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2013届高三人教A版文科数学一轮复习课时作业(2)命题及其关系、充分条件、必要条件


课时作业(二) [第 2 讲 命题及其关系、充分条件、必要条件] [时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 1.下列说法中正确的是( ) A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价 C.“a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a2+b2≠0” D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一

定为真 2. [2011· 锦州期末] “a=1”是“函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为 π”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 → → → → → → 3.[2011· 福州期末] 在△ABC 中,“AB· AC=BA· BC”是“|AC|=|BC|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ? ? 1 x <2 <8 ?,B={x|-1<x<m+1},若 x∈B 成立的一个充分不必要 4.已知:A=?x∈R? 2 ? ? ? 条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是________. 能力提升 5.[2011· 烟台模拟] 与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( ) A.若 a?M,则 b?M B.若 b?M,则 a∈M C.若 a?M,则 b∈M D.若 b∈M,则 a?M 6.[2011· 湖南师大附中模拟] 已知条件 p:-2<m<0,0<n<1;条件 q:关于 x 的方程 x2 +mx+n=0 有两个小于 1 的正根,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.命题“?x0∈R,使 x2 ) 0+ax0-4a<0 为假命题”是命题“-16≤a≤0”的( A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.[2011· 潍坊质检] 已知各项均不为零的数列{an},定义向量 cn=(an,an+1),bn=(n, * n+1),n∈N .下列命题中真命题是( ) A.若?n∈N*总有 cn∥bn 成立,则数列{an}是等差数列 B.若?n∈N*总有 cn∥bn 成立,则数列{an}是等比数列 C.若?n∈N*总有 cn⊥bn 成立,则数列{an}是等差数列 D.若?n∈N*总有 cn⊥bn 成立,则数列{an}是等比数列 9.[2011· 天津卷] 设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 a b 10. 命题“若 a>b, 则 2 >2 -1”的否命题为________________________; 命题: “若 m>0,则 x2+x-m=0 有实根”的否定是________________________.

11.“x= 2”是“向量 a=(x+2,1)与向量 b=(2,2-x)共线”的____________条件. x 12.设 p: <0,q:0<x<m,若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则 m 的值可以是 x-2 ________.(只写出满足条件的一个 m 的值即可) 13.若命题“对?x∈R,ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是 ________. 14.(10 分)求证:关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个正根和一个负根的充要条件是 ac <0.

15.(13 分)[2011· 聊城二模] 已知条件 p:x∈A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},条件 q:x ∈B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若綈 p 是 q 的必要条件,求实数 m 的取值范围.

难点突破 16.(12 分)[2011· 厦门检测]
? ?x-a2-2 ? ?x? <0? . ? ? x-a ? ? ? x-2 ? <0? ,B= 已知全集 U=R,非空集合 A=?x? ? ?x-3a-1 ?

1 (1)当 a= 时,求(?UB)∩A; 2 (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

课时作业(二) 【基础热身】 1.D [解析] 否命题和逆命题互为逆否命题,有着一致的真假性. 2.A [解析] 函数 y=cos2ax-sin2ax=cos2ax 的最小正周期为 π?a=1 或 a=-1,所 以“a=1”是“函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为 π”的充分不必要条件.故选 A. 3.C [解析] ∵-π<A-B<π,∴bccosA=accosB?sinBcosA=sinAcosB?sin(A-B)=0 → → → → → → ?A=B?a=b,于是“AB· AC=BA· BC”是“|AC|=|BC|”的充要条件. 4.m>2 [解析] A={x|-1<x<3},由题意 x∈A? x∈B,但 x∈B/? x∈A,∴(-1,3) (- 1,m+1),∴m>2. 【能力提升】 5.D [解析] 命题“若 a∈M,则 b?M”的逆否命题是“若 b∈M,则 a?M”,又原 命题与逆否命题为等价命题,故选 D. 6.B [解析] 设关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根 x1,x2,则 x1+x2= -m,x1· x2=n,且 m2-4n>0. ∵0<x1,x2<1,∴0<-m<2,0<n<1,∴-2<m<0,0<n<1,这说明 p 是 q 的必要条件. 设-2<m<0,0<n<1,则关于 x 的方程 x2+mx+n=0 不一定有两个小于 1 的正根,如 m 3 3 =-1,n= 时,方程 x2-x+ =0 没有实数根,这说明 p 不是 q 的充分条件,故 p 是 q 的 4 4 必要不充分条件. 2 7.A [解析] “? x0∈R,使 x0 +ax0-4a<0”为假,即“? x∈R,使 x2+ax-4a≥0” 为真,从而 Δ≤0,解得-16≤a≤0.故选 A. an+1 n+1 8.A [解析] 由 cn∥bn 可知 = , an n a2 a3 a4 an 234 n 故 an= · · · ?· · a = ··· ?· · a =na1, 即? n∈N*如果 cn∥bn 成立, 则数列{an} a1 a2 a3 an-1 1 1 2 3 n-1 1 是等差数列. 9. A [解析] 当 x≥2 且 y≥2 时, 一定有 x2+y2≥4; 反过来当 x2+y2≥4, 不一定有 x≥2 且 y≥2,例如 x=-4,y=0 也可以,故选 A. 10.“若 a≤b,则 2a≤2b-1” “若 m>0,则 x2+x-m=0 无实根” 11.充分不必要 [解析] 若 a=(x+2,1)与 b=(2,2-x)共线,则有(x+2)(2-x)=2,解 得 x=± 2,所以“x= 2”是“向量 a=(x+2,1)与向量 b=(2,2-x)共线”的充分不必要条 件. 12.4(答案不唯一) [解析] p:0<x<2,若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则 m>2,故 可填 4. 13.[-3,0] [解析] 原命题是真命题,则 ax2-2ax-3≤0 恒成立,当 a=0 时,-3≤0 成立; ? ?a<0, 当 a≠0 时,得? 解得-3≤a<0, 2 ? ?Δ=4a +12a≤0, 故-3≤a≤0. 14.[解答] 证明:充分性: ∵ac<0,∴a≠0 且 b2-4ac>0, ∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 x1,x2. c ∵ac<0,∴a,c 异号,∴x1x2= <0, a ∴x1,x2 异号,即关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个正根和一个负根. 必要性: 若关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个正根 x1 和一个负根 x2,则 x1x2<0. c ∵x1x2= ,∴ac<0,即 a、c 异号. a

综上所述,关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个正根和一个负根的充要条件是 ac<0. 15.[解答] (1)解不等式 x2-2x-3≤0,得-1≤x≤3, ∴集合 A={x|-1≤x≤3}, 解不等式 x2-2mx+m2-4≤0, 得 m-2≤x≤m+2, ∴集合 B={x|m-2≤x≤m+2}. ?m-2=0, ? ∵A∩B=[0,3],∴? 解得 m=2. ? ?m+2≥3, (2)∵“x∈?RA”是“x∈B”的必要条件, ∴B ?RA,∵?RA=(-∞,-1)∪(3,+∞), ∴m+2<-1 或 m-2>3, ∴m<-3 或 m>5. 【难点突破】 ? ? ?1 ? ?9 5 ? 9 ? 5 ? 1 ?x <x< ?, ?x ≤x< ?. 2<x< ?, 16. [解答] (1)当 a= 时, A=?x? B = 所以 ( ? B ) ∩ A = U 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? ?2 ? ?4 (2)若 q 是 p 的必要条件,即 p? q,可知 A? B. 因为 a2+2>a,所以 B={x|a<x<a2+2}. 1 当 3a+1>2,即 a> 时,A={x|2<x<3a+1}, 3 ?a≤2, ? 3- 5 3+ 5 由? 2 解得 a≤ 或 a≥ , 2 2 ?a +2≥3a+1, ? 3- 5 1 所以 <a≤ . 3 2 1 当 3a+1=2,即 a= 时,A=?,符合题意; 3 1 当 3a+1<2,即 a< 时,A={x|3a+1<x<2}, 3 ?a≤3a+1, ? 1 1 1 由? 2 解得 a≥- ,所以- ≤a< . 2 2 3 ? a + 2 ≥ 2 , ?

? 1 3- 5?. 综上,a∈?- , ? 2 ? ? 2


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