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2014高考数学查缺补漏集中营 导数应用


2014 高考数学查缺补漏集中营:导数应用
一、专题综述 导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的 学习,主要是以下几个方面: 1.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微) ; (2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面 曲线的切线) ; (3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于 次

多项式的导数问题属于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简 便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一个 方向,应引起注意。 二、知识整合 1.导数概念的理解. 2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值. 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例,引出复合函数的求 导法则,接下来对法则进行了证明。 3.要能正确求导,必须做到以下两点: (1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导 法则。 (2)对于一个复合函数,一定要理清中间的复合关系,弄清各分解函数中应对哪个变量求导。 4.求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行: (1)适当选定中间变量,正确分解复合关系; ( 2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对 哪个变量求导) ; (3)把中间变量代回原自变量(一般是 x)的函数。 也就是说,首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系 y=f(μ ),μ =f(x);然后将 已知函数对中间变量求导

( y' ? )

,中间变量对自变量求导

( ? ' x ) ;最后求 y ' ? ?? ' x ,并将中间

变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后,可以省略 中间过程。若遇多重复合,可以相应地多次用中间变量。 三、例题分析

?x 2 y ? f ( x) ? ? ?ax ? b 例 1.

x ?1 x ?1

在 x ? 1 处可导,则 a ?

b?
lim f ( x) ? 1

?x 2 y ? f ( x) ? ? ?ax ? b 思 路 :
x ?1?

x ?1 x ?1

在 x ?1 处 可 导 , 必 连 续

x ?1?

lim f ( x) ? a ? b

f (1) ? 1

∴ a ?b ?1

?x ?0

lim?

?y ?2 ?x

?x ?0

lim?

?y ?a ?x

∴ a?2

b ? ?1

例 2.已知 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=b,求下列极限:

-1-

(1) ?h?0

lim

f (a ? h 2 ) ? f (a) f (a ? 3h) ? f (a ? h) lim h 2h ; (2) ?h?0

分析:在导数定义中,增量△x 的形式是多种多样,但不论△x 选择哪种形式,△y 也必 须选择相对应的形式。利用函数 f(x)在 x ? a 处可导的条件,可以将已给定的极限式恒等变 形转化为导数定义的结构形式。

解: (1) h?0

lim

f (a ? 3h) ? f (a ? h) f (a ? 3h) ? f (a ) ? f (a ) ? f (a ? h) ? lim h ?0 2h 2h

f (a ? 3h) ? f (a ) f ( a ) ? f ( a ? h) ? lim h ?0 h ?0 2h 2h 3 f (a ? 3h) ? f (a ) 1 f ( a ? h) ? f ( a ) ? lim ? lim 2 h ?0 3h 2 h ?0 ?h 3 1 ? f ' (a ) ? f ' (a ) ? 2b 2 2 ? lim

lim
(2)
h ?0

? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim ? h? h ?0 h h2 ? ?

f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim ? lim h ? f ' (a ) ? 0 ? 0 h ?0 h ?0 h2
说明:只有深刻理解概念的本质,才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形, 使极限式转化为导数定义的结构形式。

? 例 3.观察 ( x ) ? nx
n

n ?1

? ? , (sin x) ? cos x , (cos x) ? ? sin x ,是否可判断,可导的奇函数

的导函数是偶函数,可导的偶函数的导函数是奇函数。 解:若 f ( x) 为偶函数

f (? x) ? f ( x)

令 ?x ?0

lim

f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f ?( x) ?x

f ?(? x) ? lim

f (? x ? ?x) ? f (? x) f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? ?x ? ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ? ? ? f ?( x) ?x ?0 ??

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

? ? ? ? ? 另证: f ? [ f (? x)] ? f (? x) ? (? x) ? ? f ( x)
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

y?
例 4. (1)求曲线

2x x ? 1 在点(1,1)处的切线方程;
2

S?
(2)运动曲线方程为

t ?1 ? 2t 2 2 t ,求 t=3 时的速度。

-2-

分析:根据导数的几何意义及导数的物理意义可知,函数 y=f(x)在 y=f(x)在点

x0 处的导数就是曲线

p ( x0 , y 0 ) 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 S(t)对时间的导数。
y' ? 2( x 2 ? 1) ? 2 x ? 2 x 2 ? 2x 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2 ,

解: (1)

y ' | x ?1 ?

2?2 ?0 4 ,即曲线在点(1,1)处的切线斜率 k=0 y? 2x x ? 1 在(1,1)处的切线方程为 y=1
2

因此曲线

2 ? t ? 1? S ' ? ? 2 ?'?(2t 2 )' ? t ? 2t (t ? 1) ? 4t ? ? 1 ? 2 ? 4t ? t ? t4 t2 t3 (2)

1 2 26 S ' | t ?3 ? ? ? ? 12 ? 11 9 27 27 。
例 5. 求下列函数单调区间

y ? f ( x) ? x 3 ?
(1)

1 2 x ? 2x ? 5 2

y?
(2)

x2 ?1 x

y?
(3)

k2 ?x (k ? 0) x
2

(4) y ? 2 x ? ln ?
2

2 x ? (?? , ? ) ? 3 ? (1 , ? ?) 时 y ? ? 0 解: (1) y ? 3 x ? x ? 2 ? (3 x ? 2)( x ? 1) x ? (? 2 , 1) y? ? 0 3 2 2 (?? , ? ) (? , 1) ? 3 , (1 , ? ?) ? 3 ∴

y? ?
(2)

x2 ?1 x2

∴ (?? , 0) , (0 , ? ?) ?

k2 y ? 1? 2 x (3)
∴ x ? (?? , ? k ) ? (k , ? ?) ∴ (?? , ? k ) , (k , ? ?) ?

y? ? 0

x ? (?k , 0) ? (0 , k ) y ? ? 0

(?k , 0) , (0 , k ) ?
定义域为 (0 , ? ?)
-3-

y? ? 4 x ?
(4)

1 4x2 ?1 ? x x

1 x ? (0 , ) 2 y? ? 0
例 6.求证下列不等式

?

1 x ? ( , ? ?) y? ? 0 2

?

x2 x2 x? ? ln(1 ? x) ? x ? 2 2(1 ? x) x ? (0 , ? ?) (1)
sin x ?
(2)

2x

?

x ? (0 ,

?
2

)

(3) x ? sin x ? tan x ? x

x ? (0 ,

?
2

)

f ( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ?
证: (1) ∴ y ? f ( x ) 为 (0 , ? ? ) 上 ?

x2 ) f (0) ? 0 2
∴ x ? (0 , ? ? )

f ?( x) ?

1 x2 ?1 ?1? x ? ?0 1? x x ?1

f ( x) ? 0 恒成立

x2 ln(1 ? x) ? x ? 2 ∴
g ?( x) ? 1 ?

g ( x) ? x ?

x2 ? ln(1 ? x) 2(1 ? x)

g (0) ? 0

4x 2 ? 4x ? 2x 2 1 2x 2 ? ? ?0 1 ? x 4(1 ? x 2 ) 4(1 ? x) 2

∴ g ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上 ?

x2 x? ? ln(1 ? x) ? 0 2(1 ? x) ∴ x ? (0 , ? ? ) 恒成立
令 f ( x) ? sin x / x

?
(2)原式

sin x 2 ? x ?

x ? (0 ,

?
2

)

cos x ? 0
(0 ,

x ? tan x ? 0

f ?( x) ?


cos x( x ? tan x) x2 sin x ?


x ? (0 ,


?
2

)

f ?( x) ? 0

?

) 2 ?

? 2 f( )? 2 ?

2x

?
f (0) ? 0

(3)令 f ( x) ? tan x ? 2 x ? sin x

f ?( x) ? sec 2 x ? 2 ? cos x ?
x ? (0 ,

(1 ? cos x)(cos x ? sin 2 x) cos 2 x
(0 ,

?
2

)

f ?( x) ? 0

?
2

)?



∴ tan x ? x ? x ? sin x
-4-

例 7.利用导数求和: (1) (2) 。 ;

分析:这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度,由 求导公式 ( x )' ? nx
n n ?1

,可联想到它们是另外一个和式的导数,利用导数运算可使问题的解决

更加简捷。 解: (1)当 x=1 时,

; 当 x≠1 时,

∵ 两边都是关于 x 的函数,求导得



即 (2)∵ 两边都是关于 x 的函数,求导得 令 x=1 得 , 即 例 8.设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ? 。 , 。

x ? ln( x ? a )( x ? (0,??) 的单调区间.

分析:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.

f ?( x) ?
解:

1 2 x

?

1 ( x ? 0) x?a .

当 a ? 0, x ? 0 时

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 .

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0
(i)当 a ? 1 时,对所有 x ? 0 ,有 x ? (2a ? 4) ? a ? 0 .
2 2

-5-

? 即 f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0,??) 内单调递增.
(ii)当 a ? 1 时,对 x ? 1 ,有 x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 ,
2 2

? 即 f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在(0,1)内单调递增,又知函数 f ( x) 在 x=1 处连续,因此,
函数 f ( x) 在(0,+)内单调递增

? (iii)当 0 ? a ? 1 时,令 f ( x) ? 0 ,即 x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 .
2 2

解得 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a , 或x ? 2 ? a ? 2 1 ? a . 因此,函数 f ( x) 在区间 (0,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递增,在区间 (2 ? a ? 2 1 ? a ,??) 内也单调递增.

? 令 f ( x) ? 0, 即x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 ,解得 2 ? a ? 2 1 ? a ? x ? 2 ? a ? 2 1 ? a .
2 2

(2 ? a - 2 1 ? a ,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递减. 因此,函数 f ( x) 在区间
例 9.已知抛物线 y ? x ? 4 与直线 y=x+2 相交于 A、B 两点,过 A、B 两点的切线分别为 l1
2

和 l2 。 (1)求 A、B 两点的坐标; (2)求直线 l1 与 l 2 的夹角。 分析:理解导数的几何意义是解决本例的关键。 解 (1)由方程组

? y ? x 2 ? 4, ? ? y ? x ? 2,

解得 A(-2,0),B(3,5)

(2)由 y′=2x,则 公式,

y ' | x ??2 ? ?4 , y ' | x ?3 ? 6 。设两直线的夹角为θ ,根据两直线的夹角

tan ? ?

?4?6 10 ? 1 ? (?4) ? 6 23

? ? arctan
所以

10 23

说明:本例中直线与抛物线的交点处的切线,就是该点处抛物线的切线。注意两条直线 的夹角公式有绝对值符号。 例 10.设 a ? 0 ,

f ( x) ?

ex a ? a e x 是上的偶函数。

(I)求的值; (II)证明 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数。

-6-

e?x a 1 ? ? x ? x ? ae x e ae 解: (I)依题意,对一切 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) ,即 a ,
1 1 (a ? )(e x ? x ) ? 0 a e ∴ 对一切 x ? R 成立, a?
由此得到

1 ?0 2 a , a ? 1,
x ?x

又∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 。

(II)证明:由 f ( x) ? e ? e 当 x ? (0,??) 时,有 e
?x

? ,得 f ( x) ? e ? e
x

?x

? e ? x (e 2 x ? 1) ,

(e 2 x ? 1) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 。∴ f ( x) 在 (0,??) 上是增函数。
) D (2π ,3π )

四、04 年高考导数应用题型集锦 1.函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数(
? 3?

A (2

,

2 )

B (π ,2π )

3? 5? , C ( 2 2 )

2. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
a?b (i)求函数 f(x)的最大值;(ii)设 0<a<b,证明 0<g(a)+g(b)-2g( 2 )<(b-a)ln2.

y ? 2 sin(
3.函数

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]
)为增函数的区间是

[0, ] 3 (A)

?

(B) 12` 12

[

? 7?
,

]

? 5? [ , ] (C) 3 6
3 2

5? ,? ] (D) 6 [

4.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3 x 在 x ? ?1 处取得极值。 (I)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (II)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程。
3 函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 (

)

(A)1,-1 (B)1,-17 (C)3,-17 设 f '(x)是函数 f(x)的导函数,y=f '(x)的图象 如右图所示,则 y=f(x)的图象最有可能的是

(D)9,-19

y

O

1

2

x

-7-

y

y

y

y

O 1

2

x

2

O

1

2

x

1

x

O 1 2

x

(A) (B) (C) (D) 设曲线 y=e?x(x≥0)在点 M(t,e?t}处的切线 l 与 x 轴、y 轴围成的三角形面积为 S(t). (1)求切线 l 的方程;(2)求 S(t)的最大值。

-8-


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