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2014届高考数学一轮复习 第65讲《二项式定理》热点针对训练 理


第65讲 二项式定理
1.(2013·北海市第二次质检)设(x +2)(2x +3) = a0+ a1(x+2)+ a2(x +2) +…+ a11(x+2)11,则 a0+a1+a 2+…+a11 的值为( B ) A.0 B.1 C.6 D.15 解析:令 x=-1,则 1=a0+a1+a2+…+a11,故选 B. 5 3 2.(2012·广东省惠州市第二次调研)若

(ax-1) 的展开式中 x 的系数是 80, 则实数 a 的值为( D ) A. -2 B.2 2 3 C. 4 D.2 5 3 2 3 2 3 3 3 解析:(ax-1) 的展开式中含 x 的项为 C5(ax) (-1) =10a x ,由题意得 10a =80,所 以 a=2,故选 D. 1 n 3.(2012·河北名校俱乐部高三模拟)已知( x+ ) 的展开式中,各项系数之和大 3
10 2

x

于 8 且小于 32,则展开式中系数最大的项是( A ) 3 A.6 x 6 C.4x x B. 4

x
4

D.

x

6 或 4x x
n

解析:由条件可得 8<2 <32,所以 n=4,又二项式中两项系数均为 1,所以展开式中系 数最大的项就是二项式系数 最大项,即为 C4( x) ( 2
2 2

1 3

3 2 ) =6 x,故选 A.

x
3

4.(2013·威海市模拟)设(x-

x

) 的展开式中 x 的系数为 A, 二项式系数为 B, A∶ 则

6

B=( A )
A.4 B.-4 5 5 C.2 D.-2 解析:Tk+1=C6x
k 6-k

(-

2

3k k k k ) =C6x6 - (-2) , 2 x

3k 2 3 2 3 令 6- =3,即 k=2,所以 T3=C6x (-2) =60x , 2 3 2 所以 x 的系数为 A=60,二项式系数为 B=C6=15,所以 A∶B=60∶15=4,故选 A. 1 6 5.(2012·湖南卷)(2 x - ) 的二项展开式中的常数项为 -160 .(用数字作

x

答) 解析:通项 Tr+1=C6(2 x)
r
6-r

(-

1

x

) =C62

r

r 6-r

(-1) x

r 3-r



由题意知 3-r=0,r=3, 3 3 3 所以二项展开式中的常数项为 T4=C62 (-1) =-160. 4 3 6.(2012·山东省莱芜市上期末)在(2x -1) (1+2x)的展开式中, x 项的系数为 16 . 2 2 2 3 3 解析:C4×2 ×2×(-1) +C4×2 ×(-1)×1=48-32=16. 5 7.(2012·山东省高考冲刺预测)若(1+ 2) =a+b 2(a,b 为有理数),则 a+b= 70 . 5 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 解析:因为(1+ 2) =C5( 2) +C5( 2) +C5( 2) +C5( 2) +C5( 2) +C5( 2) =41
1

+29 2,由已知得 a=41,b=29,所以 a+b=70. m n 8.设 m,n∈N,f(x)=(1+2x) +(1+x) . 2 2011 (1)当 m=n=2011 时,记 f(x)=a0+ a1x+a2x +…+a2011x ,求 a0-a1+a2-…-a2011; 2 (2)若 f(x)展开式中 x 的系数是 20,则当 m、n 变化时,试求 x 系数的最小值. 2011 2011 解析:(1)令 x=-1,得 a0-a1+a2-…-a2011=(1-2) +(1-1) =-1. 1 1 (2)因为 2Cm+Cn=2m+n=20, 2 所以 n=20-2m,则 x 的系数为 m? m-1? n? n-1? 1 2 2 2 2 2 2 Cm+Cn=4× + =2m -2m+ (20-2m)(19-2m)=4m -41m+190, 2 2 2 2 所以当 m=5,n=10 时,f(x)展开式中 x 的系数最小,最小值为 85. 1 n 3 9.已知在( x- ) 的展开式中,第 6 项为常数项. 3 2 x (1)求 n; 2 (2)求含 x 项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 解析:(1)通项公式 n-r 1 r r r 1 r n-2r Tr+1=Crx (- ) x- =Cn(- ) x , n 3 2 3 2 3 n-2r 因为第 6 项为常数项,则 r=5 时,有 =0, 3 所以 n=10. n-2r 1 (2)令 =2,得 r= (n-6)=2, 3 2 1 2 45 2 所以所求的系数为 C10(- ) = . 2 4

?10-2r∈Z ? 3 (3)根据通项公式,由题意得? 0≤r≤10 ?r∈Z ?


.

10-2r 3 =k(k∈Z),则 10-2r=3k,即 r=5- k , 3 2 因 为 r∈Z,所以 k 应为偶数, 所以 k 可取 2,0,-2,即 r 可取 2,5,8, 1 2 2 5 1 5 8 1 8 2 所以第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别为 C10(- ) x ,C10(- ) ,C10(- ) x 2 2 2
-2

.

2


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