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【新导学案】高中数学人教版必修四:1.1.2《弧度制》


1.1.2 《弧度制》导学案
【学习目标】 1.理解弧度制的意义; 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算; 3.记住公式 | ? |?

l ( l 为以. ? 作为圆心角时所对圆弧的长, r 为圆半径) ; r

4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 【重点难点】 弧度与角度之间的换算;弧长公式、扇形面积公式的

应用。 【学法指导】 1.了解弧度制的表示方法; 2.知道弧长公式和扇形面积公式. 【知识链接】 初中学习中我们知道角的度量单位是度、 分、 秒, 它们是 60 进制, 角是否可以用其它单位度量, 是否可以采用 10 进制? 自学课本第 7、8 页.通过自学回答以下问题: 1、 角的弧度制是如何引入的? 2、 3、 4、 为什么要引入弧度制?好处是什么? 弧度是如 何定义的? 角度制与弧度制的区别与联系?

三、提出疑惑 1、平角、周角的弧度数? 2、角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关? 3、角 的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系?

【学习过程】 (一)复习:初中时所学的角度制,是怎么规定 1 角的?角度制的单位有哪些,是多少进制的? (二)为了使用方便,我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 < 我们规定 > 叫做 1 弧度的角,用符号 作 。 练习:圆的半径为 r ,圆弧长为 2r 、 3r 、
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?

表示,读

r 的弧所对的圆心角分别为多少? 2

<思考>:圆心角的弧度数与半径的大小有关吗?
由上可知:如果半径为 r 的园的圆心角 ? 所对的弧长为 l ,那么,角 ? 的弧度数的绝对值是:

正角的弧度数是一个

, ? 的正负由 ,负角的弧度数是一个

决定。 ,零角的弧度数是



<说明>:我们用弧度制表示角的时候, “弧度”或 rad 经常省略,即只写一实数表示角的度量。
例如:当弧长 l ? 4? r 且所对的圆心角表示负角时,这个圆心角的弧度数是

l 4? r ? | ? |? ? ? ? ? ?4? . r r
(三)角度与弧度的换算

360? ? 2? rad
1? ?

180? ? ? rad
1 rad = (

?
180

rad ? 0.01745 rad

180

?

)? ? 57?18?

归纳:把角从弧度化为度的方法是: 把角从度化为弧度的方法是:

<试一试>:一些特殊角的度数与弧度数 的互相转化,请补充完整
30° 0 90° 120° 150° 270°

? 4

? 3

3? 4

?

2?

例 1、把下列各角从度化为弧度: (1) 252
0

(2) 11 15

0

/

(3) 30

0

(4) 67 ?30 '

变式练习:把下列各角从度化为弧度: (1)2 2 ?30′ (2)—210?

(3)1200?

例 2、把下列各角从弧 度化为度: (1) ?

3 5

(2) 3.5

(3) 2

(4)

? 4

变式练习:把下列各角从弧度化为度: (1)

? 12

(2)—

4? 3

(3)

3? 10

(四) 弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了 一个一一对应关 系. 正角 零角 负角 正实数 零 负实数

(五)

弧度下的弧长公式和扇形面积公式

弧长公式: l

?| ? | ?r
1 ?R 2; 2

(1) l ? ? R 1 1
2

(2) S ? l ? ? R| ?r . |? 因为 | ? |? l (其中 l 表示 ? 所对的弧长) ,所以,弧长公式为 2
r

扇形面积公式: .

(1)S ?

(3) S ? lR (2) 2

说明:以上公式中的 ? 必须为弧度单位. 例 3、知扇形的周长为 8 cm ,圆心角 ? 为 2rad , ,求该扇形的面积。

变式练习

1、半径为 120mm 的圆上,有一条弧的长是 144m m,求该弧所对的圆心角的弧度数。

2、半径变为原来的

1 ,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的 2

倍。

3、若 2 弧 度的圆心角所对的弧长是 4cm ,则这个圆心角所在的扇形面积是



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4、以原点为圆心,半径为1的圆中,一条弦 AB 的长度为 3 , AB 所对的圆心 角 ? 的弧度数为 . 【学习反思】 1、弧度制的定义; 2、弧度制与角度制的转换与区别;

3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用;

【拓展提升】 1.在 ?ABC 中,若 ?A : ?B : ?C ? 3 : 5 : 7 ,求 A,B,C 弧度数。
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2.直径为 20cm 的滑轮,每秒钟旋转 45 ,则滑轮上一点经过 5 秒钟转过 的弧长是多少?

?

3.选做题 如图,扇形 OAB 的面积是 4cm ,它的周长是 8cm ,求扇形的中心角及弦 AB 的长。
2

B

A
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O

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