当前位置:首页 >> 数学 >>

立体几何测试题与参考答案


立体几何测试题
1.[原创]以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( ) A.球的三视图总为全等的圆 B.正方体的三个视图总是正三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 2.[原创]圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是 ( ) A. ? S B. 2?S C. 4?S D.

r />
2 3 ?S 3

P 、 Q 、 R 分别是 AB 、 AD 、 B1C1 的中点.那么, 3.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
正方体的过 P 、 Q 、 R 的截面图形是( A.三角形 B.四边形 ) 。 C.五边形 D.六边形 )

4.[改编]将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为( A.

3 ? 2

B.

2 ? 3

C.

? 6

D.

4? 3


5.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为( A.75° B.60° C.45° D.30°

6.正六棱柱的底面边长为 2,最长的一条对角线长为 2 5 ,则它的侧面积为( A.24 B.12 C. 24 2 D. 12 2



7.设 ? , ? , ? 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列命题 ①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ; ②若 l 上两点到 ? 的距离相等,则 l // ? ; ③若 l ? ? , l // ? , 则? ? ? ④若 ? // ? , l ? ? , 且l // ? , 则l // ? .

其中正确的命题是 ( ) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 8.在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不 . 成立 的是( ) 。 .. A.BC//平面 PDF C.平面 PDF⊥平面 ABC B.DF⊥平面 PA E D.平面 PAE⊥平面 ABC
?

9.[原创]一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底边均为 1 的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 A. ( )

1 2 2 ? B. 2 ? 2 C. 1 ? 2 D. 1 ? 2 2 2 10. (文科)如图 1,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,点 E、F、G 分 别是 DD1、AB、CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成的角的余弦值是( ) 。

1

2 C. 10 2 5 5 (理科)甲烷分子结构是:中心一个碳原子,外围四个氢 原子构成四面体, 中心碳原子与四个氢原子等距离, 且连成四 线段,两两所成角为θ ,则 cosθ 值为( )
A. 15 B. A. ?

D. 1 D1 A1 E D A F 图1 B C1 G C

B1

1 3

B.

1 3

C.

1 2

D. ?

1 2

11.在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 AB=2, AA 1 ?1 则 点 A 到平面 A1 BC 的距离为( ) A.

3 3 3 3 B. C. D. 3 4 2 4 12.[改编]已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体的表面上与点 A 距离是 2 3 的点的集合形成一条曲线,这条曲线的长度是 ( ) 3 3 2 3 5 3 ? ? ? A. B C. D. 3? 3 6 3 13.正三棱锥 P-ABC 中,三条侧棱两两垂直,且侧棱长为 a ,则 P 点到面 ABC 的距 离是 14.[改编](文科)三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点 O,P 到三个面的距 离分别是 6,8,10,则 OP 的长为 。 (理科)已长方体的全面积是 8,则其对角线长的最小值是 15.如图 2,在四棱锥 P-ABCD 中,PA ? 底面 ABCD, P 底面各边都相等,M 是 PC 上的一个动点,当点 M 满足 时,平面 MBD ? 平面 PCD.
16.在空间中:①若四点不共面,则这四点中任何三点 都不共线;②若两条直线没有共点,则这两条直线是异面直 线. 以上两个命题中,逆命题为真命题的是 符合要求的命题序号都填上) . (把 B 图2 C A M D

17.[原创]如图 3 所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋,如果冰淇淋 融化了,会溢出杯子吗?
4cm 12cm

图3

2

18.矩形 ABCD 中, AB ? 1, BC ? a(a ? 0) , PA ? 平面 AC , BC 边上存在点 Q , 使得 PQ ? QD ,求 a 的取值范围.

19.如图 4,在三棱锥 P-ABC 中, AB ? BC , 是 AC , PC 的中点, OP ? 底面 ABC .

AB ? BC ?

1 PA , 点O,D分别 2
P D

(1)求证 OD //平面 PAB ; (2)求直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值的大 小.

A
图4

O
B

C

20. (文科)如图 5,已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA 1 ? 2 ,底面 ABCD 是 直角梯形,A 是直角,AB//CD,AB=4,AD=2,DC=1,求 异面直线 BC1 与 DC 所成角的余弦值。
A1 D1 C1 B1

D A 图5

C B

(理科)如图 6,在棱长 AB ? AD ? 2 , AA1 ? 3 的长方 体 AC1 中,点 E 是平面 BCC1B1 上的点,点 F 是 CD 的中点. (1)试求平面 AB1F 的法向量; (2)试确定 E 的位置,使 D1 E ? 平面 AB1 F 。 B B1

A1 C
1

D1

A F 图6 C

D

3

21.[改编]如图 7 所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、M、N 分别为棱 DD1、AB、BC 的 中点. (1)求二面角 B1 -MN-B 的正切值; (2)画出一个正方体的表面展开图,使其满足“有 4 个正方形相连成一个长方形”这 一条件,并求展开图中 P、B 两点间的距离(设正方体的棱长为 1).

D1
A1
D A M 图7 B N

C1 B1

P C

22.一只小船以 10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面,在离湖面高 20 米的桥上,一辆 汽车由西向东以 20 m/s 的速度前进(如图 8) ,现在小船在水平 P 点以南的 40 米处,汽车 在桥上 Q 点以西 30 米处(其中 PQ⊥水面) ,求小船与汽车间的最短距离为.(不考虑汽车 与小船本身的大小) . Q

P

图8

参考答案: 1.选 A。画几何体的三视图要考虑视角,对于球无论选择怎样的视角,其三个视图均 为全等的圆。 2.选 C。圆柱的底面积为 S,则底面半径 r ?

S

?

,底面圆的周长是 2?r ? 2 ?S ,故

4

侧面积 S 侧 ? (2?r ) 2 ? 4?S 。 3.选 D。通过画图,可以得到这个截面与正方体的六个面都相交,所以截面为六边形。 4 .选 C。正方体削成最大的球,即正方体棱长为球的直径,即 2R ?1 , R ?

1 ,故 2

4 ?1? ? V球 ? ? ? ? ? ? 。 3 ?2? 6
5.如图所示,设侧棱与底面所成的角为 ? ,则 A B

3

S

OC 2 co? s ? ? ,所以 ? ? 45 0 。 SC 2 6.选 A。由底面边长为 2,可知底面半径为 2,由勾股定理
可知侧棱长为 2,所以 S 侧 ? 6 ? 2 ? 2 ? 24 。 7.选 D。命题① ? 和 ? 可能平行;命题②中 l 和 ? 相交。

D
O

第 5 题图

C

8.选 C。如图所示:取 DF 的中点 O,易证 ?POA 为二面角 P ? DE ? A 的平面角,因 为 P 点在底面上的射影是底面的中心,故 ?POA 不可能为直角,所以平面 PDF 与平面 ABC 不垂直。 P D C

A

C O H B 第 8 题图 A 第 9 题图 B

9.选 B。还原成平面图形为如图所示的直角梯形,且 AB ? 1 ? 2 , AD ? 2 , DC ? 1 , 故S ?

1 ? (1 ? 1 ? 2 ) ? 2 ? 2 ? 2 。 2

10. (文科)如图所示,连结 B1G 、 B1 F ,则 ?B1GF 或其补角是异面直线 A1E 与 GF 所 成 的 角 , 由 余 弦 定 理 : ?B1GF ?
? ? arccos
10 。 5

B1G 2 ? B1 F 2 ? GF 2 2?5?3 10 ,所以 ? ? 2 B1G ? B1 F 5 2 2? 5

D1 A1 E D A F

B1

C1 G

P

O C B A H B
第 10 题(理)图

C D

第 10 题(文)图

5

(理科)选 A。 即正四面体的各顶点与中心连线所成的角,如图,设棱长为 1,则有:

3 3 6 , AH ? , PH ? PA 2 ? AH 2 ? ,设 OA ? OB ? OC ? OD ? OP ? r ,在 2 3 3 6 Rt?OAH 中 , 由 OA2 ? OH 2 ? AH 2 得 : r ? , 故 C1 4 A1 AD ?

c o ?s ?

r 2 ? r 2 ?1 1 ?? 。 2 3 2r
A

B1 C B
第 11 题图

11 . 设 点 A 到 平 面 A1 BC 的 距 离 为 h , 则 由

V A? A1BC ? V A1 ? A B C







h?

S ?ABC ? AA1 3 3 。 ? ? 1 S ?A1BC 2 ? 2 ? 5 ?1 2

12.曲线在过 A 的三个面上都是以 A 为圆心, 的总长度为

2 3 为半径的四分之一圆弧,所以曲线 3

3 2 3 ? 2? ? ? 3? 。 4 3

13. 设 P 点到面 ABC 的距离为 h , 由体积公式可得:

1 3

? 2a?

2

2 3 1 a。 故h ? ? h ? a3 , 3 6
C B P O B1

14.如图,构造长方体,其中侧面 AO,BO,A1O 所在的 平面即为已知的三个两两垂直的平面,则长方体的长、宽、高 分别为 6,8,10,而 OP 的长即为长方体的体对角线的长,所 以 OP =36+64+100=200. 故 OP ? 10 2 。
2



( 理 科 ) 设 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 分 别 为 a , b, c , 则 ab ? bc ? ca ? 4 , 对 角 线

A1

第 14 题图

l ? a2 ? b2 ? c2 ?

2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 2ab ? 2bc ? 2ca ? ?2 2 2

15. 答案: BM⊥PC (或 DM⊥PC) . 底面四边形 ABCD 各边都相等, 所以四边形 ABCD 是菱形,故 AC⊥BD,又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD,又 PA ? AC ? A ,所以 BD⊥ 平面 PAC,即有 PC⊥BD,故要使平面 MBD⊥平面 PCD,只须 BM⊥PC,或 DM⊥PC. 16.答案②.①的逆命题是: “若四点中的任何三点都不共线,则这四点不共面” ,为假 命题,反例可以找正方形,没有三点共线,但四个顶点共面;②的逆命题是: “若两条直线 是异面直线,那么这两条直线没有公共点” ,由异面直线的定义知这个命题正确. 17 .解: V半球 ?

1 4 128? 1 1 1 ; V锥 ? ? Sh ? ? r 2 h ? ? ? 4 2 ? 12 ? 64? 。因 ? ? ? 43 ? 2 3 3 3 3 3

为 V半球 ? V锥 ,故冰淇淋融化了,不会溢出杯子。 18.如图,连结 AQ,∵PQ⊥QD,PA⊥QD,PQ∩PA=P,∴QD⊥平面 PQA,于是 QD
6

⊥AQ,∴在线段 BC 上存在一点 Q,使得 QD⊥AQ,等价于以 AD 为直径的圆与线段 BC 有 交点,∴

a ? 1 , a ? 2. 2
P
P

D

A B

D C
A O F E 第 19 题图 B C

Q
第 18 题图

19 . ( 1 ) O、D分别为 AC 、 PC 的中点.∴ OD // PA ,又 PA ? 平面 PAB , OD ? 面PAB ,∴ OD // 平面 PAB . (2)

AB ? BC , OA ? OC , ∴ O A? O B ? O,C 又

OP ? 平 面 ABC , ∴

P A? P B ? P. C 取 BC 中点E, 连结 PE ,则 BC ? 平面 POE .作 OF ? PE 于 F,连结 DF , 则 OF ? 平 面 PBC , ∴ ?ODF 是 OD 与 平 面 PBC 所 成 的 角 . 在 Rt ?ODF 中 ,
sin ?ODF ?
210 OF 210 .所以 OD 与平面 PBC 所成的角正弦值为 . ? 30 OD 30

20. (文科)由题意 AB∥CD,∴∠C1BA 是异面直线 BC1 与 DC 所成的角。连结 AC1 与 AC,在 Rt△ADC 中,可得 AC= 5 。 又在 Rt△ACC1 中,可得 AC1=3。在梯形 ABCD 中, 过 C 作 CH∥AD 交 AB 于 H,得∠CHB=90° , CH=2, HB=3, ∴CB= 13 。 又在 Rt△CBC1 中,可得 BC1= 17 ,在△ABC1 中,cos∠C1BA=

3 17 ,∴∠ 17

D1 A1

C1 B1

3 17 C1BA=arccos .所以异面直线 BC1 与 DC 所成角的余弦 17 3 17 值大小为 . A 17 (理) 如图, 建立空间直角坐标系 A-xyz, 则A (0, 0, 0) ,
B1(2,0,3) ,F(1,2,0) ,∴ AB1 ? (2,0,3) , AF ? (1, 2,0) 。 ( 1 )设平面 AB1F 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,由

D H

C 第 20 题文图 B

z A1 B1 A B x
第 20 题理图

D1 C
1

2x ? ? ?z ? ? 3 , ? AB1 ? n, ? ? AB1 ? n ? 0, ?2 x ? 3z ? 0, ? 得? 即? ∴? , ? x ? 2 y ? 0, x ? ? ? AF ? n , AF ? n ? 0 , ? ? ? y?? , ? 2 ?

y D F C

7

∴可取平面 AB1F 的一个法向量为 n ? (6,?3,?4) . (2)∵D1(0,2,3) ,设 E(2,y,z) ,则 D1 E ? (2, y ? 2, z ? 3) ,由(1)知,平面 AB1F 的一个法向量为 n ? (6,?3,?4) ,∴要使 D1E ? 平面 AB1F,只须使 D1 E // n ,∴令 n ? k D1 E ,

? ?k ? 3, ?6 ? 2k , ? 5 ? 即 ?? 3 ? ( y ? 2)k , ∴ ? y ? 1, ∴当 E 点坐标为(2,1, ) 时, 3 ?? 4 ? ( z ? 3)k , ? 5 ? ?z ? . 3 ? D1E ? 平面 AB1F.
21.设棱长为 1,取 MN 的中点 E,连结 BE, B1 E. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 、 N 分别为棱 AB 、 BC 的中点,∴

D1
A1
D A N B M 第 21 题(1) P D E

C1 B1

P C

BM ? BN

, ∴ BE ? MN

, ∵ B1 B ? MN

, ∴

MN ? 平面B1BE , ∴∠ B1 EB 是二面角 B1 ? MN ? B 的平面
角.且 BE= MB 2 ? ME 2 ?

D1

?

C B

BB 1 2 . tan ?B1 EB ? 1 ? ? 2 2. 4 BE 2 4



A1

A ②

(2)展开图如右图所示. P、B 两点间的距离共计 4 种情

A1


B1 C1 B1

13 89 29 17 ; ② PB= ;③ PB= ; ④ PB= . 2 2 2 2 求得其中一个即可.
况 , ① PB=

D1 P?
D

④ C B

第 21 题(2) 22.设经过时间 t 汽车在 A 点,船在 B 点,如图所示,则 AQ=30–20t,BP=40—10t, PQ=20,且有 AQ⊥BP,PQ⊥AQ,PQ⊥PB,设小船所在平面为α ,AQ,QP 确定平面为β ,记α ∩β =l,由 AQ∥α ,AQ ? β 得 AQ∥l,又 AQ⊥PQ,得 PQ⊥l,又 PQ⊥PB,及 l∩PB=P 得 PQ⊥α .作 AC∥PQ,则 AC⊥α .连 CB,则 AC⊥CB,进而 AQ⊥BP,CP∥AQ 得 CP⊥BP, ∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+(40-10t)2+(30—20t)2=100[5(t—2)2+9] ,t=2 时 AB Q A 最短,最短距离为 30 m..

P C B

l

8

备用题: 1.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,则 A1C 与 DE 所成的角的余弦值为 ( )

30 15 10 B. C. D. 15 15 6 解:选 A.分别以 DA、DC、DD1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,
A. 设棱长为 2,则 A1 (2,0,2) , E (2,1,0) , C (0,2,0) ,故 有: A1C ? (?2,2,?2) , DE ? (2,1,0) ,由 cos ? ?

10 10 D1
A1 B1 D A 图

C1

A1C ? DE A1C ? DE

R

C ·E B

?

?2 2 15

??

15 15 。所以 A1C 与 DE 所成的角的余弦值为 。 15 15

2.如图,是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,则搭成这个几何体的小正 方体的个数是 .

主视图

左视图

俯视图

解:这种题型最直接的解决方法就是还原法,根据三视图画出它的立体图形。本题的立 体图形如下,所以正确答案应该是 5 个。

3.已知 A,B,C,D 为同一球面上的四点,且连接每两点的线段长都等于 2,则球心 到平面 BCD 的距离等于_____________。 解:易知四面体 ABCD 是以棱长为 2 的正四面体,球心为正面体的中心,可求得正四 面体的高为

6 3 6 6 6 6 6 ? ? ? ,球的半径为 ? ,所球心到底面的距离为 。 3 4 3 4 3 4 12

4.已知平面?与平面?交于直线 l,P 是空间一点,PA⊥?,垂足为 A,PB⊥?,垂足为 B,且 PA=1,PB=2,若点 A 在? 内的射影与点 B 在?内的射影重合,则点 P 到 l 的距离为 ________. 解:因为“点 A 在? 内的射影与点 B 在?内的射影重合” ,记为 H,则四边形 PAHB 为矩 形,所以点 P 到 l 的距离为矩形的对角线,对角线的长度为 5 ,所以 P 到 l 的距离 5 。

9

5.在 ?ABC 中, BC ? 21 , ?BAC ? 1200 , ?ABC 所在平面外一点到 A、B、C 的距离 都是 14,则点 P 到面 ABC 的距离为 解:由 P 到 A、B、C 的距离知,P 点在底面上的射影 O 为底面的外心,故 21 2OA ? ? 14 3 ,即 OA ? 7 3 ,设 P 到面 ABC 的距离为 h ,则 h ? PA2 ? OA2 ? 7 。 sin120 0 6 . 在 梯 形 ABCD 中 , ?D A B ? ? A B C? ,

?

2

AB ?

BC 2