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高中数学必修四 任意角与弧度制 知识点汇总(教师版)


任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义:一条射线 OA 由原来的位置,绕着它的端点 O 按一定的方向旋转到另一 位置 OB,就形成了角 ? ,记作:角 ? 或 ?? 注意: (1) “旋转”形成角,突出“旋转” (2) “顶点” “始边” “终边” “始边”往往合于 x 轴正半轴 (3) “正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
? ? 例 1、若 90 ? ? ? ? ? 135 ,求 ? ? ? 和 ? ? ? 的范围。 (0,45)

可以简记成 ? 。

(180,270)

2、角的分类: 由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、 零角和负角。 正角:按照逆时针方向转定的角。 零角:没有发生任何旋转的角。 负角:按照顺时针方向旋转的角。 例 2、 (1)时针走过 2 小时 40 分,则分针转过的角度是 (2)将分针拨快 10 分钟,则分针转过的弧度数是 3、 “象限角” 为了研究方便, 我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角的顶点合于坐标 原点,角的始边合于 x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角。 例 1、30? ;390? ;?330?是第 角 585? ; 1180?是第 象限角 ?2000?是第


-960
? 3



象限角

300?

; ?60?是第

象限

象限角。 (填序号).

例 2、 (1)A={小于 90° 的角},B={第一象限的角},则 A∩B=

①{小于 90° 的角} ③ {第一象限的角}

②{0° ~90° 的角} ④以上都不对

(2)已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90° 的角},那么 A、B、C 关 系是(B) A.B=A∩C B.B∪C=C C.A ? C D.A=B=C

例 3、写出各个象限角的集合: 例 4、若 ? 是第二象限的角,试分别确定 2 ? , ? 的终边所在位置.
2



∵ ? 是第二象限的角,

∴k·360°+90°< ? <k·360°+180°(k∈Z). (1)∵2k·360°+180°<2 ? <2k·360°+360°(k∈Z) , ∴2 ? 是第三或第四象限的角,或角的终边在 y 轴的非正半轴上. (2)∵k·180°+45°< 当 k=2n(n∈Z)时, n·360°+45°<

? <k·180°+90°(k∈Z) , 2

? <n·360°+90°; 2 ? <n·360°+270°. 2

当 k=2n+1(n∈Z)时, n·360°+225°< ∴

? 是第一或第三象限的角. 2
3

拓展:已知 ? 是第三象限角,问 ? 是哪个象限的角?
∵ ? 是第三象限角,∴180°+k·360°< ? <270°+k·360°(k∈Z) , 60°+k·120°<

? <90°+k·120°. 3 ? <90°+m·360°(m∈Z). 3

①当 k=3m(m∈Z)时,可得 60°+m·360°< 故

? 的终边在第一象限. 3 ? <210°+m·360°(m∈Z). 3

②当 k=3m+1 (m∈Z)时,可得 180°+m·360°< 故

? 的终边在第三象限. 3 ? <330°+m·360°(m∈Z). 3

③当 k=3m+2 (m∈Z)时,可得 300°+m·360°<



? 的终边在第四象限. 3 ? 是第一、第三或第四象限的角. 3

综上可知,

4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角: (1)终边相同的角都可以表示成一个 0?到 360?的角与 k (k ? Z ) 个周角的和。 (2)所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合

S ? ? | ? ? ? ? k ? 3 6 ?0 k ? Z ,

?

?

即:任何一个与角?终边相同的角,都可以表示成角?与整数个周角的和 注意: 1、 k ? Z 2、 ? 是任意角 3、终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同。终边相同的角 有无数个,它们相差 360° 的整数倍。 4、一般的,终边相同的角的表达形式不唯一。 例 1、 (1)若 ? 角的终边与 同的角为
8? ? 角的终边相同,则在 ?0,2? ? 上终边与 的角终边相 5 4



若 θ 角的终边与 8π/5 的终边相同 则有:θ=2kπ+8π/5 (k 为整数) 所以有:θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5 当:0≤kπ/2+2π/5≤2π 有:k=0 时,有 2π/5 与 θ/4 角的终边相同的角 k=1 时,有 9π/10 与 θ/4 角的终边相同的角 (2)若 ?和? 是终边相同的角。那么 ? ? ? 在 X 轴正半轴上

例 2、 求所有与所给角终边相同的角的集合, 并求出其中的最小正角, 最大负角: (1) ? 210? ; (2) ? 1484?37? .

例 3、求 ? ,使 ? 与 ? 900? 角的终边相同,且 ? ? ?180?, ? . 1260 2、终边在坐标轴上的点:

?

?

终边在 x 轴上的角的集合: ?? | ? ? k ?180? , k ? Z ? 终边在 y 轴上的角的集合: ?? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ? 终边在坐标轴上的角的集合: ?? | ? ? k ? 90? , k ? Z ? 3、终边共线且反向的角: 终边在 y=x 轴上的角的集合: ?? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z ? 终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ?? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z ? 4、终边互相对称的角: 若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? 若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? 180? ? ? 若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180? k ? ? 角 ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ? 90? 例 1、 ? ? k ? 360? ? ? ,? ? m ? 360? ? ? (k , m ? Z ) 则角 ? 与角 ? 的中变得位置关 若 系是( ) 。 B.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 D.有关于 y 轴对称

A.重合

例 2、将下列各角化成 0 到 2? 的角加上 2k? (k ? Z ) 的形式 (1)
19 ? 3

(2) ? 315?

例 3、设集合 A ? x | k ? 360? ? 60? ? x ? k ? 360? ? 300? , k ? Z ,

?

?

B ? x | k ? 360? ? 210? ? x ? k ? 360? , k ? Z ,求 A ? B , A ? B .
二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制: 弧度制—另一种度量角的单位制, 它的单位是 rad 读作弧度 定义:长度等于 的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。
B r 1rad o A o C l=2r 2rad r

?

?

A

如图:?AOB=1rad 注意:

,?AOC=2rad



周角=2?rad

1、正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0 2、角?的弧度数的绝对值 ? ?
l ( l 为弧长, r 为半径) r

3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是 0) 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同。 4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算 弧度定义:对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系:∵ 360?= ∴ 1?= rad 180?= rad

?
180

rad ? 0.01745 rad
?

? 180? ? ? 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' ? ? ?
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 例 1、 把 67? 30' 化成弧度

? 1? 解: 67 30' ? ? 67 ? ? 2?
?

?

∴ 67 30' ?
?

?
180

rad ? 67

1 3 ? ?rad 2 8

例 2、 把 ?rad 化成度 解: ?rad ?

3 5

3 5

3 ? 180 ? ? 108 ? 5 3 ?rad 5
3?

例 2、将下列各角从弧度化成角度 (1)

? rad 36

(2)2.1 rad

(3)

例 3、用弧度制表示:1?终边在 x 轴上的角的集合
终边在坐标轴上的角的集合

2?终边在 y 轴上的角的集合

解:1?终边在 x 轴上的角的集合 S1 ? ?? | ? ? k? , k ? Z ?

2?终边在 y 轴上的角的集合 S 2 ? ?? | ? ? k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 2 ?

3?终边在坐标轴上的角的集合 S 3 ? ?? | ? ?

? ?

k? ? ,k ? Z? 2 ?

三、弧长公式和扇形面积公式
l ? ?r



S?

1 1 lR ? ?r 2 2 2
2

例 1、已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形的中心角的弧度数是

1或4

.

例 2 、 若两 个 角的 差为 1 弧 度, 它 们的和 为 1 ? , 求 这 连 个角 的大 小 分 别 为 。


例 3、 直径为 20cm 的圆中,求下列各圆心所对的弧长 解: r ? 10cm ⑴: l ? ? ? r ?

4? 40? ? 10 ? (cm ) 3 3 ? 11? 11? 55? ? ? 165 (rad ) ? rad ∴ l ? ? 10 ? (cm ) ⑵: 165 ? 180 12 12 6

4? 3



165?

例 4、 (1)一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形 的圆心角是多少弧度?是多少度?扇 形的面积是多少? (2)一扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 ? 等于多少弧度时,这个扇形的 面积最大?
解 (1)设扇形的圆心角是 ? rad,因为扇形的弧长是 r ? , 所以扇形的周长是 2r+r ? . 依题意,得 2r+r ? = ? r,
? 180 ? ∴ ? = ? -2=( ? -2)× ? ? ? ? ?
?

≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′, ∴扇形的面积为 S=

1 2 1 2 r ? = ( ? -2)r . 2 2

(2)设扇形的半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20, 即 l=20-2r (0<r<10) 扇形的面积 S= S= ①

1 lr,将①代入,得 2

1 2 2 (20-2r)r=-r +10r=-(r-5) +25, 2

所以当且仅当 r=5 时,S 有最大值 25.此时

l=20-2×5=10, ? =

l =2. r

所以当 ? =2 rad 时,扇形的面积取最大值.

例 5、 (1)已知扇形的周长为 10,面积为 4,求扇形中心角的弧度数; (2)已知扇形的周长为 40,当它的半径和中心角取何值时,才能使扇形的 面积最大?最大面积是多少?
解 设扇形半径为 R,中心角为 ? ,所对的弧长为 l.
?1 2 ? ?R ? 4, (1)依题意,得 ? 2 ??R ? 2 R ? 10, ?

∴2 ? -17 ? +8=0,∴ ? =8 或
2

1 . 2

∵8>2π ,舍去,∴ ? =

1 . 2

(2)扇形的周长为 40,∴ ? R+2R=40, S=
1 ? ?R ? 2 R ? 1 1 1 2 lR= ? R = ? R·2R≤ ? ? ? 100 . 2 2 2 4 4 ? ?
2

当且仅当 ? R =2R,即 R=10, ? =2 时面积取得最大值,最大值为 100.

(七)任意角的三角函数(定义) 1. 设?是一个任意角,在?的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y) ,则 P 与原点的距离

r?

x ? y ? x2 ? y2 ? 0
2 2

2. 比值

y 叫做?的正弦 r
y 叫 做 ?的 正 切 x

? 记作: s i n ?
记作:

y x ; 比值 叫做?的余弦 r r

? 记作: c o s ?

x r

比值

tan ? ?

y x ; 比 值 叫 做 ?的 余 切 x y

记 作:

c o? ? t

x y
r 叫 做 ?的 正 割 x
记作:

比值

s e? ? c

r r ; 比 值 叫 做 ?的 余 割 x y

记作:

csc ? ?

r y

注意突出几个问题:①角是“任意角” ,当?=2k?+?(k?Z)时,?与?的同名三角函数值应该是 相等的,即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 ②实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义同样适用。③三角函数是以“比值”为函数值的 函数

④ r ? 0 ,而 x,y 的正负是随象限的变化而不同,故三角函数的符号应由象限确定 三角函数在各象限的符号: ⑤定义域:

y ? sin ? y ? cos? y ? tan?
4. ? 是第二象限角,P(x, 5 )为其终边上一点,且 cos ? = . 已知角 ? 的终边落在直线 y=-3x (x<0)上,则

y ? cot? y ? sec? y ? csc?
2 x ,则 sin ? = 4
?
2 .

10 4

.

sin ? sin ?

?

cos? cos?

例 8、 已知?的终边经过点 P(2,?3),求?的六个三角函数值 y 解: x ? 2, y ? ?3, r ?

2 2 ? (?3) 2 ? 13
cos?=

o

x ∴sin?=? tan?=?

3 13 13
3 2

2 13 13
2 3

P(2,-3)

cot?=?

sec?= 例 9、 求下列各角的六个三角函数值 ⑴ 0 解:⑴ ⑵ ? ⑶

13 2

csc?=?

13 3

3? 2



? 2

⑵ ⑶的解答见 P16-17

∴sin

? 2 ? sec 2

? 时 x ? 0, y ? r 2 ? ? ? =1 cos =0 tan 不存在 cot =0 2 2 2 ? 不存在 csc =1 2
⑷ 当?=

例 10、 ⑴ 已知角?的终边经过 P(4,?3),求 2sin?+cos?的值 ⑵已知角?的终边经过 P(4a,?3a),(a?0)求 2sin?+cos?的值 解:⑴由定义 : r ? 5 sin?=?

3 5

cos?=

4 5 4 5

∴2sin?+cos?=?

2 5

⑵若 a ? 0 r ? 5a 则 sin?=?

3 5 3 若 a ? 0 r ? ?5a 则 sin?= 5

cos?=

∴2sin?+cos?=?

cos?=?

4 5

2 5 2 ∴2sin?+cos?= 5


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