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2014数列与解析几何(高考数学压轴题常考题型)


2014 年数列与解析几何高考数学压轴题常考题型 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) ?, P n ( xn , y n ) ? ,对一切正 例 1.在直角坐标平面上有一点列 P 整数 n ,点 Pn 位于函数 y ? 3x ? 13 5 ? 4 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 2 为首项, ? 1 为公差的等差数列 ?xn ? 。 ⑴

求点 Pn 的坐标; ⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴, 第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn ,且过点 Dn (0, n 2 ? 1) ,记与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 1 1 1 ? ??? k n ,求: k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 。 ⑶设 S ? ?x | x ? 2xn , n ? N , n ? 1?, T ? ?y | y ? 4 yn , n ? 1? ,等差数列 ?an ? 的任一项 an ? S ? T ,其中 a1 是 S ? T 中的最大数, ? 265 ? a10 ? ?125,求 ?an ? 的通项公 式。 xn ? ? 5 3 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 2 2 解: (1) ? yn ? 3 ? xn ? 13 5 3 5 ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4 ( 2 ) ? cn 的 对 称 轴 垂 直 于 x 轴 , 且 顶 点 为 Pn . ? 设 cn 的 方 程 为 : y ? a( x ? 2n ? 3 2 12 n ? 5 ) ? , 2 4 2 2 2 把 Dn (0, n ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? cn 的方程为: y ? x ? (2n ? 3) x ? n ? 1 。 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) k n ? y | x?0 ? 2n ? 3 , k n?1k n (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 ' ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 ( ? )? ? = 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6 (3) S ? {x | x ? ?(2n ? 3), n ? N , n ? 1} , T ? { y | y ? ?(12n ? 5), n ? N , n ? 1} ? { y | y ? ?2(6n ? 1) ? 3, n ? N , n ? 1} ?S T ? T , T 中最大数 a1 ? ?17 . 设 {an } 公差为 d ,则 a10 ? ?17 ? 9d ? (?265,?125) ,由此得 248 ? d ? ?12, 又 ? a n ? T ? d ? ?12m(m ? N * ), 9 ? d ? ?24,? a n ? 7 ? 24n(n ? N * ). ? 2 2 例 2.已知曲线 Cn : x ? 2nx ? y ? 0(n ? 1, 2, ) .从点 P(?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为 kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) . (1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; x1 ? x3 ?

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