= y2= 3 3 3 ,y2=- 及 k=- , 3 3 3

3 这两组值分别代入①, 3

均可解出 a2=5. 所以,△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是 x2+3y2=5.

(推荐时间:70 分钟) 一、选择题 x2 y2 1. 已知方程 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是 ( k+1 3-k A.k<1 或 k>3 C.k>1 答案 B k+1>0 ? ? 解析 若椭圆焦点在 x 轴上,则?3-k>0 , ? ?k+1>3-k 解得 1<k<3.选 B. 2. △ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹 方程是 x y A. - =1 9 16 x2 y2 C. - =1(x>3) 9 16
2 2

)

B.1<k<3 D.k<3

( x y B. - =1 16 9 x2 y2 D. - =1(x>4) 16 9
2 2

)

答案 C 解析 如图|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线 x2 y2 的右支,方程为 - =1(x>3). 9 16 3. 设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心,|FM|为半 径的圆和抛物线的准线相交,则 y0 的取值范围是 A.(0,2) C.(2,+∞) 答案 C 解析 依题意得:F(0,2),准线方程为 y=-2, 又∵以 F 为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交,且|FM|=|y0+2|, ∴|FM|>4,即|y0+2|>4, 又 y0≥0,∴y0>2. x2 y2 → → 4.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 则OP· FP 4 3 的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 答案 C 解析 设 P(x0,y0),则
2 x2 y0 3x2 0 0 2 + =1,即 y0 =3- , 4 3 4

(

)

B.[0,2] D.[2,+∞)

(

)

又因为 F(-1,0), 1 2 → → 所以OP· FP=x0· (x0+1)+y2 0= x0+x0+3 4 1 = (x0+2)2+2, 4 → → 又 x0∈[-2,2],即OP· FP∈[2,6], → → 所以(OP· FP)max=6. 5. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2,且两条曲线在 第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与双曲 线的离心率分别为 e1,e2,则 e1· e2 的取值范围是 A.(0,+∞) 1 B.( ,+∞) 3 ( )

1 C.( ,+∞) 5 答案 B

1 D.( ,+∞) 9

解析 设椭圆与双曲线的半焦距为 c, PF1=r1,PF2=r2. 由题意知 r1=10,r2=2c, 且 r1>r2,2r2>r1, ∴2c<10,2c+2c>10, 5 25 ∴ <c<5?1< 2 <4, 2 c 2c 2c 2c c ∴e2= = = = ; 2a双 r1-r2 10-2c 5-c e1= 2c 2c 2c c = = = . 2a椭 r1+r2 10+2c 5+c

c2 1 1 ∴e1· e2= = > . 3 25-c2 25 -1 c2 二、填空题 x2 y2 6. 直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值范围是________. 5 m 答案 m≥1 且 m≠5 x2 y2 解析 ∵方程 + =1 表示椭圆, 5 m ∴m>0 且 m≠5. ∵直线 y=kx+1 恒过(0,1)点, ∴要使直线与椭圆总有公共点,应有: 02 12 + ≤1,m≥1, 5 m ∴m 的取值范围是 m≥1 且 m≠5. x2 7. 设 F1、F2 为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P,Q 两点, 4 → → 当四边形 PF1QF2 面积最大时,PF1· PF2 的值等于________. 答案 -2 解析 易知当 P,Q 分别在椭圆短轴端点时,四边形 PF1QF2 面积最大. 此时,F1(- 3,0),F2( 3,0),不妨设 P(0,1), → → ∴PF1=(- 3,-1),PF2=( 3,-1), → → ∴PF1· PF2=-2.

8. 已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴 的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为________. 答案 5 2 -1 2

解析 过点 P 作抛物线的准线的垂线,垂足为 A,交 y 轴于 B,由抛物线方程为 y2=4x 得焦点 F 的坐标为(1,0),准线为 x=-1,则由抛物线的定义可得 d1+d2=|PA|-|AB|+d2=|PF|-1+d2, |PF|+d2 大于或等于焦点 F 点 P 到直线 l, |1-0+4| 5 2 即|PF|+d2 的最小值为 = , 2 2 5 2 所以 d1+d2 的最小值为 -1. 2 9. (2013· 安徽)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得 ∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. 答案 [1,+∞)

解析 以 AB 为直径的圆的方程为 x2+(y-a)2=a,
2 ? ?y=x 由? 2 得 y2+(1-2a)y+a2-a=0. 2 ?x +?y-a? =a ?

?a>0 ? 即(y-a)[y-(a-1)]=0,由已知? 解得 a≥1. ?a-1≥0, ?

三、解答题 x2 y2 10.已知直线 x-2y+2=0 经过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C a b 10 的右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS,BS 与直线 l:x= 分 3 别交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值. 解 (1)如图,由题意得椭圆 C 的左顶点为 A(-2,0),上顶点为

D(0,1),即 a=2,b=1. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (2)直线 AS 的斜率显然存在且不为 0, 10 16k 设直线 AS 的方程为 y=k(x+2)(k>0),解得 M( , ),且将直线方程代入椭圆 C 的方 3 3 程, 得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.

16k2-4 设 S(x1,y1),由根与系数的关系得(-2)· x1= . 1+4k2 2-8k2 2-8k2 4k 4k 由此得 x1= , ). 2,y1= 2,即 S( 1+4k 1+4k 1+4k2 1+4k2 1 又 B(2,0),则直线 BS 的方程为 y=- (x-2), 4k 10 1 联立直线 BS 与 l 的方程解得 N( ,- ). 3 3k 16k 1 ? 16k 1 ∴|MN|=? ? 3 +3k?= 3 +3k≥2 16k 1 8 · = . 3 3k 3

16k 1 1 1 8 当且仅当 = ,即 k= 时等号成立,故当 k= 时,线段 MN 的长度的最小值为 . 3 3k 4 4 3 11.在平面直角坐标系中,点 P(x,y)为动点,已知点 A( 2,0),B(- 2,0),直线 PA 与 1 PB 的斜率之积为- . 2 (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)过点 F(1,0)的直线 l 交曲线 E 于 M,N 两点,设点 N 关于 x 轴的对称点为 Q(M、Q 不 重合),求证:直线 MQ 过 x 轴上一定点. (1)解 y y 1 由题知: · =- . 2 x+ 2 x- 2

x2 化简得 +y2=1(y≠0). 2 (2)证明 方法一 设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2), x2 l:x=my+1,代入 +y2=1(y≠0)整理得 2 (m2+2)y2+2my-1=0. -2m -1 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +2 m +2 y1+y2 MQ 的方程为 y-y1= (x-x1), x1-x2 令 y=0, y1?x2-x1? 得 x=x1+ y1+y2 my1?y2-y1? 2my1y2 =my1+1+ = +1=2. y1+y2 y1+y2 ∴直线 MQ 过定点(2,0). 方法二 设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2), x2 l:y=k(x-1),代入 +y2=1(y≠0)整理得 2

(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, 2k2-2 4k 2 x1+x2= , 2,x1x2= 1+2k 1+2k2 y1+y2 MQ 的方程为 y-y1= (x-x1), x1-x2 y1?x2-x1? 令 y=0,得 x=x1+ y1+y2 k?x1-1??x2-x1? =x1+ k?x1+x2-2? = 2x1x2-?x1+x2? =2. x1+x2-2

∴直线 MQ 过定点(2,0). 12.(2013· 课标全国Ⅰ)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外 切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A、B 两点,当圆 P 的半径最长 时,求|AB|. 解 (1)设圆 P 的半径为 r,

则|PM|=1+r,|PN|=3-r, ∴|PM|+|PN|=4>|MN|, ∴P 的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,左顶点除外, 且 2a=4,2c=2,∴a=2,c=1, ∴b2=a2-c2=3. x2 y2 ∴P 的轨迹曲线 C 的方程为 + =1(x=-2). 4 3 (2)由(1)知:2r=(|PM|-|PN|)+2≤|MN|+2=4, ∴圆 P 的最大半径为 r=2.此时 P 的坐标为(2,0). 圆 P 的方程为(x-2)2+y2=4. ①当 l 的方程为 x=0 时,|AB|=2 3, ②设 l 的方程为 y=kx+b(k∈R), |-k+b| ? ? 1+k =1 ? |2k+b| ? ? 1+k =2
2 2

2 2 ? ? ?k= ?k=- 4 4 解之得:? 或? . ? ? ?b= 2 ?b=- 2 ∴l 的方程为 y= 2 2 x+ 2,y=- x- 2. 4 4

联立方程

? ? 2 ?y= 4 x+

x2 y2 + =1 4 3

2

化简:7x2+8x-8=0 8 8 ∴x1+x2=- ,x1x2=- , 7 7 18 ∴|AB|= 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2= . 7


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