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2015年全国高考文科数学试题及答案-天津卷


2015 年天津卷高考数学试卷(文科)
一、选择题

1.已知全集 U = {1, 2,3, 4,5, 6} ,集合 A ? {2,3,5} ,集合 B = {1,3, 4,6} ,则集合 A? CU B = (A) {3} (B) {2,5} (C) {1, 4, 6} (D) {2,3,5}

? x?2?0 ? 2.设变量

x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则目标函数的最大值为 z ? 3x ? y ?x ? 2 y ? 8 ? 0 ?
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14

3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5

4.设 x ? R ,则“ 1 < x < 2 ”是“ | x ? 2 |? 1 ”的 (A) 充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x2 y 2 5.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点为 F(2, 0) ,且双曲线的 a b
2 渐近线与圆 ? x ? 2 ? ? y ? 3 相切,则双曲线的方程为 2

(A)

x2 y 2 =1 9 13
x2 - y2 =1 3

(B)

x2 y 2 =1 13 9
2

(C)

(D) x -

y2 =1 3

6.如图,在圆 O 中,M,N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M, N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为 (A)

8 3

(B) 3

(C)

10 3
| x - m|

(D)

5 2

7. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) = 2

- 1(m 为实数) 为偶函数,记

a ? f (log0.5 3), b ? f (log2 5), c ? f (2m) ,则 a, b,c ,的大小关系为

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(A) a < b < c 8.已知函数 f ( x) ? ? 个数为 (A) 2 (B) 3

(B) c < a < b

(C) a < c < b

(D) c < b < a

? 2? | x |, x ? 2 ,函数 g ( x) ? 3 ? f (2 ? x) ,则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点的 2 ( x ? 2) , x ? 2 ?

(C)4

(D)5

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. i 是虚数单位,计算

1 ? 2i 的结果为 2?i



10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何 体的体积为 .

11.已知函数 f ( x) ? ax ln x, x ? (0, ??) ,其中 a 为实 数, f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,若 f ? ?1? ? 3 ,则 a 的值为 . 时 log 2 a ? log 2 (2b) 取得最大值。

12.已知 a ? 0, b ? 0, ab ? 8, 则当 a 的值为

13.在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB // DC , AB ? 2, Bc ? 1, ?ABC ? 60? , 点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD 上,且 BE ?

??? ?

? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 ??? BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的值为 3 6



14.已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x(? ? 0), x ? R, 若函数 f ? x ? 在区间 ? ??, ? ? 内单调递增,且 函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15.(13 分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽样的方法 从这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛。 (Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (Ⅱ)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6 ,从这 6 名运动员中随机抽 取 2 名参加双打比赛。 (ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果; (ⅱ)设 A 为事件“编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率。 .

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16. ( 13 分)△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,已知△ ABC 的面积为 3 15 ,

1 b ? c ? 2, cos A ? ? , 4
(Ⅰ)求 a 和 sin C 的值; (Ⅱ)求 cos ? 2 A ? 17.(13 分) 如图,已知 AA1 ? 平面 ABC , BB1 // AA1 , AB ? AC ? 3 ,

? ?

??

? 的值。 6?

BC ? 2 5, AA1 ? 7 ,, BB1 ? 2 7, 点 E , F 分别是 BC , AC 1
点, (Ⅰ)求证: EF // 平面 A 1B 1BA ; (Ⅱ)求证:平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 。 (Ⅲ)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小。

的 中

18.已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 +b3 = 2a3 ,

a5 - 3b2 = 7 .
(Ⅰ)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn = anbn , n ? N * ,求数列 {cn } 的前 n 项和.

19. 已知椭圆

x2 y 2 5 + 2 = 1(a > b > 0) 的上顶点为 B,左焦点为 F ,离心率为 , 2 a b 5

(Ⅰ)求直线 BF 的斜率; (Ⅱ)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B) ,故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异于点 B)直线 PQ 与 x 轴交于点 M, |PM |? ? | MQ | . (ⅰ)求 l 的值;

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(ⅱ)若 |PM | sin ?BQP ?

7 5 ,求椭圆的方程. 9
*

20. 已知函数 f ( x) ? 4x ? x4 , x ? R, 其中 n ? N ,且 n ? 2 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求 证:对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;
1 a (Ⅲ) 若方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 , 求证:x2 ? x1 ? ? ? 4 3 . 3

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参考答案
一、选择题: 1. B 5. D 二、填空题: 9. ?i 10. 2. C 6. A 3. C 7. B 4. A 8. A

8 ? 3 29 18

11. 3

12. 4 三、解答题:

13.

14.

?
2

(15)本小题主要考查分层抽样,用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计 算公式等基础知识。考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力。满分 13 分。 (Ⅰ)解:应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为 3,1,2 (Ⅱ) (ⅰ)解:从 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛的所有可能结果为

{A1, A2},{A1, A3},{A1, A4},{A1, A5},{A1, A6},{A2 , A3},{A2 , A4},{A2 , A5},{A2 , A6}, {A3 , A4},{A4 , A5},{A5 , A6},{A4 , A5},{A5 , A6}, 共 15 种。
(ⅱ)解:编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到的所有可能结果为

{A1, A5},{A1 , A6},{A2 , A5},{A2 , A6},{A3 , A5},{A3 , A6},{A4 , A5},{A4 , A6},{A5 , A6} ,共 9 种
因此,事件 A 发生的概率 P ( A) ?

9 3 ? 15 5

16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及 正弦定理、余弦定理、余弦定理等基础知识。考查基本运算求解能力。满分 13 分。 (Ⅰ)解:在 ?ABC 中,由 cos A ? ? 由 S ?ABC ?

1 15 ,可得 sin A ? 4 4

1 bc sin A ? 3 15 ,得 bc ? 24 , 2

又由 b ? c ? 2 ,解得 b ? 6, c ? 4

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2 2 2 由 a ? b ? c ? 2bc cos A ,可得 a ? 8



a c 15 ? ,得 sin C ? sin A sin C 8

(Ⅱ)解: cos(2 A ?

?
6

) ? cos 2 A?cos

?
6

? sin 2 A? sin

?
6

?

3 1 15 ? 7 3 (2cos 2 A ? 1) ? ? 2sin A? cos A ? 2 2 16

17.本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识。考查空 间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分 13 分。 (Ⅰ)证明:如图,连接 A 1B 在 ?A1 BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC 和 AC 1 的中点,所以

EF // BA1
EF // 平面 A1B1BA 又因为 EF ? 平面 A 1B 1BA ,所以
(Ⅱ)证明:因为 AB ? AC , E 为 BC 中点,所以 AE ? BC 因为 AA1 ? 平面 ABC, BB1 // AA1 ,所以 BB1 ? 平面 ABC , 从而 BB1 ? AE 又因为 BC ? BB1 ? B ,所以 AE ? 平面 BCB1 , 又因为 AC ? 平面 AEA1 ,所以平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 (Ⅲ)解:取 BB1 的中点 M 和 B1C 的中点 N ,连接 A1M , A1 N , NE 因为 N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点,所以 NE // B1 B, NE ? 故 NE // A 1 A ,所以 A 1 N // AE ,且 A 1 N ? AE 1 A ,且 NE ? A 又因为 AE ? 平面 BCB1 ,所以 A1 N ? 平面 BCB1 ,从而 ?A1B1 N 为直线 A1B1 与平面 BCB1 所 成的角。 在 ?ABC 中,可得 AE ? 2 ,所以 A1 N ? AE ? 2

1 B1B , 2

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因为 BM // AA1 , BM ? AA1 ,所以 A 1M // AB, A 1M ? AB ,又由 AB ? BB 1M ? BB 1 1 ,有 A 在 Rt ?A1MB1 中,可得 A1 B1 ? 在 Rt ?A 1 B1 N ? 1 NB 1 中, sin ?A

B1M 2 ? A1M 2 ? 4

A1 N 1 ? ,因此 ?A1B1 N ? 30? A1B1 2
?

所以,直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 30

18.本小题主要考查等差数列、 等比数列及其前 n 项和公式等基础知识。 考查数列求和的基本方法和 运算求解能力。满分 13 分。 (Ⅰ)解:设数列 {an } 的公比为 q ,数列 {bn } 的公差为 d ,由题意 q ? 0 由已知,有 ?

?2q 2 ? 3d ? 2, ? 消去 d ,整理得 q4 ? 2q2 ? 8 ? 0 4 ? ?q ? 3d ? 10,

又因为 q ? 0 ,解得 q ? 2 ,所以 d ? 2 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 , n ? N * ; 数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 2n ?1, n ? N * (Ⅱ)解:由(Ⅰ)有 cn ? (2n ?1)? 2n?1 ,设 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,则

Sn ? 1? 20 ? 3? 21 ? 5 ? 22 ? ... ? (2n ? 3) ? 2n?2 ? (2n ?1) ? 2n?1 , 2Sn ? 1? 21 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ... ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ,
上述两式相减,得

?Sn ? 1 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n ? (2n ?1)2n ? 2n?1 ? 3 ? (2n ?1) ? 2n ? ?(2n ? 3) ? 2n ? 3
所以, Sn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3, n ? N * 19.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识。考查用 代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力,以及用方程思想和化归思想解决问题的能力。 满分 14 分。 (Ⅰ)解:设 F (c, 0) ,由已知离心率

c 5 2 2 2 ? 及 a ? b ? c ,可得 a ? 5c, b ? 2c a 5

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又因为 B(0, b), F (?c, 0) ,故直线 BF 的斜率 k ? (Ⅱ)设点 P( xP , yP ), Q( xQ , yQ ), M ( xM , yM )

b?0 2c ? ?2 0 ? ( ?c ) c

(ⅰ)解:由(Ⅰ)可得椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,直线 BF 的方程为 y ? 2 x ? 2c ,将直线方 5c 2 4c 2
5c 3

2 程与椭圆方程联立,消去 y ,整理得 3x ? 5cx ? 0 ,解得 xP ? ?

因为 BQ ? BP ,所以直线 BQ 的方程为 y ? ?

1 x ? 2c ,与椭圆方程联立,消去 y ,整理得 2

21x 2 ? 40cx ? 0 ,解得 xQ ?
又因为 ? ?

40c 21

| x ? xP | | xP | 7 | PM | ,及 xM ? 0 ,可得 ? ? M ? ? | MQ | | xQ ? xM | | xQ | 8
15 | PM | 7 | PM | 7 7 ? ,所以 ? ? ,即 | PQ |? | PM | , 7 | PM | ? | MQ | 7 ? 8 15 | MQ | 8

(ⅱ)解:由(ⅰ)有

又因为 | PM | sin ?BQP ?

7 5 , 9 15 5 5 | PM | sin ?BQP ? 7 3

所以 | BP |?| PQ | sin ?BQP ?

又因为 yP ? 2 xP ? 2c ? ?

4 5c 4c 5 5 c ,所以 | BP |? (0 ? )2 ? (2c ? )2 ? c, 3 3 3 3

因此

5 5 5 5 ,得 c ? 1 c? 3 3

x2 y 2 ? ?1 所以,椭圆方程为 5 4
20.本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识。考查函 数思想、化归思想,考查综合分析问题和解决问题的能力。满分 14 分。 (Ⅰ)解:由 f ( x) ? 4 x ? x ,可得 f ?( x) ? 4 ? 4 x
4 3

当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 单调递增;

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当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 单调递减 所以, f ( x ) 的单调递增区间为 (??,1) ,单调递减区间为 (1, ??) (Ⅱ)证明:设点 P 的坐标为 ( x0 ,0) ,则 x0 ? 4 3 , f ?( x0 ) ? ?12 , 曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线方程为 y ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,即 g ( x) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 令函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,即 F ( x) ? f ( x) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) , 则 F ?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) 由于 f ?( x) ? ?4x3 ? 4 在 (??, ??) 上单调递减,故 F ?( x) 在 (??, ??) 上单调递减. 又因为 F ?( x0 ) ? 0 ,所以当 x ? (??, x0 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时, F ?( x) ? 0 ,所 以 F ( x) 在 (??, x0 ) 上 单 调 递 增 , 在 ( x0 , ??) 上 单 调 递 减 , 所 以 对 于 任 意 的 实 数 x ,
1

F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,即对于任意的实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) .
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知 g ( x) ? ?12( x ? 4 3 ) .设方程 g ( x) ? a 的根为 x2? ,可得 x2? ? ?
1
1 a ? 43 . 12

因为 g ( x) 在 (??, ??) 上单调递减,又由(Ⅱ)知 g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? a ? g ( x2? ) ,因此 x2 ? x2? . 类似地,设曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程为 y ? h( x) ,可得 h( x) ? 4 x . 对于任意的

x ? (??, ??) ,有 f ( x) ? h( x) ? ? x4 ? 0 ,即 f ( x) ? h( x) .
设 方 程 h( x) ? a 的 根 为 x1? , 可 得 x1? ?

a . 因 为 h( x) ? 4 x 在 (??, ??) 上 单 调 递 增 , 且 4

h( x1? ) ? a ? f ( x1 ) ? h( x1 ) ,因此 x1? ? x1 .

a 由此可得 x2 ? x1 ? x2? ? x1? ? ? ? 4 3 . 3

1

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