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我的收藏-2013届数学(理)第一轮第8章 第48讲 两条直线的位置关系


1.如果直线ax ? 2y ? 2 ? 0与直线3x ? y ? 2 ? 0垂直, 则实数a的值是

2 3

a 解析:易知直线ax ? 2y ? 2 ? 0的斜率是 ? ,直线 2 3x ? y ? 2 ? 0斜率是3. a 2 依题意,有(? ) ? 3 ? ?1,所以a ? . 2 3

2.(2010 ?

南京模拟)过点 ?1, 0 ? 且与直线2x ? y ? 4 ? 0 平行的直线方程是    x ? 2y ? 3 ? 0 .

2x ? y ? 2 ? 0 

. 

3.直线x ? 2y ? 1 ? 0关于直线x ? 1对称的直线方程是

解析:设所求直线上任意一点( x,y ),则它关于x ? 1对称点为(2 ? x,y )在直线x ? 2y ? 1 ? 0上,所以2 ? x ? 2y ? 1 ? 0化简得x ? 2y ? 3 ? 0.

4.已知定点A ? 0,1?,点B在直线x ? y ? 0上运动,

1 1   当线段AB最短时,点B的坐标是  (? , ) . 2 2
解析:当直线AB与直线x ? y ? 0垂直时,线 段AB最短, 所以直线AB的斜率是1. 由点斜式得直线AB的方程为y ? x ? 1. ?x ? y ? 0 1 1 解? ,得B(? , ). 2 2 ?y ? x ?1

5.已知点A(1, 2),B ? 5, 6 ? 到直线l:ax ? y ? 1 ? 0 ? 的距离相等,则实数a的值等于 ? 2或 ? 1   .
解析:因为点A(1, 2),B ? 5,6 ? 到直线l:ax ? y ? ?1 ? 0的距离相等, 所以直线AB与直线l平行或AB的中点在直线 l上, 6 ? ??2? 所以 ? a ? 或3a ? 2 ? 1 ? 0, 5 ?1 解得a ? ?2或a ? ?1.

两直线的位置关系
【例1】 已知两直线l1:(a-1)x+(a+1)y+1=0,l2 : ax+(a-1)y+2=0,则当a为何值时, (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2?

1 【解析】方法1:当a=1时,直线l1的方程为y=- 2 直线l2的方程为x=-2,显然l1 ? l2; 1 当a=-1时,直线l1的方程为x= ,直线l2的方程 2 为x+2y-2=0,l1与l2不平行也不垂直; 当a=0时,直线l1的方程为-x+y+1=0,直线l2的 方程为y=2,l1与l2不平行也不垂直; 1? a 当a ? 1且a ? -1且a ? 0时,直线l1的斜率为 , 1? a a 直线l2的斜率为 1? a

1? a a 1 = ,解得a= ?1? 欲使l1 / /l2,必须 1? a 1? a 3 1 即当a= 时,l1 / / l2 . 3 1? a a 1 ? =-1,解得a=- ? 2 ? 欲使l1 ? l2,必须 1? a 1? a 2 1 即当a=1和a=- 时,l1 ? l2 . 2

方法2: ? l1 / / l2 ?1 1 (a-1) -( a+a) a=0,即-3a+1=0,得a= 3 (2)l1 ? l2
2

(a-1)a+(a+1)(a-1)=0,即2a 2-a-1=0,解 1 得a=-1或a=- 2

本题是由两直线的位置关系,确定参数 的取值问题.一般地,若直线l1 与l2 的方程分

别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0,则
l1∥l2?A1B2 - A2B1 = 0 , 且 A1C2 - A2C1≠0 , l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.如果记住了这两个结论, 就可以避免讨论.

【变式练习1】 y ?3 集合A={( x,y ) | =a+1}, x?2 2 B={( x,y ) | ( a -1) x+( a-1) y=15}, 当a为何值时,A ? B=?

【解析】注意到集合A表示直线(a+1) x-y-2a+1 =0(除去点 ? 2,3?), 故两直线平行,则应有(a 2-1) ? (-1)=( a-1) ? (a+1), 所以a= ? 1,若直线B过 ? 2,3? 点, 则将点 ? 2,3? 代入( a 2-1) x+( a-1) y=15, 5 得a=-4或 2 5 综上,当a= ? 1,或a=-4或 时,A ? B=? 2

对称问题
【例2】 一条光线经过点P(2,3),射在直线l:x+y+1 =0上,反射后穿过点Q(1,1).

(1)求光线的入射光线方程;
(2)求这条光线从P到Q的长度.

【解析】先求出Q关于直线l 的对称点Q′的坐标,从而 可确定过PQ′的直线方程.

(1)设点Q′(x′,y′)为Q关
于直线l的对称点,且QQ′交l于M点,因为kl = -1,所以kQQ′=1,

所以QQ′所在直线方程为x-y=0.

?x ? y ?1 ? 0 1 1 由? 得点M 坐标为(? , ? ),又因为M 为QQ?中点, 2 2 ?x ? y ? 0 1 ?1 ? 2 (1 ? x ') ? ? 2 ? 故由 ? , Q?(-2,-2). ? 1 (1 ? y ') ? ? 1 ?2 ? 2 设入射光线与l交点为N,且P,N,Q?共线, y?2 x?2 得入射光线方程为 ? ,即5x-4y+2=0. 3? 2 2? 2 NQ ? 2 ?因为l是QQ?的垂直平分线,因而: = | NQ? |, 所以 PN + NQ = PN + | NQ? | = | PQ?= ?3 ? 2 ?2 ? ? 2 ? 2 ?2= 41 即这条光线从P到Q的长度是 41

无论是求曲线关于直线的对称方程, 还是解答涉及对称性的问题,关键在于

掌握点关于直线的对称点的求法.

【变式练习2】

有一条光线从点A(-2,1)射到直线l:x-
y=0上后再反射到点B(3,4),求反射光 线的方程.

【解析】设点A关于直线l的对称点A?的坐标为(a,b), ? b ?1 ? a ? 2 ? 1 ? ?1 ?a ? 1 ? 则有 ? ,解得 ? ?b ? ?2 ? a ? 2 ? b ?1 ? 0 ? 2 ? 2 即A?的坐标为(1,-2),又反射光线经过点B, 则得反射光线的方程为3x-y-5=0.

直线过定点问题
【例3】

当实数a变化时,直线l1 :(2a+1)x+(a+1)y+(a-1)
=0与直线l2:m2x+2y+2n-6=0都过同一个定点. (1)当实数m、n变化时,求P(m,n)所在曲线C的方程; (2)过点(-2,0)的直线l与(1)中所求曲线C交于E、F两点, 又过E、F作曲线C的切线l1 、l2 ,当l1⊥l2 时,求直线l

的方程.

【解析】1? l1: x+y+1)a+( x+y-1)=0. ? (2 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ? x ? ?2 令? ,得 ? , ?x ? y ?1 ? 0 ?y ? 3 所以直线l1过点(-2,3). 因为点(-2,3)在直线l2上, 所以-2m 2+6+2n-6=0, 所以n=m 2,即点P在曲线C:y=x 2上. 所以曲线C的方程为y=x 2 .

? 2 ? 设直线l的方程为y=k ( x+2),E ( x1,y1 ),F ( x2,y2 )
因为y=x 2,所以y?=2x,所以两切线的斜率为2x1、x2 . 2 ? x2 ? y 由? ,得x 2-kx-2k=0. ? y ? k ( x ? 2) 则?=k 2+8k ? 0,x1+x2=k,x1 x2=-2k . 1 当l1 ? l2时,x1 g2x2=-1,所以-8k=-1,得k= 2 8 符合? ? 0. 1 所以直线l的方程为y= ( x+2),即x-8y+2=0. 8

(1)对求动直线过定点的问题,也可 以对参数a取两个不同值后得到的两直线,

求出它们的交点,得到定点坐标;
(2)曲线y=f(x)在点(x0 ,y0)处的切线l 的斜率k=f'(x0).

【变式练习3】 已知直线l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及点 P(3,4). (1)证明直线l过某定点,并求该定点的坐标; (2)当点P到直线l的距离最大时,求直线l的方 程.

【解析】1? 将直线l的方程化为:a (2x+y+1)+b( x+ ? y-1)=0,所以无论a,b如何变化,该直线系都恒 过直线2x+y+1=0与直线x+y-1=0的交点. ?2 x ? y ? 1 ? 0 ? x ? ?2 由? ,得 ? ?x ? y ?1 ? 0 ?y ? 3 所以直线l过定点Q(-2,3)

? 2 ?当l ? PQ时,点P到直线l的距离最大,
此时直线l的斜率为-5, 所以直线l的方程为y-3=-5( x+2), 即5x+y+7=0.

1.设A={(x,y)|y=-4x+6},B={(x, {(2,-2)} y)|y=3x-8},则A∩B=_____________

? y ? ?4 x ? 6 【解析】A ? B={( x,y ) | ? } ? y ? 3x ? 8 ={(2,-2)}

2.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+
3y + 2a = 0 , 则 l1∥l2 的 充 要 条 件 是 a = -1 __________.

? a (a ? 2) ? 3 【解析】根据题意得 ? , ? 2a ? 6( a ? 2) 解得a=-1.

3.点P( x,y )在直线x ? y ? 4 ? 0上,则x 2 ? y 2的最 小值是 8
2

  .
2

解析:x ? y 可看成原点到直线上的点的距离 的平方,垂直时最短:d ? | ?4 | 2 ? 2 2,d 2 ? 8.

4.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分 线所在的直线,若A、B的坐标分别是 A(-4,2)、B(3,1),求点C的坐标,并判 断△ABC的形状.

【解析】设A(-4, 2)关于直线y=2x对称的点 为M ( x,y ), ? x?4 y?4 ?2 ? 2 ? 2 ? 0 ? 则由 ? , ? 2 ? y ? 2 ? ?1 ? x?4 ? ?x ? 4 解得 ? ,即M (4,-2). ? y ? ?2 由几何知识知,M 应在直线BC上. 由两点式得直线BC的方程为

y ?1 x ? 3 ? ,即3x+y-10=0. ?2 ? 1 4 ? 3 ?3x+y-10=0 解方程组 ? , 得C点的坐标为 ? 2, 4 ?. ?y ? 2x 因为 AB =(3+4) +(1-2) =50,
2 2 2

AC =(2+4) +(4-2) =40,
2 2

2

BC =(3-2) 2+(1-4) 2=10, 所以 AC + BC = AB , 即V ABC是直角三角形,且?C=90?.
2 2 2

2

5.已知三条直线l1:x-y+a=0 ? a ? 0 ?,直线l2: 2 -4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2 7 5 的距离是 10

?1? 求a的值; ? 2 ? 能否找到一点P,使得P点同时满足下
列三个条件: ①P是第一象限的点; 1 ②P点到l1的距离是P点到l2的距离的 ; 2 ③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是 2 5;若能,求P点坐标;若不能, ∶ 说明理由.

1 【解析】1?由l2:x-y- =0,所以l1与l2的距离 2 ? 2 1 | a ? ?? ? | 2 ?7 5 d= 10 22 ? ??1?2 1 7 化简得:a+ | = ,因为a ? 0,所以a=3. | 2 2

? 2 ? 设点P( x0,y0 ),若P点满足条件②,则
P点在与l1,l2平行的直线系l:x-y+c=0 2 1 (c ? 3,且c ? - )上, 2 1 |c? | | c ?3| 2 ,即c=13 或c=11 且 = 2 6 5 5 13 11 所以2x0-y0+ =0或2x0-y0+ =0. 2 6

若P点满足条件③,由点到直线的距离 公式,有: 2 | x0 ? y0 ? 1| = g 5 5 2 即 | 2x0-y0+3 | = | x0+y0-1| , 所以x0-2y0+4=0,或3x0+2=0, 由P在第一象限,所以3x0+2=0不可能, | 2 x0 ? y0 ? 3 |

13 ? ? x0 ? ?3 ? 2x0-y0+ ? 0 ? 由方程组: ?? 2 ? 1 (舍去), ? x0-2y0+4=0 ? y0 ? 2 ? ? 1 ? 11 ? ? x0 ? 9 1 37 ?2x0-y0+ ? 0 ? 由? 得? ,所以P ( , ), 2 9 18 ? x0-2y0+4=0 ? y ? 37 ? ? 0 18 ? 即为同时满足三个条件的点.

1. ? 两条直线平行: ?1 l1 P l2 ? k1=k2两条直线平行的条件是: ①l1和l2是两条不重合的直线; ②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个 “前提”都会导致结论的错误. 推论:如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,? 2 , 则l1 P l2 ? ?1=? 2 .

? 2 ? 两条直线垂直:
两条直线垂直的条件: ①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2, 则有l1 ? l2 ? k1k2=-1这里的前提是l1,l2的 斜率都存在. ②l1 ? l2 ? k1=0,且l2的斜率不存在或 k2=0,且l1的斜率不存在.

2.点到直线的距离公式:设点P(x0,y0),则
距离 点P到直线Ax+By+C=0 点P到直线x=a 点P到直线y=b 公式

d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2
d=|x0-a| d=|y0-b|

与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By +C1=0(C1为参数且C1 ? C ),与直线Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为Bx-Ay+C2=0(C2为参数). A2 ? B 2 要先将两个方程中x、y项系数化为相同. 轨迹法. 3.用公式d= | C1 ? C2 | 求两平行线的距离时,

4.解决对称问题的常用方法是:待定系数法、


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