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盐城中学2014届高三数学练习5


一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.已知集合 A ? 0, 2, a 2 , B ? ?1, a? , 若A ? B ? ?0,1, 2, 4? ,则实数 a 的值为

?

?

.

2.若复数

a ? 3i ( a ? R , i 为虚数单

位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i



3.从 1, 2,3, 4,5 这五个数中任取两个数,这两个数的和是偶数的概率为 4.在等比数列 {an } 中,若 a1 ? 2 , a9 ? 8 ,则 a5 =____. 5.若变量 x, y 满足条件 ?



? 3x ? y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为_____. ?x ? 3y ? 8 ? 0

6.如图是某学校学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比 为 1: 2 : 3 ,第 2 小组的频数为 10 ,则抽取的学生人数是 . 7.执行下边的程序框图,若 p ? 15 ,则输出的 n ? .

第6题

8.数列 {an } 满足 an ? an?1 ? (n ? N * ), a1 ? ?

1 2

1 , Sn 是 {an } 的前 n 项和,则 S2011 ? 2

_ .

9.直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于 A、B 两点,若弦 AB 的中点为 C(-2,3), 则直线 l 的方程为 . 10.在直角坐标系 xoy 中,已知点 A (0, 1)和点 B (– 3, 4),若点 C 在∠ AOB 的平分线上, 且 | OC | = 2,则 OC = .

11.当钝角 ?ABC 的三边 a, b, c 是三个连续整数时,则 ?ABC 外接圆的半径为____.

1 a ?1 ? b, c 均为正实数, 12. 已知 a , 记 M ? max ? ? b , ? bc , ? c ? , 则 M 的最小值为 ac a b ? ?
3 2



13.关于 x 的方程 ax ? x ? x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上有且仅有一个实数解,则 a 的取值范围

1

为_



14. 设数列 {an } 是首项为 0 的递增数列, (n? N ) ,f n ( x) ? n i s

1 ( x ? an ) , x ?[an , an?1 ] , n


满足: 对于任意的 b ?[0,1), f n ( x) ? b 总有两个不同的根,则数列 {an } 的通项公式为 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.) 15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 A, B, C 成等差数列.

??? ? ??? ? 3 (1)若 AB ? BC = ? , b ? 3, 求 a+c 的值; (2)求 2sin A ? sin C 的取值范围.

2

16.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥B1C; (2)求证:AC1∥平面 B1CD; (3)求三棱锥 B ? B1CD 的体积. B1 第7题 C B D A C1 A1

2 2 17.已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点 a b

在直线 l : x ? 2 y ? 0 上.(Ⅰ)求此椭圆的离心率; (Ⅱ)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点 的在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上,求此椭圆的方程.

2

18. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品, 估计能获得 10 万元到 1000 万元的投资收 益。现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位: 万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%。 (1) ,若建立函数 y ? f ( x) 模型制定奖励方案, 试用数学语言 表述该公司对奖励函数 f ( x ) ....

x ? 2 是否符合公司要求的奖励函数模型, 并说明原因; 150 10 x ? 3a (2) 若该公司采用模型函数 y ? 作为奖励函数模型, 试确定最小的正整数 a 的值。 x?2
模型的基本要求, 并分析函数 y ?

19. 有 n 个首项都是 1 的等差数列, 设第 m 个数列的第 k 项为 amk(m, k=1,2,3, …, n, n≥3), 公差为 dm,并且 a1n,a2n,a3n,…,ann 成等差数列.且 dm=(2-m)d1+(m-1)d2. (1)当 d1=1,d2=3 时,将数列{dm}分组如下: (d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),…(每组数的个数构成等差数列). 1 (2)设 N 是不超过 20 的正整数,当 n>N 时,对于(1)中的 Sn,求使得不等式 (Sn-6)>dn 50 成立的所有 N 的值. 设前 m 组中所有数之和为(cm)4(cm>0),求数列{ 2 cn dn}的前 n 项和 Sn;

f ( x) ?
20.已知函数

a ? sin x ? bx (a、b ? R) . 2 ? cos x

(Ⅰ) 若 f ( x ) 在 R 上存在最大值与最小值, 且其最大值与最小值的和为 2680 , 试求 a 和 b 的值. (Ⅱ)若 f ( x ) 为奇函数.
3

(1)是否存在实数 b ,使得 f ( x ) 在 (0, 的值,若不存在,请说明理由;

2? 2? ) 为增函数,( , ? ) 为减函数,若存在,求出 b 3 3

(2)如果当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? 0 恒成立,试求 b 的取值范围.

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1..已知集合 A ? 0, 2, a 2 , B ? ?1, a? , 若A ? B ? ?0,1, 2, 4? ,则实数 a 的值为

?

?

.

2.若复数

a ? 3i ( a ? R , i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i



3.从 1, 2,3, 4,5 这五个数中任取两个数,这两个数的和是偶数的概率为 4.在等比数列 {an } 中,若 a1 ? 2 , a9 ? 8 ,则 a5 =____. 5.若变量 x, y 满足条件 ?

? 3x ? y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为_____. ?x ? 3y ? 8 ? 0

6.如图是某学校学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比 为 1: 2 : 3 ,第 2 小组的频数为 10 ,则抽取的学生人数是 . 7.执行下边的程序框图,若 p ? 15 ,则输出的 n ? .

第6题 第7题
4

8.数列 {an } 满足 an ? an?1 ? (n ? N * ), a1 ? ? 9.已知函数 f ( x) ? x ?

1 2

1 , Sn 是 {an } 的前 n 项和,则 S2011 ? 2

_ .

a ( x ? 2) 的图像过点 A(3,7) ,则此函数的最小值是 __ . x?2

10.当钝角 ?ABC 的三边 a, b, c 是三个连续整数时,则 ?ABC 外接圆的半径为____. 11.直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于 A、B 两点,若弦 AB 的中点为 C(-2,3), 则直线 l 的方程为 . 12.已知 a ? b ? c ? 0 ,且 2a ?
2

1 1 ? ? 4ac ? 4c 2 ? 4 , 则 a ? b ? c ? ab a(a ? b)



13.关于 x 的方程 ax ? x ? x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上有且仅有一个实数解,则 a 的取值范围
3 2

为_



14 . 已 知 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 整 数 , 对 于 n ? 1, 2, 3, ? ? ? , 有

an为奇数 , , ?5an ? 2 7 ? * ,若存在 m ? N , 当 n ? m 且 an 为奇数 an ?1 ? ? an , a 为偶数 . 其中 k 为使 a 为奇数的正整数 n n ?1 ? ? 2k
时, an 恒为常数 p ,则 p 的值为_____. 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.) 15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 A, B, C 成等差数列.

??? ? ??? ? 3 (1)若 AB ? BC = ? , b ? 3, 求 a+c 的值; (2)求 2sin A ? sin C 的取值范围.

2

16.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4, D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥B1C; (2)求证:AC1∥平面 B1CD; (3)求三棱锥 B ? B1CD 的体积. B1

C1

A1

C B D

A

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2 2 17.已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点 a b

在直线 l : x ? 2 y ? 0 上.(Ⅰ)求此椭圆的离心率; (Ⅱ)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点 的在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上,求此椭圆的方程.

18. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品, 估计能获得 10 万元到 1000 万元的投资收 益。现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位: 万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%. (1) 若建立函数 y ? f ( x) 模型制定奖励方案, 试用数学语言 表述该公司对奖励函数 f ( x ) 模 ....

x ? 2 是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因; 150 10 x ? 3a (2)若该公司采用模型函数 y ? 作为奖励函数模型,试确定最小的正整数 a 的值. x?2
型的基本要求,并分析函数 y ?

19. 有 n 个首项都是 1 的等差数列, 设第 m 个数列的第 k 项为 amk(m, k=1,2,3, …, n, n≥3), 公差为 dm,并且 a1n,a2n,a3n,…,ann 成等差数列.且 dm=(2-m)d1+(m-1)d2. (1)当 d1=1,d2=3 时,将数列{dm}分组如下: (d1),(d2, d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),…(每组数的个数构成等差数列). 设前 m 组中所有数之和为(cm)4(cm>0),求数列{ 2 cn dn}的前 n 项和 Sn;
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1 (2)设 N 是不超过 20 的正整数,当 n>N 时,对于(1)中的 Sn,求使得不等式 (Sn-6)>dn 50 成立的所有 N 的值.

f ( x) ?
20.已知函数

a ? sin x ? bx (a、b ? R) . 2 ? cos x

(Ⅰ) 若 f ( x ) 在 R 上存在最大值与最小值, 且其最大值与最小值的和为 2680 , 试求 a 和 b 的值. (Ⅱ)若 f ( x ) 为奇函数. (1)是否存在实数 b ,使得 f ( x ) 在 (0, 的值,若不存在,请说明理由; (2)如果当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? 0 恒成立,试求 b 的取值范围.

2? 2? ) 为增函数,( , ? ) 为减函数,若存在,求出 b 3 3

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