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三角形中的几何计算


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三角形中的几何计算
晏欢

复习回顾
正弦定理:  
a ? b sin B ? c sin C

sin A

余弦定理: 2 2 2 a =b +c -2bccosA

b2= a2+c2-2accosB
c2 =a2+ b2-2abcosC

复习回顾
正弦定理: sin
a A ? b sin B ? c sin C ? 2R

(其中:R为△ABC的外接圆半径) 三角形面积公式:
S ? ABC ? 1 2 bc sin A ? 1 2 ca sin B ? 1 2 ab sin C

例题讲解
1.几何中的长度问题

例1 如图所示,在梯形ABCD中, AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA= 30°,∠ADB=45°.求BD的长. 45° A
D 9
30°

5 B C

例题讲解
解 在ΔABC中, AB=5,AC=9,∠BCA=30°.由 正弦定理,得 AB AC
sin ? BCA ? sin ? ABC

sin ? ABC ?

AC sin ? BCA AB

?

9 sin 30 5

?

?

9 10

A 5

45°

D 9
30°

B

C

例题讲解
A 5 9
30° 45°

D

B

C

因为AD∥BC,所以∠BAD=180 °-∠ABC
于是 sin ? BAD ? sin ? ABC ?
? 9 10

9 10

sin 同理,在ΔABD中, AB=5, ? BAD 45° 9 2

∠ADB=

解得

B D=

2

例题讲解
例2 一次机器人足球比赛中,甲队1号机器 人由点A开始作匀速直线运动,到达点B时, 发现足球在点D处正以2倍于自己的速度像点 A作匀速直线滚动.如图所示,已知
AB ? 4 2 dm , AD ? 17 dm , ? BAC ? 45
?

若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机 器人最快可在何处截住足球? B
45°

A

D

例题讲解
分析 机器人最快截住足球的地方正式机器人 与足球同时到达的地方,设为C点.利用速度建 立AC与BC之间的 关系,再利用余弦定理便可 建立方程解决问题.
B
45°

A

C

D

例题讲解
解 设该机器人最快可在点C处截住足球,点C在线段 AD上,设BC=x dm,由题意,CD=2x dm B AC=AD-CD=(17-2x) dm 在ΔABC中,由余弦定理得
BC
2

45°

A
2

? AB

2

? AC
2

2

? 2 AB ? AC cos A

C

D
?



x ? ( 4 2 ) ? ( 17 ? 2 x ) ? 2 ? 4 2 ? ( 17 ? 2 x ) cos 45
2

解得

x 1= 5 ( dm ),

x 2=

37 3

( dm )

所以

A C =1 7- 2 x ? 7 ( d m ), 或 A C= - 23 3 (dm )

(不 合 题 意 , 舍 去 )

例题讲解
2.几何中的面积与最值问题 a 、b 是方程x2 ? 2 3 x ? 2 ? 0 例3 锐角三角形中,边
的两根,角 A 、 B 满足 2 sin A ? B )? ( 3 ? 0,求角 C

的度数,边 c 的长度及 ? ABC 的面积.
? 解 : 2 sin( A ? B )? 3 ? 0, sin A ? B )? ? ( 3 2

? ? ABC 为锐角 三角形

? A ? B ? 120

o

? C ? 60

o

例题讲解
? 边 a 、 b 是方程 x ? 2 3 x ? 2 ? 0的两根
2

? a ? b ? 2 3, ab ? 2

? c ? a ? b ? 2 ab cos C
2 2 2 2 ?( a ? b ) ? 3 ab ? 12 ? 6 ? 6 ? c ?

6

? S ? ABC ?

1 2

ab sin C ?

1 2

? 2?

3 2

?

3 2

例二 如图,在平面四边形ABCD中,AB=AD =1,∠BAD=θ,而△BCD是正三角形. (1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数; (2)求S的最大值及此时θ角的值.

解析:(1)△ABD 的面积 1 1 S1= ×1×1×sinθ= sinθ, 2 2 3 2 ∵△BDC 是正三角形,则△BDC 的面积 S2= 4 BD . 而在△ABD 中由余弦定理可知: BD2=12+12-2×1×1×cosθ=2-2cosθ, 于是四边形 ABCD 的面积 1 3 S=2sinθ+ 4 (2-2cosθ), 3 π 即 S= +sin(θ- ),其中 0<θ<π. 2 3

3 π (2)由 S= 2 +sin(θ-3)及 0<θ<π, π π 2π 则-3<θ-3< 3 . π π 3 当 θ-3=2时,S 取得最大值 1+ 2 , π π 5π 此时 θ=3+2= 6 .

变式练习:

解析:(1)由题意及正弦定理,得 AB+BC+AC= 2+1, BC+AC= 2AB,两式相减,得 AB=1. 1 1 (2)由△ABC 的面积2BC· ACsinC=6sinC 得 1 BC· AC=3. AC2+BC2-AB2 由余弦定理,得 cosC= 2AC· BC ?AC+BC?2-2AC· BC-AB2 1 = =2, 2AC· BC 所以 C=60° .

●小结: 1.正弦定理与余弦定理的公式 2.三角形的几个面积公式 3.正弦定理与余弦定理在几种题型中的应用
●作业


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