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2.4.1空间直角坐标系


§ 2.4 空间直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系
文山中学数学组 刘翠萍 学习目标 1.了解空间直角坐标系的建系方式. 2.掌握空间中任意一点的表示方法. 3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标. 4.掌握空间两点间的距离公式 学习重点:空间直角坐标系,空间中点的坐标及空间坐标对应的点。 学习难点:右手直角坐标系的理解,空间中的点与坐标的一一对应。 一、知识梳理 1

.如图, OABC—D′A′B′C′是单位正方体.以 O 为原点, 分别 以射线 OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段 OA,OC,OD′的 长为单位长,建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴.这时我们说建 立了一个__________O—xyz,其中点 O 叫做__________,x 轴、 y 轴、 z 轴叫做 __________. 通过每两个坐标轴的平面叫做 __________,分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方 向,如果中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为________,如无特别说明, 本书建立的坐标系都是_______. 3.空间一点 M 的坐标可以用_____________来表示,_________叫做点 M 在此空 间直角坐标系中的坐标,记作__________,其中__________叫做点 M 的横坐标, __________叫做点 M 的纵坐标,__________叫做点 M 的竖坐标. 4.在空间直角坐标系中,怎样确定空间一点 P 的坐标?确定 P 点坐标(如下图) 需要分三步完成: (1)过点 P 作面 xOy 的垂线,垂足为 Q; (2)在面 xOy 内过点 Q 分别作 x 轴,y 轴的垂线确定点 P 的横、纵坐标; (3)过点 P 作平行于 OQ 的直线确定点 P 的竖坐标.

5.特殊位置点的坐标的特征.

x 轴上的点的坐标为


,其中 x 为任意实数;y 轴上的点的坐标

,其中 y 为任意实数; ,其中 z 为任意实数; ,其中 x,y 为任意实数;xOz 平面上的 ,其中 x,z 为任意实数;yOz 平面上的点的坐标 ,其中 y,z 为任意实数.

z 轴上的点的坐标为 xOy 平面上的点的坐标为
点的坐标为 为

6.空间中两点 P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=____________. 7.空间中点坐标公式连接空间两点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 的线段 PP 1 2 的中点
M 的坐标为

【点拨讲解】 例 1、(1)画一个正方体 ABCD—A1B1C1D1,以 A 为坐标原点,以棱 AB、AD、AA1 所在的直线为坐标轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标; (2)求棱 C1C 中点的坐标; (3)求面 AA1B1B 对角线交点的坐标.

例题 2、判断下列点的集合分别表示什么图形:
(1){P( x, y, z) | x ? 1, y ? R, z ? R}

练习、点 P (2, 3 , 4) 关于坐标平面 xoy 的对称点是 _________ ; 关于坐标平面 yoz 的对称点是 _________ ; 关于坐标平面 zox 的对称点是 _________ , 关于坐标x 轴的对称点是 _____________ ; 关于坐标 y 轴的对称点是 _____________ ;

(2){P( x, y, z) | x ? 1, y ? 1, z ? R}

关于 坐标z 轴的对称点是 _____________ ; 关于坐标原点O的对称点是 ___________ 。
当堂检测 1.在空间直角坐标系中,在 x 轴上的点的坐标可记为( ) A.(0,b,0) B.(a,0,0) C.(0,0,c) D.(0,b,c) 2.点(0,2,3)位于( ) A.y 轴上 B.x 轴上 C.xOz 平面内 D.yOz 平面内 3 . 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 点 P( 1 , 2 , 关 3 )于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是 ( ) ( A) (?1, 2,3) ( B ) (1, ?2, ?3) (C ) (?1, ?2,3) ( D) (?1, 2, ?3) 4 . 空 间 直 角 坐 标 系 中 , P(3,5,1), Q(?3, ?5, ?1) 两 点 的 位 置 关 系 是 ( ) ( A) 关于 x 轴对称 ( B ) 关于 yOz 平面对称 (C ) 关于坐标原点对称 ( D) 以上都不对 ) 坐 标 始 终 满 足 y?3 , 则 动 点 P 的 轨 迹 为 5 . 动 点 P( x, y, z 的 ( ) ( A) y 轴上一点 ( B ) 坐标平面 xOz (C ) 与坐标平面 xOz 平行的一个平面 ( D) 平行于 y 轴的一条直线 6 .空间 中过点 A(?2,1,3) ,且 与 xOy 坐标平 面垂直的 直 线上点的 坐标满足 ( ) ( A ) x ? ?2 ( B ) y ? 1 ( C ) x ? ?2 或 y ? 1 ( D) x ? ?2 且 y ? 1 7.点 (2, ?3, 6) 在 x 轴、 y 轴上的射影的坐标分别是 、 . 8.在空间直角坐标系 O-xyz 中,点 P(2,3,4)在平面 xOy 内的射影的坐标是 ________,在平面 yOz 内的射影坐标是________.

练习

设 z 为任意实数, 相应的所有点 P(1, 2, z) 的集合是什么图形?

例题 3、在空间直角坐标系中,给定点 M(1,-2,3),求它分别关于坐标平面、 坐标轴和原点的对称点的坐标。


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