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《直线和圆的方程》专题讲座


《直线和圆的方程》专题讲座 一、 求最值问题 若 ai>0(i=1,2,?,n) ,则有 a1 ? a 2 ? ... ? a n n ≥ a1 ? a 2 ??a n n s n ) ,当且仅当 a1=a2=?=an n (1)当 a1+a2+?+an=s(常数)时,积 a1·a2??an 有最大值为( 时取得. (2)当 a1·a2??an=p(常数)时,和 a1+a2+?+an 有最小值有 n n p ,当且仅当 a1=a2=? =an 时取得. 利用此公式求最值,按大纲要求只需掌握 n=2 时的情形.同时在应用时需注意以下三点: (1) 作和或作积的数必须都为正; (2)若求和的最小值,则它们的积必须是一个常数,而若求积 的最大值,则它们的和必须是一个常数; (3)在允许范围内这几个数能达到相等。 【例 1】求下列函数的最值. (1)y= 3x ; x ?4 2 x 2 ? 3x ? 4 (2)y= 2 . x ? 3x ? 4 分析 此类题一般用判别式求最值,其实,应用二元均值不等式也能予以解答。 解(1)当 x=0 时,y=0 , 当 x≠0 时, y= 3 x? 4 x = 3 x? 4 x ≤ 3 4 ∴- 3 3 ≤y≤ 4 4 当且仅当 x = 4 ( x ),即 x=±2 时,等号成立. ∴ymin=- 3 3 ,ymin= 4 4 (2)易知函数的定义域是 R. y= 6 x 2 ? 3x ? 4 =1- 2 . 2 x ? 3x ? 4 x ? 3x ? 4 ①当 x>0 时,1>y=1- 6 4 x? ?3 x ≥1- 1 2 4 ?3 7 = 6 即当 x=2 时,y= 1 ; 7 ②当 x=0 时,y=1; ③当 x<0 时,1<y=1+ 6 (? x) ? 4 ?3 (? x) ≤ 6 2 4 ?3 1 7 a ”是活用平均值不等式求最值的前提. x 即当 x=-2 时,y=7. 综合以上知,ymin=7,ymin= 说明 将函数解析式变形以出现“x+ 事实上,对于(2) ,若令 x=2tanθ ,则有 3x x ? 4 = 4 ? 3 sin 2? . y= 3x 4 ? 3 sin 2? 1? 2 x ?4 1? 2 由此确定这个三角函数的最值也很容易. 【例 2】已知 x,y∈R+,且 2x+y=1,求证: 1 1 + 的最小值为 3+2 2 . x y 1 1 + 中的也含有 1,故可将已 x y 分析 注意到条件中给出 1+2x+y,而所要求证的不等式左边 知条件作逆向代换,即把 1 换成 2x+y,可使问题得到巧妙的解决. 解∴ 1 1 2x ? y 2x ? y + = + x y x y =2+ y 2x + +1 x y y 2x + x y =2+ ∵y∈R+ ∴ y 2x y 2x + ≥2 =2 2 ? x y x y ∴ 1 1 y 2x 2? 2 + ≥3+2 2 当且仅当 = ,即 x= ,y= 2 -1 时取“=”. x y x y 2 二、 判别式法的应用 【例 1】已知 a,b,c∈R,a+b+c=0,求证:a,b,c 中至少有一个大于 证明:∵abc=1>0 ∴a,b,c 要么同正,要么有两个数为负,另一个数为正。 ∵a+b+c=0, ∴a,b,c 不能同正. 可设 a>0,b<0,c<0,只需证明 a> ∵b+c=-a,bc= 3 . 2 3 即可. 2 1 , a 1

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