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上海市外国语大学附属大境中学2013届高三上学期赴蚌埠二中交流数学试题


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上海外国语大学附属大境中学 2013 届高三赴蚌埠二中交流 数学练习
一、填空题
2 1、设集合 A ? x x ? a , B ? x x ? 2 ,若 A ? B ? A ,则实数 a 取值的范围为 ? ??,4? ;

?

?

?

?

2、已知 O 为原点,A,B 点的坐标分别为 (2, 0) , (0, 2) ,点 P 在线段 AB 上运动.且 AQ =

????

???? ??? ? 1 AB ,则 OQ ? OP 的值为 2

2 5 项

3. (1 ? 2 x) 7 的展开式中,系数最大的项是第

4、函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? ?0,2? ?的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点, 则 k 的取值范围是__ ?1,3? ________。 5、若数列 {an } 满足 | ak ?1 ? ak |? 1 ( k ? 1 ,2,?, n ? 1 ) ,若 a1 ? 12 , a2001 ? 2012 ,则

a1001 = 1012
1 ? ai 2 ) ? 0 ,则实数 = 1 ? ai

6、如果 (



7、已知向量 a ? (1,

?

? ?? ? 3) , b ? (?3, k ) ,则 a 与 b 所成角θ 的取值范围为 ? , ? ? ?6 ?

? a x ?5 (a ? 6) ? 8、已知函数 f ( x) ? ?? ,数列 ?an ? 满足 an ? f (n) (n ? N ? ) ,且数列 a? ?? 4 ? 2 ? x ? 4 ( x ? 6) ? ??

?an ? 是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是 ? 4, 8?
9.写出一个同时满足下列条件的函数 f ?x ? : ①f ?x ? ? 0 ( x ? R) 数 如

f ( x )? 1 ? 0

x 3 cos 2
③f ?x ? 是R上的偶函

②f ?x ? 为周期函数且最小正周期为 T ? 4?

④f ?x ? 是在 ?? 4? , ? 2? ? 上的增函数 ⑤f ?x ? 的最大值与最小值差不小于 4 27 组

10、A、B 都是 ?1,2,3,4? 的子集, 则满足 A ? B ? ?2? 的不同集合组 A,B ) ( 有 11、一个长方体共一顶点的三个面对角线长分别是 1, 2, x ,则 x 的取值范围为
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?

3, 5

?

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12 、 当

n 为 正 整 数 时 , 定 义 函 数 N (n) 表 示 n 的 最 大 奇 因 数 . 如 N (3) ? 3 ,

N (10) ? 5 , ? . 记 S (n) ? N (1) ? N (2) ? N (3) ? ? ? N (2n ) . 则 S (n) ?

4n ? 2 3

. (用 n 来表示)

13、 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,对于任意正整数 n ,恒有 Sn ? 0 ,则等比数列 ?an ? 的 公比 q 的取值范围为

?1 ? q ? 0

14、 f ( x) ? a1 sin( x ? ?1 ) ? a2 sin( x ? ?2 ) ? ?? an sin( x ? ?n ) , 其中 ai、 i (i ? 1, 2,?, n) 均 ? 为常数,下列说法正确的有 (1) (2) (3) (4) (1) 若 f (0) ? 0, f ( ) ? 0 ,则对于任意 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立;

?

2

(2) 若 f (0) ? 0 ,则 f ( x ) 是奇函数; (3) 若 f ( ) ? 0 ,则 f ( x ) 是偶函数; (4) 若

?

f 2 (0) ? f 2 ( ) ? 0 2

?

2







x1 ? 时 ( x2

f ) ?x 1

(

f ?) x 则 0 2,

x1 ? x2 ? k? (k ? Z ) ;
二、选择题 15、 a1 , a , a 均为单位向量, “ a1 ? ? 若 则 2 3 ?

? ? ?

?

? 3 6? ? ? ? , 是 ? ” “ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? 3 3 ?

?

3, 6 ” ( B) 的

?

条件。 ( A )充分非必要 ( B )必要非充分( C )既不充分也不必要 ( D )充要 16、已知直角坐标系中圆 C 方程为 F ?x, y ? ? 0 , P?x0 , y0 ? 为圆内一点(非圆心) , 那么方程 F ?x, y ? ? F ?x0 , y0 ? 所表示的曲线是———————— ( A) 圆 C ( C ) 比圆 C 半径大与圆 C 同心的圆 ( D ) 不一定存在 ( B) ( B ) 比圆 C 半径小,与圆 C 同心的圆

17、对 x ? R, k ? N ? ,定义 M x k ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? k ?1) ,则函数

f ( x) ? (M x?511) ? sin x 是( B )
A 、奇函数但非偶函数; C 、既是奇函数又是偶函数; B、偶函数但非奇函数; D、非奇非偶函数
a12 a 22 a32 a13 ? ? a 23 ? 中,每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 a33 ? ?

? a11 ? 18、由 9 个互不 相 等 的 正 数 组 成 的 数 阵? a 21 ?a ? 31

a a 列, a11 ? a12 ? a13 、 21 ? a22 ? a23 、 31 ? a32 ? a33 成等比数列, 且 下列四个判断正确的有(A )
①第 2 列 a12 , a22 , a32 必成等比数列 ②第 1 列 a11 , a21 , a31 不一定成等比数列

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③ a12 ? a32 ? a21 ? a23 (A)4 个 三、.解答题 (B)3 个

④若 9 个数之和等于 9,则 a22 ? 1 (C)2 个 (D)1 个

? 19、 如图, 在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,AB ? BC ? 2 AA ? 2 ,?ABC ? 90 ,D 是 BC 1

的中点. (1)求证: A B 平行平面 ADC1 ; 1

(2)求二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值;
?

(3)试问线段 A1B1 上是否存在点 E ,使 AE 与 DC1 成 60 角?若存在,确定 E 点位置,若 不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)证明:连结 AC ,交 AC1 于点 O ,连结 OD . 1 由 ABC? A1 B1C1 是直三棱柱, 得 四边形 ACC1 A 为矩形, O 为 AC 的中点. 1 1 又 D 为 BC 中点,所以 OD 为 △A1BC 中位线, 所以 A B ∥ OD , 1 因为 OD ? 平面 ADC1 , A1B ? 平面 ADC1 , 所以 A B ∥平面 ADC1 . 1 (Ⅱ)由 ABC? A1 B1C1 是直三棱柱,且 ?ABC ? 90 , 故 BA, BC, BB1 两两垂直. 如图建立空间直角坐标系 B ? xyz .设 BA ? 2 ,则
?

B(0,0,0),C(2,0,0), A(0,2,0),C1 (2,0,1), D(1,0,0) .
所以 AD ? (1, ?2,0) , AC1 ? (2, ?2,1)

??? ?

???? ?

???? ?n ? AD ? 0, ? 设平面 ADC1 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ? ?n ? AC1 ? 0. ?
所以 ?

? x ? 2 y ? 0, 取 y ? 1 ,得 n ? (2,1,?2) . ?2 x ? 2 y ? z ? 0.

易知平面 ADC 的法向量为 v ? (0, 0,1) . 由二面角 C1 ? AD ? C 是锐角,得 cos? n, v ? ? 所以二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值为 (Ⅲ)假设存在满足条件的点 E . 因为 E 在线段 A1 B1 上, A1 (0,2,1) , B1 (0,0,1) ,故可设 E (0, ? ,1) ,其中 0 ? ? ? 2 .
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| n?v | 2 ? . n v 3

2 . 3

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所以 AE ? (0, ? ? 2,1) , DC1 ? (1,0,1) .

??? ?

???? ?

??? ???? ? ? AE ? DC1 1 ? 因为 AE 与 DC1 成 60 角,所以 ??? ???? ? . ? ? 2 AE DC1



1 (? ? 2) ? 1 ? 2
2

?

1 ,解得 ? ? 1 ,舍去 ? ? 3 . 2
?

所以当点 E 为线段 A1 B1 中点时, AE 与 DC1 成 60 角. 20、某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1) 该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m) ? ,使 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时,

? ? ? 最大?
H ?4 ? ? tan ? ? AB ? 1.20 ? ? H ? 124 解: (1)过 C 作 CD ? AB 交 AE 与点 D ,则 ? ? tan ? ? H ? 1.24 ? ? AB
所以,电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,

125 121 ? tan ? ? tan ? 4d 4 d ? tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 125 ? 121 d ? 125 ?121 d ? 125 ?121 d d d
? 4 2 125 ?121
故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。

当且仅当 d ? 55 5 时,取等号, 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。 21、动圆 M 经过定点 F (1, 0) ,且与直线 x ? 1 ? 0 相切。 (1)求圆心 M 的轨迹 C 方程;
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(2)直线 l 过定点 F 与曲线 C 交于 A 、 B 两点: ①若 AF ? 2 FB ,求直线 l 的方程; ②若点 T (t , 0) 始终在以 AB 为直径的圆内,求 t 的取值范围。 解: (1)由题意: M 到点 F (1, 0) 距离与 M 到直线 x ? 1 ? 0 距离相等,所以点 M 的轨迹是 以 F 为焦点,直线 x ? 1 ? 0 为准线的抛物线,其方程为 y 2 ? 4 x (2)①设直线 l : x ? my ? 1 ,代入抛物线方程得: y 2 ? 4my ? 4 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 y1 ? y2 ? 4m, y1 ? y2 ? ?4 由 AF ? 2 FB 得 ? y1 ? 2 y2 ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AF ? (1? x1, ? y1 ), FB ? ( x2 ?1, y2 )

??? ?

??? ?

代入 y1 ? y2 ? 4m, y1 ? y2 ? ?4 解得: m ? ?

2 4

即所求直线方程为 x ? ?

2 y ? 1。 4

② TA ? ( x1 ? t, y1 ), TB ? ( x2 ? t , y2 ) ,由题意: TA ? TB ? 0 即 ( x1 ? t )( x2 ? t ) ? y1 y2 ? 0 , x1 ? my1 ? 1, x2 ? my2 ? 1 ,化简得:

???

???

??? ???

4tm2 ? 4 ? (1 ? t )2 ? 0 对于任意的 m ? R 恒成立。
t ? 0 满足 t ? 0 ,则 t ? 0 且 4 ? (1 ? t )2 ? 0 ,解得 0 ? t ? 3 。综上知, t 的取值范围为 0 ? t ? 3。
22、 已知等差数列 ? xn ?, S n 是 ? xn ?的前 n 项和,且 x3 ? 5, S 5 ? x5 ? 34. (1)求 ? xn ?的通项公式;

?1? (2)设 an ? ? ? , Tn 是 ? an ?的前 n 项和,是否存在正数 ? ,对任意正整数 n, k ,不等式 ?3?
2 Tn ? ?xk ? ?2 恒成立?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.

n

(3)? 判断方程 sin 2 xn ? xncosxn ? 1 ? Sn 是否有解,说明理由;
[解](1)由 x3 ? 5, S 5 ? x5 ? 34, 所以 ?

? x1 ? 2d ? 5 ?x ? 1 ?? 1 ? x n ? 2n ? 1 ?6 x1 ? 14d ? 34 ?d ? 2
1 2 1 3
n 2 2

2 (2) 由 Tn ? ?xk ? ?2 恒成立,则 [1 ? ( ) ] ? ? ?2k ? 1? ? ? 恒成立

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即 ?2 ? ? (2k ? 1) 2 ?

1 ?1? [1 ? ? ? ]max 2 ? 3?
1 1 ? ?2 ? ?2 2 2 所以 (2k ? 1) ? 2 [ (2k ? 1) ]max ? 2

n

?2 ? ? ?2k ? 1?2 ?

1 ,又 ? ? 0 2

?

?

1 ? ?2 1 3 ?1 2 2 所以 1 ? 即? ? ? ? ? 0 故? ? 2 2 ?
(3) sin 2 xn ? xn cos xn ? 1 ? S n , 由于 xn ? 2n ? 1, S n ? n 2 ,

则方程为: sin 2 (2n-1) ? (2n-1) cos(2n-1) ? 1 ? n 2
2 s ① n ? 1 时 , s i n 1? c o 1 ? 0 2 s 无 解 ② n ? 2 时 , s i n 3 ? 3c o 3 ? 1 ? 4 所 以

c o 2 3 ? 3 c o 3 ? 2 ? 0 所以 cos3 ? 1, cos3 ? 2 无解 s s
2 2 ③ n ? 3 时, sin (2n - 1) ? (2n - 1)cos(2n- 1) ? 1 ? 1 ? (2n - 1) ? 1 ? 2n ? 1 ? n

所以 sin 2 (2n - 1) ? (2n - 1)cos(2n- 1) ? 1 ? n 2 无解综上所述,对于一切正整数原方程 都无解.

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