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三角函数的图像和性质


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环球雅思学科教师辅导讲义
讲义编号:_

学员编号: 学员姓名: 课 题

年 级:高一 辅导科目:数 学 三角函数的图象与性质 年 月 日 : — :

课 时 数:3 课时 学科教师:王 燕

授课日期及时段 教学目的

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. 熟练掌握三角函数的图像和性质 2. 会运用三角函数的图像和性质解题

教学内容

模块一::基础梳理 1.“五点法”描图 ?π ? (1)y=sinx 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为: (0,0), ?2,1?, (π,0), ? ? ?3 ? ?2π,-1?, (2π,0) ? ?

?π ? ?3π ? (2)y=cosx 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为: (0,1),?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1) ? ? ? ? 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 y=sin x R y=cos x R y=tan x π {x|x≠kπ+2,k∈Z}

图象

值域 对称性

[-1,1] π 对称轴: x=kπ+2
1

[-1,1] 对称轴:

R ?kπ ? 对称中心:? 2 ,0? ? ?

中国教育培训领军品牌 (k∈Z); 对称中心: (kπ,0)(k∈Z) 周期 2π 单调增区间:[2kπ π -2,2kπ+ 单调性 π Z); 2](k∈ 单调减区间:[2kπ π 3π +2,2kπ+ 2 ] (k∈ Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间:[2kπ -π,2kπ] (k∈ Z) ; 单调增区间:(kπ- 单调减区间:[2kπ, π π , k π + 2 2)(k∈Z) 2kπ+π](k∈ Z) x=kπ(k∈Z); 对称中心: π (kπ+2,0) (k∈Z) 2π π (k∈Z)

3.一般地对于函数 f(x),如果存在一个非零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x +T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的 最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域范围的每一个 x 值都满足 f(x+T)=f(x),其中 T 是不为零的常数.如果只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x),或找到哪怕只有一个 x 值不满足 f(x+T)= f(x),都不能说 T 是函数 f(x)的周期. 2π 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为:|ω| π y=tan(ωx+φ)的最小正周期为:|ω| 4.求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以 1 叫做

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中国教育培训领军品牌 y=sin x,y=cos x 的上确界,-1 叫做 y=sin x,y=cos x 的下确界. (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围,根据正弦函数单调性 写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 5.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y=Asin(ωx+φ) (ω>0)的形式,再根据基本三角 函数的单调区间, 求出 x 所在的区间.应特别注意,应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单 π? ? 调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意 x 系数的正负号) (1)y=sin?2x-4?;(2)y= ? ? ?π ? sin?4-2x?. ? ? 模块二:热身练习 ? π? 1.函数 y=cos?x+3?,x∈R( ? ? A.是奇函数 C.是偶函数 ).

B.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 ).
? ? ? ? ?

?π ? 2.函数 y=tan?4-x?的定义域为( ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? π π A.?x?x≠kπ-4 ,k∈Z? B.?x?x≠2kπ-4,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π C.?x?x≠kπ+4 ,k∈Z? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? π D.?x?x≠2kπ+4 ,k∈Z? ? ? ? ? ?

π 3.函数 y=sin(2x+3)的图象的对称轴方程可能是( π A.x=-6 π B.x=-12 π C.x=6 ? π? 4.y=sin?x-4?的图象的一个对称中心是( ? ? A.(-π,0) ? 3π ? B.?- 4 ,0? ? ?

)

π D.x=12 ).

?3π ? C.? 2 ,0? ? ?

?π ? D.?2,0? ? ? ( π? ? D.?-π,-2? ? ? )

5.下列区间是函数 y=2|cos x|的单调递减区间的是 A.(0,π) ? π ? B.?-2,0? ? ? ?3π ? C.? 2 ,2π? ? ?

π π 6.已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤|f(6)|对任意 x∈ R 恒成立,且 f(2)>f(π),则 f(x)
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中国教育培训领军品牌 的单调递增区间是( ) π π A.[kπ-3,kπ+6](k∈ Z) π 2π C.[kπ+6,kπ+ 3 ](k∈ Z)

π B.[kπ,kπ+2](k∈ Z) π D.[kπ-2,kπ](k∈ Z)

? x π? 7.函数 f(x)= 3cos?2-4?x∈ R 的最小正周期为_____. ? ? ? π? 8..y=2-3cos?x+4?的最大值为_____,此时 x=_________. ? ? 9.函数 y=(sinx-a)2+1,当 sinx=1 时,y 取最大值;当 sinx=a 时,y 取最小值,则实数_____. π π 10.函数 f(x)=sin2x+ 3sinxcosx 在区间[4,2]上的最大值是 . 模块三:典型例题 题型一 与三角函数有关的函数定义域问题

例:求下列函数的定义域: (1)y=lgsin(cos x); (2)y= sin x-cos x.

题型二、三角函数的五点法作图及图象变换 π 例:已知函数 f(x)=4cosxsin(x+6)-1. (1)用五点法作出 f(x)在一个周期内的简图; (2)该函数图象可由 y=sinx(x∈ R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到?

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题型三

三角函数图象与解析式的相互转化

π 例 1 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈ R,A>0,ω>0,0<φ<2)的部分图象如图所示. (1)求 f(x)的解析式; π (2)设 g(x)=[f(x-12)]2,求函数 g(x)在 π π x∈ [-6,3]上的最大值,并确定此时 x 的值.

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例 2 若方程 3sinx+cosx=a 在[0,2π]上有两个不同的实数根 x1,x2,求 a 的取值范围,并求此时 x1 +x2 的值.

π 例 3 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈ R(其中 A>0,ω>0,0<φ<2)的图象与 x 轴的交点中,相邻两 π 2π 个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M( ,-2). 2 3 (1)求 f(x)的解析式; π 1 (2)将函数 f(x)的图象向右平移12个单位后,再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的2,纵坐 标不变,得到 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)的解析式,并求满足 g(x)≥ 2且 x∈ [0,π]的实数 x 的取 值范围.

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题型四

、三角函数的奇偶性与周期性及应用

π 例:已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|<2. π 3π (1)若 cos4cosφ-sin 4 sinφ=0,求 φ 的值; π (2)在(1)的条件下, 若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3, 求函数 f(x)的解析式; 并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数.

题型五

三角函数的单调性与周期性

例:写出下列函数的单调区间及周期: π? ? (1)y=sin?-2x+3?;(2)y=|tan x|. ? ?

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中国教育培训领军品牌 题型六、三角函数的对称性与单调性及应用 例:已知向量 m =( 3sin2x-1,cosx), n =(1,2cosx),设函数 f(x)= m ? n ,x∈R. (1)求函数 f(x)图象的对称轴方程; (2)求函数 f(x)的单调递增区间.

题型七

三角函数的对称性与奇偶性

π? ? 例 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x(x∈ R),函数 y=f(x+φ) ?|φ|≤2?的图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值 ? ? 为________. ?4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为( ? ? π A. 6 题型八 π B.4 π C.3 π D.2 )

三角函数的值域与最值的求法及应用 2sinxcos2x 例 1 (1)求函数 y= 的值域; 1+sinx (2)求函数 y=sinxcosx+sinx+cosx 的最值; x x 1 ? cos 2 x (3)若函数 f(x)= -asin2·cos(π-2)的最大值为 2,试确定常数 a 的值. ? 4sin( ? x) 2
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π 例 2 已知函数 f(x)=sin2x+acos2x(a∈ R,a 为常数),且4是函数 y=f(x)的一个零点. (1)求 a 的值,并求函数 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈ [0,2]时,求函数 f(x)的最大值和最小值及相应的 x 的值.

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题型九

分类讨论及方程思想在三角函数中的应用

π? π? ? ? 例题:已知函数 f(x)=-2asin?2x+6?+2a+b 的定义域为?0,2?,函数的最大值为 1,最小值为-5, ? ? ? ? (1)求 a 和 b 的值. ? π? (2)若 a>0,设 g(x)=f ?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ?

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