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江苏省赣榆区2015届高三下学期3月考试数学试卷


江苏省赣榆区 2015 届高三 3 月份考试 数 学 试 卷
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.答案填在答题卡相应的位置上 ) ......... 1. 已知集合 M ? {x | y ? ln( 1 ? x)} ,集合 N ? { y | y ? e x , x ? R} ,则 M ? N ? .

{x | 0 ?

x ? 1}
2.复数

2?i (i 是虚数单位)的实部是 1? i



3 2
条件(选填“充分不必

3.设命题 p : x ? 4 ;命题 q : x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,那么 p 是 q 的

要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”).充分不必要 4. 从 1,2,3,4,5 这 五 个 数 中 一 次 随 机 取 两 个 数 , 其 中 一 个 数 是 另 一 个 数 的 两 倍 的 概 率 为 .

1 5

5.已知 m, n 是不重合的两条直线, ? , ? 是不重合的两个平面.下列命题: ①若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ∥ ? ; ③若 m ∥ ? , m ? n ,则 n ? ? ; 其中所有真命题的序号是 .② . ②若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? ; ④若 m ∥ ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? .

6.已知一个三棱锥的所有棱长均相等,且表面积为 4 3 ,则其体积为

2 2 3

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 7.变量 x , y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ? 0 , 设 z ? x2 ? y2 , 则 z 的取值范围是 ?x ? 1 ?

[2,29] .

8. 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 及直线 x ? y ? 5 ? 0 截圆 C 所得的弦长均为 10 ,则圆 C 的面积 是
2

. 27?

9.己知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰好是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦 a2 b2
. 2 ?1
2

点,且两条曲线的交点的连线过点 F ,则该双曲线的离心率为 10. 已 知 函 数 f ( x) ? ?

?x ?x
2

x?0 x?0

, 则 关 于 x 的 不 等 式 f ( x ) ? f (4 ? 3x) 的 解 集



(- ?, - 4) ? ( 1,2) .

11. 设 P 为 ?ABC 中线 AD 的中点, D 为边 BC 中点,且 AD ? 2 ,若 PB ? PC ? ?3 ,

AB ? AC ?

.0

12. 已 知 数 列 {an } 满 足 an ? an?1 ? an?2 , (n ? 3, n ? N * ) , 它 的 前 n 项 和 为 S n , 若

S 9 ? 8, S10 ? 5 ,求 a1 ?
0

.3

13.已知圆心角为 120 的扇形 AOB 的半径为 1 , C 为弧 AB 的中点,点 D 、 E 分别在半径

OA 、 OB 上.若 CD 2 ? CE 2 ? DE 2 ?

4 26 ,则 OD ? OE 的最大值是_________. 3 9

B E O

C

D

A

14.函数 f ( x) 的定义域为 D ,若满足① f ( x) 在 D 内是单调函数,②存在 [a, b] ? D ,使

f ( x) 在 [a, b] 上的值域为 [?b,?a] ,那么 y ? f ( x) 叫做对称函数,现有 f ( x) ? 2 ? x ? k
是对称函数,那么 k 的取值范围是 . k ? [ 2, )

9 4

二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. ) 15. (本题满分 14 分)已知 f ( x) ? cos2 x ? sin x(sin x ? 2 3 cos x), x ? R (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若 f ( x) ?

8 ? ? ,且 x ? [ , ] ,求 sin 2 x 的值. 5 4 2

【思路分析】第(1)问利用倍角和降幂公式将 y ? f ( x) 进行“化一”,再求函数的周期;第 (2)问在三角化简求值中属“给值求值”类型,应综合条件式与目标式的特点,灵活进行 角度配凑,选择公式. 【解析】 (1)因为 f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 3sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ,所以 函数 f ( x) 的最小周期 T ? ? .??(7 分) (2)因为 f ( x) ?

?

6

? 2? 7? 8 ? 4 ? ? , ] 所以 ,所以 sin(2x ? ) ? ,又因为 x ?[ , ] , 2 x ? ? [ 6 3 6 5 6 5 4 2

? 3 ? ? cos(2 x ? ) ? ? ,即 sin 2x ? sin[(2 x ? ) ? ] . 6 5 6 6 3 3 1 4 3 ?3 ? ? ? ? 4 ? (? ) ? ? .??(14 分) ? sin(2x ? )cos ? cos(2x ? )sin = ? 5 2 5 2 10 6 6 6 6 16.(本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,
AD ∥ BC , ?ADC ? 900 , BC ?
(1)求证: AD ? 平面 PBQ ; (2)已知点 M 为线段 PC 的中点,证明: PA ∥平面 BMQ . 证明:⑴△PAD 中,PA=PD,Q 为 AD 中点,∴PQ?AD, 1 底面 ABCD 中,AD//BC,BC= AD,∴DQ//BC,DQ=BC 2 ∴BCDQ 为平行四边形, 0 0 由?ADC=90 ,∴?AQB=90 ,∴AD?BQ 由 AD?PQ,AD?BQ,BQ∩PQ=Q,PQ、BQ?面 PBQ ∴AD?平面 PBQ ??(7 分) ⑵连接 CA,AC∩BQ=N,由 AQ//BC,AQ=BC,∴ABCQ 为平行四边形, ∴N 为 AC 中点, 由?PAC 中,M、N 为 PC、AC 中点, ∴MN//PA 由 MN?面 BMQ,PA?面 BMQ ∴面 BMQ‖PA ?? (14 分) 17.(本题满分 14 分) 近年来玉制小挂件备受人们的青睐,某玉制品厂去年的年产量为 10 万件,每件小挂件的 销售价格平均为 100 元,生产成本为 80 元,从今年起工厂投入 100 万元科技成本,并计 划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本, 预计产量每年递增 1 万件, 设第 n 年每件 小挂件的生产成本 g (n) ?

1 AD , PA ? PD , Q 为 AD 的中点. 2

80 n ?1 2

元,若玉制产品的销售价不变,第 n 年的年利润为

f (n) 万元(今年为第 1 年)
(1)求 f ( n) 的表达式; (2)问从今年算起第几年的利润最高?最高利润为多少万元? 解(1)据题意,第 n 年产量为 n ? 10 (万件) ,销售额为 100 (n ? 10) (万元) ,科技成本 为 100 n 万元. ? f (n) ? 100(n ? 10) ? [100n ? (n ? 10) ?

80 n ?1 2

]

? 1000?

80(n ? 10) n ?1 2

(n N *)(7 分) N??? ,n?
*

(2)令

4 n ? 1 ? t ,得 n ? 2t 2 ? 2, f (n) ? g (t ) ? 1000 ? 160 (t ? ) ? 360 t 2
4 , 即 t ? 2 ,亦即 n ? 6 时,取等号 t

当且仅当 t ?

故从今年起,第 6 年的利润最高,且最高利润为 360(万元)??(14 分) 18.(本题满分 16 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足: S n ? n ? an , (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列,并求 {an } 通项公式; (3)令 bn ? (2 ? n)(an ? 1) , (n ? 1,2,3?) ,如果对任意 n ? N * ,都有 bn ?

1 t ? t2 , 4

求实数 t 的取值范围. 【思路分析】 (1) 、 (2)两问目标明确、思路清楚,第(3)问应是采用分离参数的方法解决 恒成立问题,具体来说,就是解不等式 (bn )max ? t 2 ? t . 【解析】 (1) a1 ? , a2 ? , a3 ?

1 4

1 2

3 4

7 ,??(3 分) 8
① ②??(5 分)

(2)由题可知: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? n ? an

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ? n ? 1 ? an?1
②-①可得 2an ?1 ? an ? 1 ??(6 分)

1 ??(8 分) 2 1 1 1 所以数列 {an ? 1} 是以 ? 为首项, 以 为公比的等比数列. 即 an ? 1 ? ( )n ?? (10 分) 2 2 2 1 n?2 (3)由(2)可得 an ? 1 ? ( ) n , bn ? n 2 2 n ? 1 ? 2 n ? 2 n ? 1 ? 2(n ? 2) 3 ? n 由 bn?1 ? bn ? ? n ? ? n?1 ? 0 可得 n ? 3 2n?1 2 2n?1 2
即: an?1 ? 1 ? (an ? 1) ,又 a1 ? 1 ? ?

1 2

由 bn ?1 ? bn ? 0 可得 n ? 3 , 所以 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? ? ? bn ? ? ,故 bn 有最大值 b3 ? b4 ?

1 , 8

1 ??(13 分) 8 1 1 如果对任意 n ? N * ,都有 bn ? t ? t 2 ,即 bn ? t 2 ? t 成立, 4 4 1 1 1 1 1 则 (bn )max ? t 2 ? t ,故有: ? t 2 ? t , 解得 t ? 或 t ? ? . 4 8 4 2 4 1 1 所以实数 t 的取值范围是 (??, ? ] ? [ , ? ?) .??(16 分) 4 2
所以,对任意 n ? N * ,有 bn ? 19. (本题满分 16 分)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在坐标原点 O ,半径为 a 2 ? b 2 的圆是 a2 b2 椭圆 C 的“伴随圆”. 若椭圆 C 的一个焦点为 F2 ( 2 ,0) ,其短轴上的一个端点到 F2 距离为
给定椭 圆 C :

3.
(1)求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程;[来源:www.shulihua.net] (2)若过点 P(0, m)(m ? 0) 的直线与椭圆 C 只有一个公共点,且截椭圆 C 的“伴随 圆”所得的弦长为 2 2 ,求 m 的值; (3)过椭圆 C “伴随圆”上一动点 Q 作直线 l1 , l 2 ,使得 l1 , l 2 与椭圆 C 都只有一个公 共点,试判断直线 l1 , l 2 的斜率之积是否为定值,并说明理由. 解: (1)由题意得: a ? 3 ,半焦距 c ? 2 ,则 b ? 1 椭圆 C 方程为 方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ??(2 分)
x2 ? y 2 ? 1 ,“伴随圆” 3

? y ? kx ? m ? ( 2 ) 则 设 过 点 P 且 与 椭 圆 有 一 个 交 点 的 直 线 为 y ? kx ? m , 则 ? x 2 整理得 2 ? ? y ?1 ?3

?1 ? 3k ? x
2

2

? 6kmx ? (3m 2 ? 3) ? 0 ,则 ? ? ? 6km ? ? 4 ?1 ? 3k 2 ?? 3m 2 ? 3? ? 0 ,解 3k 2 ? 1 ? m 2 ①
2

7分

? |m| ? ? 2 2 化简 又因为直线截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2 2 ,则有 2 2 ? ? ? ? 2 ? ? k ?1?
2

2

得 m2 ? 2 k 2 ? 1

?

?



??8 分

联立①②解得, k 2 ? 1, m 2 ? 4 , ?? (10 分)

所以 k ? ?1 , m ? ?2(? m ? 0) ,则 P(0, ?2)

2 2 ? y0 ? 4 ,设经过点 Q( x0 , y0 ), 与椭圆 ( 3 ) 当 l1 , l2 都有斜率时,设点 Q( x0 , y0 ), 其中 x0

? y ? kx ? ( y0 ? kx0 ) ? 只有一个公共点的直线为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,由 ? x 2 ,消去 y 得到 2 ? ? y ?1 ?3
x 2 ? 3? kx ? ( y0 ? kx0 ) ? ? 3 ? 0 ????12 分
2

即 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k ( y0 ? kx0 ) x ? 3( y0 ? kx0 ) 2 ? 3 ? 0 ,
2 ? ? ? 6k ( y0 ? kx0 )? ? 4 ? (1 ? 3k 2 ) ? ?3( y0 ? kx0 ) ? 3? ? ?0, 2

2 2 经过化简得到: (3 ? x0 )k 2 ? 2 x0 y0 k ? 1 ? y0 ?0,

??14 分

2 2 2 2 ? y0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0 )k 2 ? 2 x0 y0 k ? ( x0 ? 3) ? 0 ,设 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 ,因为 因为 x0

2 2 )k 2 ? 2 x0 y0 k ? ( x0 ? 3) ? 0 ,因而 l1 , l2 与椭圆都只有一个公共点,所以 k1 , k2 满足方程 (3 ? x0

k1 ? k2 ? ?1 ,即直线 l1 , l2 的斜率之积是为定值 ? 1

??16 分

20. (本题满分 16 分)

5 2 x ? ax ? b ( a , b 为常数) ,其图象是曲线 C . 2 (1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调递减区间; ( 2 ) 设 函 数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ?( x) , 若 存 在 唯 一 的 实 数 x0 , 使 得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同时成立,求实数 b 的取值范围;
已知函数 f ( x) ? x ?
3

(3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B , 在点 B 处作曲线 C 的切线 l 2 ,设切线 l1 , l 2 的斜率分别为 k1 , k 2 .问:是否存在常数

? ,使得 k 2 ? ?k1 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.
?????1 分

20.(1)当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 1)( x ? 2) .

1 1 令 f ?(x)<0,解得 ?2 ? x ? ,所以 f(x)的单调减区间为 (?2 , ) . ?????2 分 3 3
2 ?3x0 ? 5x0 ? a ? 0 ? (2) f ?( x) ? 3x ? 5x ? a ,由题意知 ? 3 5 2 消去 a , x ? x ? ax ? b ? x ? 0 0 0 0 ? 2
2

5 得 2 x03 ? x02 ? x0 ? b ? 0 有唯一解.?????4 分 2 5 令 g ( x) ? 2 x3 ? x2 ? x ,则 g ?( x) ? 6x2 ? 5x ? 1 ? (2 x ? 1)(3x ? 1) , 2 1 1 1 1 所 以 g ( x) 在 区 间 (? ?, ? ), (? , ??) 上 是 增 函 数 , 在 (? , ? ) 上 是 减 函 2 3 2 3 数,?????6 分

1 1 1 7 又 g (? ) ? ? , g ( ? ) ? ? , 2 8 3 54 7 1 故实数 b 的取值范围是 (??, ? ) ? (? , ??) . ?????8 分 54 8 (3)设 A( x0 , f ( x0 )) ,则点 A 处切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) , 与曲线 C : y ? f ( x) 联立方程组,得 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,
即 ( x ? x0 ) [ x ? (2 x0 ?
2

5 )] ? 0 2

5 所以 B 点的横坐标 xB ? ?(2 x0 ? ) .?????12 分 2

5 25 由题意知, k1 ? f ?( x0 ) ? 3x02 ? 5x0 ? a , k2 ? f ?(?2x0 ? ) ? 12x02 ? 20x0 ? ?a, 2 4 25 ? a ? ? (3x02 ? 5x0 ? a) , 4 25 即存在常数 ? ,使得 (4 ? ? )(3x02 ? 5x0 ) ? (? ? 1)a ? , 4 ?4 ? ? ? 0, 25 ? 所以 ? 解得 ? ? 4 , a ? . ?????15 分 25 12 (? ? 1)a ? ? 0. ? ? 4
若存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ,则 12x02 ? 20x0 ?

25 25 时,存在常数 ? ? 4 ,使 k2 ? 4k1 ; a ? 时,不存在常数 ? ,使 k2 ? ? k1 . 12 12 ?????16 分
故a?


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