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福建省福州市2014届高三数学上学期期末质量检测试题 理 新人教A版


福州市 2013-2014 学年第一学期高三期末质量检测 理科数学试卷
(满分:150 分;完卷时间:120 分钟) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线 内 填写学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考 试时间 120 分钟。 第 I

卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中有 且只 有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1.已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B=[3,十 ? ) ,则图中阴影部分所表示的集 合 为 A. {0,1,2} C. {1,2} B. {0,1}, D.{1} (i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线 x+y=0

2、设 a 是实数,若复数 上,则 a 的值为 A、-1 3.设 A. a<c<b C. a<b<c B. b<a<c D. b<c<a B.0

C.1

D.2

则 a,b,c 的大小关系为

4.阅读右边程序框图,为使输出的数据为 30,则判断框中应填 人的条件为 A.i≤4 B. i≤5` C. i≤6 D. i≤7

1

5.将参加夏令营的 500 名学生编号为:001,002,?,500,采用系统抽样的方法抽取一 个容 量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003,这 500 名学生分住在三个营区,从 001 到 200 在第 一营区,从 201 到 355 在第二营区,从 356 到 500 在第三营区,三个营区被抽中的人数为 A.20,15,15 6. A.20x
3

B.20,16,14

C.12,14,16

D.21,15,14

的展开式中,二次式系数最大的项是 B.15x
2

C.15 x

4

D. x

6

7.已知函数 直, 若数列

的图像在点 A(l,f(1))处的切线 l 与直线 x 十 3y+2=0 垂

的前 n 项和为 Sp,则 S2013 的值为

8.若实数

,则函数 f(x)=2sinx 十 acosx 的图象的一条对称轴方程为

9.如图,△ABC 中,∠C =90°,且 AC=BC=4,点 M 满足 则 A.2 C.4 = B.3 D.6



10.已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线

的离心率为

11.如图,偶函数 f(x)的图像形如字母 M,奇函数 g(x)的图像形如字母 N,若方程 的实根 个数分别为 a,b,c,d,则 a+b+c+d= A.27 B.30

2

C.33

D.36 ,

12.已知函数 f(x 十 1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 不等式 A.(1,+ ? ) B.(一 ? ,0) 恒成立,则不等式 f(1-x)<0 的解集为 C.(0,+ ? ) D(一 ? ,1)

第 II 卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置 上)

13.在平面直角坐标系中,不等式组

所表示的平面区域的面积是 9,则实数

a 的值 为____. 14.在平面直角坐标系 xoy 中,过坐标原点的一条直线与函数 两点,则线段 PQ 长的最小值是____ 15、如右图,三角形数阵满足: (1)第 n 行首尾两数均为 n; (2)表中的递推关系类似杨辉三角 4 则第 n 行(n≥2 )第 2 个数是____. 16.给出下列命题: ①“x=一 1”是“x 一 5x 一 6=0”的必要不充分条件; ②在△ABC 中,已知 ;
2

的图像交于 P、Q

③在边长为 1 的正方形 ABCD 内随机取一点 M,MA<1 的概率为于 ④若命题 p 是::对任意的 ,都有 sinx≤1,则 为:存在 ,使得 sinx > 1.

其中所有真命题的序号是____ 三、解答题(本大题共 6 小题, 共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. )

3

17.(本小题满分 12 分) 已知 (I)求方程 g(x)=0 的解集; (B)求函数 f(x)的最小正周期及其单调增区 ,函数

18.(本小题满分 12 分) 在数列 中,

(I)证明

是等比数列,并求

的通项公式;

(n)求

的前 n 项和 Sn

19.(本小题满分 12 分) 为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念,某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用 公 共自行车出行,公共自行车按每车每次的租用时间进行收费,具体收费标准如下: ①租用时间不超过 1 小时,免费; ②租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时,收费 1 元; ③租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时,收费 2 元; ④租用时间超过 3 小时的时段,按每小时 2 元收费(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 已知甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都不会超过 3 小时, 设
4

甲、乙租用时间不超过 1 小时的概率分别是 0. 4 和 0. 5 ;租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0.5 和 0.3. (I)求甲、乙两人所付租车费相同的概率; (11)设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量 ,求 的分布列和数学期望 E

20.(本小题满分 12 分) 某工厂的固定成本为 3 万元, 该工厂每生产 100 台某产品的生产成本为 1 万元, 设生产 该 产品 x(百台) ,其总成本为 g(x)万元(总成本=固定成本+生产成本) ,并且销售收人 r(x) 满足 假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求: (I)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (B)工厂生产多少台产品时盈利最大?

21.(本小题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F (一 3,0), 一条渐近线的方程是 1 (I)求双曲线 C 的方程; (11)若以 k(k≠0)为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M, N,且线段 MA 的

5

垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

,求 k 的取值范围。

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 (I)当 a=2 时,求函数 y=f(x)的图象在 x=0 处的切线方程; (II)判断函数 f(x)的单调性; (III) 求证:

福州市 2013—2014 学年第一学期高三期末质量检测 数学(理科)试卷 参考答案与评分标准

第Ⅰ卷 (选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中 有且只有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. C 12. B 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置 上. ) 13.1 14. 4 2 15. n 2 ? n ? 2 16..②③④ 2. B 3. B 4.A 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10.C 11. B

2
三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明、 证明过程或演算过程. ) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)

g ( x) ? b ? 1 ? sin 2 2 x

?? 2

·········· 2 分
6

由 g ( x) ? 0 得 sin 2 x ? 0 ? 2 x ? k? ?k ? Z ? 即

x?

k? ?k ? Z ? 2

······ 5 分

故方程 g ( x) =0 的解集为

?x

x?

k? ?k ? Z ? 2

?

············· 6 分

(Ⅱ)

f ( x) ? a ? b ? 1 ? (2 cos2 x, 3 ) ? (1, sin 2 x) ? 1 ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 1
? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?? ??

· 7分

?
6

)

············ 9 分

∴函数 f ( x) 的最小周期

T?

2? ?? 2

················· 10 分



?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? ?k ? Z ?



?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ?k ? Z ?

故函数 f ( x) 的单调增区间为 ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ??k ? Z ? ? 6 ? 3 ?

. ( 开区间也可以)

································ 12 分

18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)

1 n ?1 ? a1 ? , an ?1 ? an ? an ? 0 3 3n
················· 2 分

?

an ?1 1 an a 1 = ? ,又 ? 1 = n ?1 3 n 1 3

1 1 ?a ? ? ? n ? 为首项为 ,公比为 的等比数列 3 3 ?n?

··········· 4 分

a 1 ?1? ? n = ?? ? n 3 ? 3?
(Ⅱ)

n ?1

n , ? an = n 3

··················· 6 分

Sn ?

1 2 3 n ??① ? 2 ? 3 ?? ? n 1 3 3 3 3

················ 7 分

1 1 2 n ? 1 n ??② ? S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 3 3 3 3 3
①-② 得: 2

············ 8 分

3

Sn ?

1 1 1 1 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 1 3 3 3 3 3

········ 9 分

7

1? 1? ?1 ? n ? n 3 3 ? ? ? ? n?1 1 3 1? 3
3? 1? n ? Sn ? ?1 ? n ? ? 4 ? 3 ? 2 ? 3n
? Sn ? 3n ?1 ? 3 ? 2n 4 ? 3n

············ 10 分

···················· 12 分

19. (本小题满分 12 分) .解:(Ⅰ)根据题意, 分别记“甲所付租车费 0 元、1 元、2 元”为事件 A , A , A ,它们彼此互斥, 1 2 3 且 P( A ) ? 0.4, P( A ) ? 0.5,? P( A ) ? 1 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.1 1 2 3 分别记“乙所付租车费 0 元、1 元、2 元”为事件 B , B , B ,它们彼此互斥, 1 2 3 且 P( B ) ? 0.5, P( B ) ? 0.3,? P( B ) ? 1 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.2 1 2 3 ······ 2 分

由题知, A , A , A 与 B , B , B 相互独立, ············· 3分 1 2 3 1 2 3 记甲、乙两人所扣积分相同为事件 M ,则 M ? A B ? A B ? A B 1 1 2 2 3 3 所以 P(M ) ? P( A ) P( B ) ? P( A ) P( B ) ? P( A ) P( B ) 1 1 2 2 3 3

? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.1? 0.2 ? 0.2 ? 0.15 ? 0.02 ? 0.37 · 6分
(Ⅱ) 据题意 ? 的可能取值为: 0,1, 2,3, 4 ············· 7 分

P(? ? 0) ? P( A1 ) P( B1 ) ? 0.2 P(? ? 1) ? P( A1 ) P( B2 ) ? P( A2 ) P( B1 ) ? 0.4 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.37

P(? ? 2) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 ) P( B2 ) ? P( A3 ) P( B1 ) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.1? 0.5 ? 0.28 P(? ? 3) ? P( A2 ) P( B3 ) ? P( A3 ) P( B2 ) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.1? 0.3 ? 0.13 P(? ? 4) ? P( A3 ) P( B3 ) ? 0.1? 0.2 ? 0.02 ·············· 10 分
8

所以 ? 的分布列为:

?
P

0 0.2

1 0.37

2 0.28

3 0.13

4 0.02

? 的数学期望 E? ? 0 ? 0.2 ? 1? 0.37 ? 2 ? 0.28 ? 3 ? 0.13 ? 4 ? 0.02 ? 1.4 · 11 分
答:甲、乙两人所扣积分相同的概率为 0.37, ? 的数学期望 E? ? 1.4 ····· 12 分

20. (本小题满分 12 分) 解:依题意得 g(x) ? x ? 3 ,设利润函数为 f(x) ,则 f(x) ? r (x) ? g(x) , 所以

??0.5 x 2 ? 6 x ? 13.5 f(x) ? ? ? 10.5 ? x

(0 ? x ? 7) (x ? 7)

·········· 2 分

,

(I)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0,因为

f(x)>0?

, 0?x?7 ? ? x?7 或 ? ? 2 ??0.5x ? 6 x ? 13.5 ? 0 ?10.5 ? x ? 0

········· 4 分

?

? 0?x?7 ? ? x?7 ?0 ? x ? 7 或? 或 ? 2 ? ? x ? 12 x ? 27 ? 0 ?10.5 ? x ? 0 ? 3 ? x ? 9

7 ? x ? 10.5

? 3 ? x ? 7 或 7 ? x ? 10.5 , 即 3 ? x ? 10.5 .

··············· 6 分

······················ 7 分

所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 300 台小于 1050 台的范围内. · 8 分 (II)当 3 ? x ? 7 时, f(x) ? ?0.5( x ? 6)2 ? 4.5 故当 x=6 时,f(x)有最大值 4.5. 而当 x>7 时, f(x) ? 10.5 ? 7 ? 3.5 . 所以当工厂生产 600 台产品时,盈利最大. ············· 12 分 ················· 10 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (I)设双曲线 C 的方程为 x 2

a2

?

, ······· 1 分 y2 ? 1( a ? 0 , b ? 0) b2

9

由题设得

?a 2 ? b 2 ? 9, ? ?b 5 . ? ? 2 ?a

···················· 2 分

解得

?a 2 ? 4, ? , ? 2 ? ?b ? 5.

························ 3 分

所以双曲线 C 的方程为 x 2

;··············· 4 分 y2 ? ?1 4 5

(II)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,点 M ( x ,y ) , N ( x ,y ) 的坐标满 1 1 2 2 足方程组

? y ? kx ? m, ? 2 , ?x y2 ? ? 1. ? 5 ?4

将①式代入②式,得 x 2 ①



, (kx ? m) 2 ? ?1 4 5

整理得 (5 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 20 ? 0 , ············ 6 分 此方程有两个不等实根,于是 5 ? 4k 2 ? 0 , 且 ? ? (?8km) 2 ? 4(5 ? 4k 2 )(4m 2 ? 20) ? 0 , 整理得 m 2 ? 5 ? 4k 2 ? 0 .③ ·················· 7 分

由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 ( x ,y ) 满足: 0 0

x0 ?

x1 ? x2 4km , 5m , ······· 8 分 ? y ? kx ? m ? 0 0 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2

从而线段 MN 的垂直平分线的方程为

5m 1? 4km ? y? ?? ?x? ?, 2 5 ? 4k k? 5 ? 4k 2 ?
, 9m ? , ? 9km ? ? , 0 0 , ? ? ? 2 2 ? ? 5 ? 4k ? ? 5 ? 4k ?

9分

此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为

由题设可得

1 9km 9m 81 ,整理得 2 (5 ? 4k 2 ) 2 , k ? 0 , ? ? m ? 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2 2 k

································ 10 分 将上式代入③式得

(5 ? 4k 2 ) 2 ? 5 ? 4k 2 ? 0 k

, ··········· 11 分

10

整理得

(4k 2 ? 5)(4k 2 ? k ? 5) ? 0

, k ? 0 ,解得

0? k ?

5, 5或 k ? 4 2
. · 12 分

所以 k 的取值范围是

5? ? 5 ? ? 5? ?5 ? ? ? ??? ? , 0 ? 0 , ?? , ? ∞? ? ? ? ? ?∞, ? ? ? ? 4? ? 2 ? ? 2 ? ?4 ? ?
2x , x ?1

22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, ∴

f ( x) ? ln( x ? 1) ?

f ?( x) ?

1 2 x?3 , ? ? x ? 1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

················· 1 分

∴ f ?(0) ? 3 ,所以所求的切线的斜率为 3. ·············· 2 分 又∵

f ? 0? ? 0

,所以切点为

? 0, 0? .

················ 3 分

故所求的切线方程为: y ? 3x . (Ⅱ)∵

·················· 4 分

f ( x) ? ln( x ? 1) ?

ax ( x ? ?1) , x ?1
·············· 6分



f ?( x) ?

1 a( x ? 1) ? ax x ? 1 ? a . ? ? x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

①当 a ? 0 时,∵ x ? ?1 ,∴ f ?( x) ? 0 ; ②当 a ? 0 时,

··············· 7分

由 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? ?1 ? a ;由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 ? a ; ? ? ? ? ? x ? ?1 ? x ? ?1 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 ( ?1, ?? ) 单调递增;

····· 8分

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ?1 ? a) 单调递减,在 (?1 ? a, ??) 上单调递增. · 9分 (Ⅲ)方法一:由(Ⅱ)可知,当 a ? ?1 时,

f ? x ? ? ln ? x ? 1? ?


x 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. x ?1 ln ? x ? 1? ?

············ 10 分

当 x ? 0 时, f x ? f 0 ? 0 ,即 ? ? ? ?

x . x ?1

········ 11 分



x?

,则 . 1 ( n ? N* ) 1 1 ? 1? n ln ?1 ? ? ? n ? ? n ? 1 ?1 n ?1 n

··········· 12 分

11

另一方面,∵

1 1 , 1 1 ,即 1 ? ? 2 ? 2 n n ?1 n n ? n ? 1? n
······················· 13 分



1 1 1 . ? ? 2 n ?1 n n



( n ? N* ) . ? 1? 1 1 ln ?1 ? ? ? ? 2 ? n? n n

················· 14 分

方法二:构造函数 ∴

F ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x2 , (0 ? x ? 1)

········ 10 分

F '( x) ?

1 x(2 x ? 1) , ?1 ? 2x ? 1? x x ?1

··············· 11 分

∴当 0 ? x ? 1 时, F '( x) ? 0 ; ∴函数 F ( x) 在 (0,1] 单调递增. ·················· 12 分

∴函数 F ( x) ? F (0) ,即 F ( x) ? 0 ∴ ?x ? (0,1] , 令

ln(1 ? x) ? x ? x2 ? 0 ,即 ln(1 ? x) ? x ? x2

······· 13 分

x?

,则有 . 1 ( n ? N* ) ? 1? 1 1 ln ?1 ? ? ? ? 2 n ? n? n n

············ 14 分

12


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