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我的收藏-2013届数学(理)第一轮第6章 第42讲 不等式的综合应用


1 1.已知a>0,b>0,a,b的等差中项是 ,且m 2 1 1 5 ? a ? ,n ? b ? ,则m ? n的最小值是  . a b

1 解析:因为a,b的等差中项是 , 2 1 所以a ? b ? 1,所以0 ? ab ? , 4 1 1 1 所以m ? n ? a ? ? b ? ? 1 ? ? 5, a b ab 1 当且仅当a ? b

? 时取等号. 2

2.在空间直角坐标系中,点P ? x,1 ? x,1? 与 点Q(2, 1, 2)之间的距离不小于 3,则实 ?

x 数x的取值范围是  ? 3或x ? 1
2 2

  .
2

解析:由? x ? 2 ? ? ?1 ? x ? 1? ? ?1 ? 2 ? ? 3,化简得 x ? 4x ? 3 ? 0,解得x ? 3或x ? 1.
2

3.一批救灾物资随26辆汽车从某市以vkm / h的速度 匀速直达400 km外的灾区,为了安全起见,两辆 v 2 汽车的间距不得小于( ) km,则这批物资全部运 20 送到灾区最少需 10  h.

解析:时间最短,则两车之间的间距最小,且要 v 2 400 ? 25 ? ? ? 20 ? 25v ? 25 ? 2 安全,则时间t ? v 400 ? 10,当且仅当v ? 80时等号成立.

lgx 4.(2012 ? 兴化期中卷)不等式 ? 0的解集是  x

?x | 0 ? x ? 1?

?x ? 0 解析:原不等式等价于 ? , ?lgx ? 0 解得0 ? x ? 1.

5.(2011 ? 福建卷)若a ? 0,b ? 0,且函数f ? x ? ? 4x3 ? ax 2 ? 2bx ? 2在x ? 1处有极值,则ab的最

9 大值等于  

  .
2

解析:f ? ? x ? ? 12x ? 2ax ? 2b, f ? ?1? ? 12 ? 2a ? 2b ? 0, a ? b ? 6 ? 2 ab,ab ? 9, 当且仅当a ? b ? 3时,等号成立.

不等式在方程及函 数中的应用
【例1】已知函数f ? x ? ? ax 2 ? 4x ? b(a ? 0,且a,b ? R ).设关于x的不等式f ? x ? ? 0的解集为( x1,x2 ),且 方程f ? x ? ? x的两实根为a,b.

?1? 若 | ? ? ? |? 1,求a,b的关系式; ? 2 ? 若? ? 1 ? ? ? 2,求证:x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 7. ?

解析: ?由f ? x ? ? x,得ax 2 ? 3x ? b ? 0. ?1 3 b 由已知得9 ? 4ab ? 0,? ? ? ? ? ,?? ? , a a 所以 | ? ? ? |? ?? ? ? ? ? 4?? ? 1,
2

9 4b 所以 2 ? ? 1. a a 所以a 2 ? 4ab ? 9,所以a、b的关系式为a 2 ? 4ab ? 9. 2 ? 证明:令g ? x ? ? ax 2 ? 3x ? b. ? 又a ? 0,a ? 1 ? b ? 2.

? g ?1? ? 0 ? g ?1? ? a ? b ? 3 ? 0 所以 ? ,即 ? . ? g ? 2? ? 0 ? g ? 2 ? ? 4a ? b ? 6 ? 0 又x1,x2是方程ax 2 ? 4x ? b ? 0的两根, 4 b 所以x1 ? x2 ? ? ,x1 x2 ? . a a 所以 ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 b 4 ? ? ?1 a a b?4 ? ? 1. a

?a ? b ? 3 ? 0 ? 由线性约束条件 ?4a ? b ? 6 ? 0, ?a ? 0 ? b?4 画图可知, 的取值范围为? ?4,6 ?, a b?4 所以 ? 3 ? ? 1 ? 6 ? 1 ? 7, a 所以? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 7.

【变式练习1】已知关于x的方程x 2 ? ax ? 2 ? 0的两根为x1,x2,试问是否存在实数m, 使得不等式m ? lm ? 1 ? x1 ? x2 对任意实
2

数a ? ? ?1,1? 及l ? ? ?1,1? 恒成立?若存在, 求m的取值范围;若不存在,说明理由.

解析:由题意有x1 ? x2 ? a,x1 x2 ? ?2, 所以 x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? a ? 8
2 2

因为a ? ? ?1,1?,所以 x1 ? x2 ? a 2 ? 8 ? [2 2,. 3] 要使不等式m 2 ? lm ? 1 ? x1 ? x2 对任意a ? ? ?1,1? 及l ? ? ?1,1? 恒成立, 当且仅当m 2 ? lm ? 1 ? 3对任意l ? ? ?1,1? 恒成立, 即m ? lm ? 2 ? 0对任意l ? ? ?1,1? 恒成立.
2

设g ? l ? ? ml ? ? m ? 2 ?.
2

? g ??1? ? m2 ? m? ? 0 由? ,解得m ? ?2或m ? 2. 2 ? g ?1? ? m ? m? ? 0 故存在实数m,使得不等式m2 ? lm ? 1 ? x1 ? x2 对任意实数a ? ? ?1,1? 及l ? ? ?1,1? 恒成立,且m的取值 范围是(??, 2] ? [2, ?). ? ?

含参数不等式参数的 取值范围
【例2】 已知m∈R,函数f(x)=x2-mx. (1)当x∈[1,2]时,如果函数f(x)的最大值为 f(1),求实数m的取值范围; (2)若对任意正实数x,不等式f(x)>-1恒成立, 求实数m的取值范围.

m 解析: ? 函数f ? x ? ? x ? mx的对称轴为x ? ,图象开口 ?1 2 向上,
2

函数在x ? 1或x ? 2处取得最大值, 则f ?1? ? f ? 2 ?,? m ? 4 ? 2m,得m ? 3. 1 2 ? f ? x ? ? ?1等价于x 2 ? mx ? ?1,其中x ? 0, ? x2 ? 1 1 1 则有m ? ? x ? 恒成立,所以m ? ( x ? ) min . x x x 1 1 又x ? 0时,x ? ? 2,即( x ? ) min ? 2, x x 所以m ? 2.

?x ? y ? 0 ? 【变式练习2】任意满足 ? x ? y ? 5 ? 0的实数x,y, ?y ? 3 ? 0 ? 总有a ? x ? y
2 2

? ? ? x ? y?

2

成立,求实数a的最大值.

解析: ,y )对应的点在图中V ABC区域, (x a?x ? y
2 2

? ? ? x ? y?

2

对该区域上的每个点都成立,

? x ? y ?2 即a ? [ ] , 2 min x2 ? y

? x ? y ?2 2 xy 2 而 2 ?1? 2 ?1? , 2 2 x y x ?y x ?y ? y x y 令 ? t,其几何意义是区域上的点( x,y )与 x 3 坐标原点的连线的斜率,所以1 ? t ? , 2 2 2 则1 ? ?1? , x y 1 ? t? y x t 3 25 25 t ? 时,取到最小值 ,所以a ? , 2 13 13 25 即实数a的最大值为 . 13

不等式在实际问题 中的应用
【例3】为了保护环境,发展低碳经济,某单 位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关, 采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利 用的化工产品.已知该单位每月的处理量最 少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元) 与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表

1 2 示为:y ? x ? 200 x ? 80000,且每处理一吨二氧化 2 碳得到可利用的化工产品价值为100元.

?1? 该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨
的平均处理成本最低?

? 2 ? 该单位每月能否获利?如果获利,求出最大
利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才 能使该单位不亏损?

解析: ?由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理 ?1 成本为: y 1 80000 1 80000 ? x? ? 200 ? 2 x? ? 200 x 2 x 2 x ? 200, 1 80000 当且仅当 x ? ,即x ? 400时, 2 x 才能使每吨的平均处理成本最低,最低成 本为200元.

? 2 ? 设该单位每月获利为S,
则S ? 100 x ? y 1 2 ? 100 x ? ( x ? 200 x ? 80000) 2 1 2 ? ? x ? 300 x ? 80000 2 1 2 ? ? ? x ? 300 ? ? 35000. 2

因为400 ? x ? 600, 所以当x ? 400时,S 有最大值 ? 40000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000元,才能不亏损.

【变式练习3】 某企业拟在2011年举行促销活动,经调 查测算,该产品的年销售量(即该厂的年 产量) x万件与年促销费用m万元(m ? 0) k 满足x ? 3 ? (k为常数),如果不搞促 m ?1 销活动,则该产品的年销售量只能是1万 件.已知2011年生产该产品的固定投入

为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16 万元,企业将每件产品的销售价格定为每件 产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定 投入和再投入两部分资金).

?1? 将2011年该产品的利润y万元表示为
年促销费用m万元的函数;

? 2 ? 该企业2011年的促销费用投入多少万
元时利润最大?

解析:1?由题意可知当m ? 0时,x ? 1(万件), ? 2 所以1 ? 3 ? k ? k ? 2.所以x ? 3 ? . m ?1 8 ? 16 x 每件产品的销售价格为1.5 ? (元), x 所以2011年的利润

8 ? 16 x y ? x ? (1.5 ? ) ? ? 8 ? 16x ? m ? x 2 ? 4 ? 8x ? m ? 4 ? 8(3 ? )?m m ?1 ? ?[? ? m ? 1?] ? 29(m ? 0). 16 ? 2 ?因为m ? 0时, ? ? m ? 1? ? 2 16 ? 8, m ?1 所以y ? ?8 ? 29 ? 21,

ymax

16 当且仅当 ? m ? 1 ? m ? 3(万元)时, m ?1 ? 21(万元). 答:该企业2011年的促销费用投入3万

元时利润最大,最大利润是21万元.

1.关于x的方程x2 ? ? a ? 1? x ? 2a ? 0的两根均在? ?1,1? 内,则实数a的取值范围为

  a ? 3 ? 2 2. 0?  

解析:令y ? x 2 ? ? a ? 1? x ? 2a. 由题意可知,函数的两个零点均在 ? ?1,1?内, 作出函数图象如图所示,
2 ? ? ? (a ? 1) ? 8a ? a?2 ? ?1 ? ? ?1 ? 充要条件为: 2 ? ?(?1)2 ? (a ? 1)(?1) ? 2a ? 0 ? 2 ? 1 ? (a ? 1) ? 1 ? 2a ? 0 ?

解得0 ? a ? 3 ? 2. 2

2.若一元二次不等式ax ? bx ? c ? 0的解集为
2

( x1,x2 )( x1 ? x2 ? 0),则不等式cx ? bx ? a ? 0
2

1 1 ? 的解集为 ( ? , ) x2 x1

解析:由题意可知, a a a ? 0,x1 ? x2 ? ? ,x1 ? x2 ? ? 0, b c 所以c ? 0,所求不等式解集在两根之间. c 2 b 又原不等式等价与 x ? x ? 1 ? 0, a a 2 即x1 x2 x ? ? x1 ? x2 ? x ? 1 ? 0, 1 1 解得解集为(? , ). ? x2 x1

? . 集是  ? ?1,1? ? (2, ?) 

3.(2011? 扬州三模卷)不等式 ? x ? 1? ? x ? 2 ? ? 0的解

?x ? 0 解析:原不等式等价于 ? ?? x ? 1?? x ? 2? ? 0 ?x ? 0 或? , ??? x ? 1?? x ? 2? ? 0 ?x ? 0 即? ? x ? 1或x ? 2

?x ? 0 或? , ??1 ? x ? 2 解得0 ? x<1或x>2或 ? 1<x<0, 即 ? 1<x<1或x>2, 所以原不等式的解集是 ? ?1,1? ? (2, ?). ?

? 1 ? 4.若不等式ax ? 5x ? 2 ? 0的解集是,x | ? x ? 2 ? ? ? 2 ? ?1? 求实数a的值;
2

2 ? 求不等式ax 2 ? 5x ? a 2 ? 1 ? 0的解集. ?

解析: 由题意知a ? 0, (1) 1 且方程ax ? 5x ? 2 ? 0的两个根分别为 ,, 2 2 代入解得a ? ?2.
2

2 ? ? 2x 2 ? 5x ? 3 ? 0, ? 1 即为2x ? 5x ? 3 ? 0,解得 ? 3 ? x ? , 2
2

1 即不等式ax ? 5x ? a ? 1 ? 0的解集为(?3, ). 2
2 2

5.某建筑的金属支架如图所示, 根据要求AB至少长2.8 m,C为 AB的中点,B到D的距离比CD 的长度小0.5 m,∠BCD=60°. 已知建筑支架的材料每米的价 格一定,问怎样设计AB,CD 的长度,可使建造这个支架的成本最低?

【解析】设BC=am(a ? 1.4),CD=bm. 连结BD,则在?CDB中, 1 2 (b- ) =b 2+a 2-2abcos60?, 2 1 2 a ? 4. 所以b= a ?1 1 2 a ? 4 +2a. 所以b+2a= a ?1

设t=a-1,则t ? 1.4-1=0.4, 1 2 ?t ? 1? ? 4 +2(t+1) 所以b+2a= t 3 =3t+ +4 ? 7, 4t 上式等号成立时,t=0.5 ? 0.4,则a=1.5,b=4. 答:当AB=3 m,CD=4 m时,建造这 个支架的成本最低.

1.不等式知识已经渗透到函数、三角、数 列、解析几何等内容中,体现了不等式广泛应用 的工具意识.

2.运用不等式知识解题的关键是建立不等
关系,再应用重要不等式、不等式基本性质及解 不等式知识解题. 3.在实际问题中,经常会出现寻找最优化 结果的问题,通解通法是将问题转化为不等式模

型,再应用不等式知识求解最值.


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