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2014年马山中学春季学期高二数学(理)段考试题及答案


2014 年马山县马山中学春季学期数学段考试题 一、选择题(每题 5 分) 1. 如果质点 A 按照规律 s=3t2 运动, 则在 t0=3 时的瞬时速度为 A.6 2.已知 B.18
z ? 2 ? i ,则复数 z ? 1? i

(

)

C.54

D.81 ( )

r />A. -1+3i

B.1-3i

C.3+i

D. 3-i

3.下面几种推理是合情推理的是 ①由圆的性质类比出球的有关性质.②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内 角和是 180o,归纳出所有三角形的内角和都是 180°.③教室内有一把椅子坏了,则 该教室内的所有椅子都坏了.④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360o,五边 形内角和是 540o,由此得出凸多边形的内角和是(n-2)·180° A.①② B.①③④ C.①②④ D.②④ ( )

4.曲线 f(x)=x3+x-2 在 P 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P 点的坐标为. A.(1,0)或(-1,-4) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,4) ( ( ) )

5.设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则 f(x)为 R 上增函数的充要条件是 A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2-3ac<0

6.已知函数 y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),下 面四个图象中,y=f(x)的图象大致是 ( )

7.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f′(x)>0,

g′(x)>0,则 x<0 时

A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0

B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0( )

8.对于函数 f(x)=x3-3x2,给出命题:①f(x)是增函数,无极值;②f(x)是减函数, 无极值;③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,2);④f(0)= 0 是极大值,f(2)=-4 是极小值.其中正确的命题有
1

(

)

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

9.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 ( )

10.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的 中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 A.60° B.45° C.30° A.0 D.90° B.1 C.0 或 1 D.以上都不对( ) ( )

11.若?k(2x-3x2)dx=0,则 k= ?0

12.由曲线 y=x2-1、直线 x=0、x=2 和 x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是 A.?2(x2-1)dx ?0 C.?2|x -1|dx ?0
2

B. |?2(x2-1)dx| ?0 D.?1(x -1)dx+?2(x -1)dx ?0 ?1
2 2

(

)

二、填空题: (每题 5 分) 13.f(x)=x3-12x+8 在[-3,3]上的最大值为 M,最小值为 m,则 M-m=________. 14. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 、F 分别是 A1B1 、CD 的中点,求点 B 到 截面 AEC1F 的距离 .

15.一物体在力 F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=1 运动到 x=3 处(单位:m),则力 F(x)所做的功为 16、球直径为 d ,当其内接正四棱柱体积最大时的高为________________. 三、解答题: 17(10 分).已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+11.讨论函数 f(x)的极大值或极小值,如 有试写出极值.

2

18. (12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? b 在 x=1 处有极值 2.求函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? b 在闭区间[0,3]上的最值;

19(12 分) .在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,

PA⊥平面 ABCD,AB=1,AD=2,PA=CD=4.
(1)求证:BD⊥PC;(2)求二面角 B—PC—A 的余弦值.

3

20(12 分) .一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时 10 千米时,燃料费是每小时 6 元,而其它与速度无关的费用是每小时 96 元,问轮船 的速度是多少时,航行 1 千米所需的费用总和为最小?

21(12 分) .求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*).

22(12 分) .A、B 两站相距 7.2km,一辆电车从 A 站开往 B 站,电车开出 ts 后到达 途中 C 点,这一段速度为 1.2t(m/s),到 C 点的速度达 24m/s,从 C 点到 B 站前的 D 点以等速行驶,从 D 点开始刹车,经 ts 后,速度为(24-1.2t)m/s,在 B 点恰好停 车,试求:(1)A、C 间的距离;(2)B、D 间的距离;(3)电车从 A 站到 B 站所需的时 间.

4

2014 年马山县马山中学春季学期数学段考试题答案 一、选择题:BBCA DCBB AACC 二、真空题: 13.32 三、解答题 17.[解析] 14.
6 3

15. 14J

16.

3 d 3

f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),
……………2 分

令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3.

x 变化时,f′(x)的符号变化情况及 f(x)的增减性如下表所示: x f′(x
) (-∞, -1) + -1 0 极大值 (-1,3) - 3 0 极小值 (3,+∞) +

f(x)



f(-1)



f(3)

增 ……………6 分

由表可得,当 x=-1 时,函数有极大值为 f(-1)=16; 当 x=3 时,函数有极小值为 f(3)=-16. ……………10 分

? f '(1) ? 2? 2a ?0 18. (12 分) 解: 由已知 f '( x) ? 2 x ? 2a 因为在 x ? 1 时有极值 2, 所以 ? ? f (1) ?1? 2a ?b ? 2

解方程组得: 当 x?

?

a ?1 b ?3

所以 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3

…………… ….6 分

? 0,1? 时, f '( x) ? 0 所以 f ( x) 单调递减
且 f (0) ? 3, f (1) ? 2, f (3) ? 6 …………… 12 分

当 x ? ?1,3? 时, f '( x) ? 0 所以 f ( x) 单调递增 所以 f ( x) 的最大值为 6, f ( x) 最小值为 2

19.解析:(1)证明:以 A 为原点,建立如图所示空间直角坐标系,

则 B(0,1,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,4), ??? ? ??? ? ∴ PC ? (-2,4,-4), BD =(-2,-1,0),
5

??? ? ??? ? ∴ PC ? BD =4-4=0,

所以 PC⊥BD ……………4 分 ??? ? ??? ? (2)易证 BD 为平面 PAC 的法向量, BD =(-2,-1,0). 设平面 PBC 的法向量 n=(a,b,c), ??? ? ??? ? PB =(0,1,-4), BC =(-2,3,0),

? ?n ? PC ? 0 ?b ? 4c 所以 ? ?? ? ?a ? 6c n ? BC ? 0 ?
所以平面 PBC 的法向量 n=(6,4,1), ∴cosθ = ……………8 分

BD ? n BD ? n



-12-4 16 265 =- . 265 5· 53

因为平面 PAC 和平面 PBC 所成的角为锐角, 所以二面角 B—PC—A 的余弦值为 20.[解析] 16 265 265 ……………12 分

设速度为每小时 v 千米的燃料费是每小时 p 元,那么由题设的比 6 = 103

例关系得 p=k·v3,其中 k 为比例常数,它可以由 v=10,p=6 求得,即 k= 0.006.于是有 p=0.006v3.

……………2 分

又设当船的速度为每小时 v 千米时,行 1 千米所需的总费用为 q 元,那么每小 1 时所需的总费用是 0.006v3+96(元),而行 1 千米所需用时间为 小时,所以行 1 千

v

米的总费用为

q= (0.006v3+96)=0.006v2+ . v v q′=0.012v- 2 = 2 (v3-8000), v v
令 q′=0,解得 v=20. 96 0.012

1

96

……………8 分

因当 v<20 时,q′<0;当 v>20 时,q′>0,所以当 v=20 时取得最小值.
6

即当速度为 20 千米/小时时,航行 1 千米所需费用总和最小.

……12 分 ……4 分

21.[证明] ①n=1 时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立. ②假设 n=k 时,等式成立, 即 12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)2.

……6 分

当 n=k+1 时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k +1)+(2k+1)2-(2k+2)2 =-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1], 所以 n=k+1 时,等式也成立. 由①②得,等式对任何 n∈N*都成立. 22. [解析] (1)设 A 到 C 经过 t1s, 由 1.2t=24 得 t1=20(s),
2 所以 AC=∫20 =240(m). 0 1.2tdt=0.6t |0 20

……8 分

……12 分

…………4 分

(2)设从 D→B 经过 t2s,由 24-1.2t2=0 得 t2=20(s), 所以 DB=∫20 0 (24-1.2t)dt=240(m). (3)CD=7200-2×240=6720(m). 从 C 到 D 的时间为 t3= 6720 =280(s). 24 ………………12 分 ………………8 分

于是所求时间为 20+280+20=320(s).

7


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