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§1.2.3函数解析式的求法


§1.2.3函数解析式的求法

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§1.2.3函数解析式的求法

要点·疑点·考点
1.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两 个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间 的对应法则,二是要求出函数的定义域. 2.求函数的解析式的主要方法有:待定系

数法、换 元法、消参法等, 已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法, 这时要注意元的取值范围; 当已知表达式较简单时,也可用凑配法; 若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参 的方法求出f(x)
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一、配凑法
x+1 x2+1 1 例1 已知 f( x )= x2 + x , 求 f(x). x+1 )= x2+1 + 1 =1+ 1 + 1 解: ∵f( x x2 x2 x x 1 1 =( x +1)2-( x +1)+1 =( x+1 )2-( x+1)+1 并且 x+1 ≠1, x x x ∴f(x)=x2-x+1(x≠1). x+1 x2+1 + 1 评注: 若在给出的函数关系式中 x2 x 与 x 的关系 不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关系.
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二、换元法
x+1 x2+1 1 例1 已知 f( x )= x2 + x , 求 f(x).

1 x ?1 解:设 ? t ( t ? 1) 得x ? t ?1 x 2 x ?1 x ?1 1 1 1 ? f( )? ? ? 1? 2 ? 2 x x x x x
1 1 ? f ( t) ? 1 ? ? 1 2 1 ( ) ( ) t ?1 t ?1 2 2 ? 1 ?2( t ? 1) ? t ? 1 ? t ? t ? 1
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? f ( x ) ? x ? x ? 1 ( x ? 1)
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解题回顾:换元法? 如果已知复合函数f[g(x)]的表达式且g(x)存在反函 数时,可以用换元法来求f(x)的解析式.它的一般步骤为 (1)设g(x)=t,并求出t的取值范围(即g(x)的值域);

(2)解出x=φ(t);
(3)将g(x)=t,x=φ(t)同时代入函数f[g(x)]并简化; (4)以x代t且写出x的取值范围(即t的取值范围)

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三、解方程组法
例2 已知 f(x)+f( xx1 )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x).

x- 1 解: 记题中式子为①式, 用 x 代替①中的 x, 整理得: 2x-1 f( xx1 )+f( 11x )= x ②, 1 2- x f( 11x )+f(x)= 1-x ③, 再用 1-x 代替①中的 x, 整理得: x3-x2-1 解由 ①, ②, ③ 组成的方程组, 得: f(x)= 2x(x-1) . 评注: 把 f(x), f( xx1 ), f( 11x ) 都看作“未知数”, 把已知条 1 件化为方程组的形式解得 f(x). 又如: 已知 af(x)+bf( )=cx, 其 x 中, |a|≠|b|, 求 f(x). f(x)= c (ax- b ). x a2-b2
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四、待定系数法

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例4 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x). 解: 由原式可知 f[g(x)] 中的 g(x) 一个是 2x, 另一个是 3x+1, 都是一次式. 而右端是二次式,故 f(x) 是一个二次式, 则可设: f(x)=ax2+bx+c, 从而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, ∴ 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与 13x2+6x-1 表示同一个式子, 即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)≡13x2+6x-1 . 比较系数得: a=1, b=0, c=-1. 从而有: f(x)=x2-1. 评注: 先分析出 f(x) 的基本形式, 再用待定系数法, 求出各 系数.
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例5.设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图象 在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长 为 2 2,求f(x)的解析式

解法1:设 f ( x ) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 由f ( x ? 2) ? f (? x ? 2), 得4a ? b ? 0
2

解题分析:本题已经告诉函数特征,所以可用待定系 数法求解.

? b ? 4ac ? 8a ? 又 | x1 ? x2 |? ? 2 2, 由已知得c ? 1 |a| 1 2 1 ? f ( x) ? x ? 2 x ? 1 解得b ? 2, a ? 2 2
2 2
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例5.设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图象 在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长为 , 求f(x)的解析式 2 2

解法2: ( x ? 2) ? f (? x ? 2) f 由 f ( ?2 ? x ) ? f ( ?2 ? x ), 故 y ? f ( x ) 的图象有对称轴x ? ?2

可设 f ( x ) ? a( x ? 2) ? k
2

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例5.设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图象 在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长为 , 求f(x)的解析式 2 2

解法3: y ? f ( x) 的图象有对称轴 x ? ?2 ?

由又 | x1 ? x2 | ? 2 2 ? y ? f ( x ) 与 x 轴的交点为
【解题回顾】根据对f(x-2)=f(-x-2)的不同理解,可设 不 同 形 故可设 次(函)数 a一 般2 ?,2 )( x ? 2f(x) 满 足 式 的 二 f x ? . ( x ? 地 若 函 数 ? 2) f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)关于直线x=a对称.这里应和 1 ? f (0) ? 1, ? 周期函数定义区别开来. a ?

( ?2 ? 2, 0),( ?2 ? 2, 0)

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例6.已知函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2,3)对称, 求g(x)的解析式.

解题分析: 因函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2,3) 【解题回顾】求与已知函数y=f(x)的图象关于点P(a,b) 对称,所以y=g(x)图象上任意一点M(x,y)关于点(-2,3) 对称的函数解析式y=g(x)时,可用代对称点法. 对称的点M’(x’,y’)在y=x2+x上,即y’=x’2+x’.下面只须找 出x,y与x’,y’之间关系即可. 解:设因函数y=g(x)的图象上任意一点为M(x,y), 点M(x,y)关于点(-2,3)的对称点为M’ (x’ ,y’ ),
? x' ? x ? ?2 ? ? x ' ? ?4 ? x ? 2 得? ' , 解得 ? ' ? y ? 6? y ? y ? y ?3 ? 2 ?
' '2 '

? y ? ?x ? 7x ? 6
2

代入 y ? x ? x 中 2 2 得 6 ? y ? (?4 ? x ) ? (?4 ? x ) 即 g ( x) ? ? x ? 7 x ? 6
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五、迭代法
例7 已知 f{f[f(x)]}=27x+13, 且 f(x) 是一次式, 求 f(x). 解: 由已知可设 f(x)=ax+b, 则: f[f(x)]=a2x+ab+b. ∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b. 由题意知: a3x+a2b+ab+b≡27x+13. 比较系数得: a=3, b=1. 故 f(x)=3x+1. 评注: 本题的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法.

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