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六大定理互相证明总结


六大定理的相互证明总结
XXX 学号

数学科学学院 数学与应用数学专业 班级 指导老师 XXX

摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理,其 中包括确界定理,单调有界原理,区间套定理, 致密性定理,柯西收敛定理,有限覆盖定理. 该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总

结了六大定理的相 互证明. 关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定 理

1 确界定理 1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界,有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明:设一无穷闭区间列 ? ?a n , bn ? (1)后一个区间在前 ? 适合下面两个条件:

一个区间之内,即对任一正整数 n ,有 an ? an?1 < bn?1 ? bn , (2)当 n ? ? 时, 区间列的长度 ? ?bn ? a n ?

? 所成的数列收敛于零,即 lim?bn ? a n ? ? 0 . n??

显然数列 ?an ? 中每一个元素均是数列 ?bn ? 的下界,而数列 ?bn ? 中每一个元素均是 数列 ?an ? 的上界.由确界定理,数列 ?an ? 有上确界,数列 ?bn ? 有下确界. 设 ? ? inf?bn ?, ? ? sup?an ? 显然 an ? ? ? bn , an ? ? ? bn . . 又? lim ?bn ? a n ? ? 0
n??

?? ? ?

即 ?an ? 及 ?bn ? 收敛于同一极限 ? ,并且 ? 是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1] 证明:我们只就单调增加的有界数列予以证明.因 ?yn ? 有界,则必有上确界

? ? sup?yn ?.现在证明 ? 恰好是 ?yn ?的极限,即 yn ? ? .
由上确界的定义有:⑴ y n ? ? ( n ? 1,2,3 …) ,⑵对任意给定的 ? >0,在 ?yn ?中 至少有一个数 y N , y N > ? ? ? .但由于 ?yn ?是单调增加数列, 有 因此当 n > N 时,

有 yn ? y N ,从而 y n > ? ? ? .也就是说:当 n > N 时,有

0 ? ? ? yn < ?
所以 2 单调有界原理 2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理 在证明定理之前, 我们要先证明一个引理: 任意一个数列 ?xn ? 必存在单调子数列. 证明:⑴若 ?xn ? 中存在递增子序列 xnk ,则引理已证明; ⑵若 ?xn ? 中无递增子序列, 那么 ? n1 >0, n > n1 , 使 恒有 xn1 > xn .同样在 ?xn ? n ( > n1 )中也无递增子序列. 于是又存在 n2 >0, n2 > n , 使 恒有 xn2 < xn < xn1 .如此无限进行下去便可得到一 严格递减子序列 xnk . 引理得证. 下面证明定理: 由引理知, 有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知, 该有界单调子数列必有极限,即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列. 2.3 单调有界原理证明区间套定理[1] 由定理的条件立即知道 ?an ? 是单调增加有上界的数列,?bn ? 是单调递减有下界的 数列.根据定理,则 lim a n 存在,且极限等于 ?an ? 的上确界.同样, lim bn 也存在,
n ?? n ??

yn ? ?

? ?

? ?

且极限等于 ?bn ? 的下确界.亦即对任何正整数 k ,有
a k ? lim a n , bk ? lim bn
n ?? n ?? n??

(*)

由定理的另一条件: lim ?bn ? a n ? ? 0 ,并且由于已知 ?an ? 及 ?bn ? 的极限都存在, 则有 lim?bn ? a n ? ? lim bn ? lim a n ? 0 .
n ?? n ?? n ??

从而证明了两个极限相等,且设 ? 是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果 即已证得.剩下要证的是: ? 是所有区间的唯一公共点.由(*)的两个不等式,

即有

ak ? ? ? bn ( k ? 1,2,3 …)

也就是 ? 是所有区间的一个公共点.现在要证明 ? 是所有区间的唯一公共点.设 除点 ? 外,所设区间列还有另外一个公共点 ? ' ,且 ? ' ? ? .由于 an ? ? , ? ' ? bn ( n ? 1,2,3 …) ,故有
bn ? a n ? ? ' ? ?

( n ? 1,2,3 …)

由数列极限的性质知道:
lim?bn ? an ? ? ? ' ? ?
n??

由于 lim ?bn ? a n ? ? 0 ,故有
n??

? ' ?? ? 0
从而有 ? ' ? ? .到此定理的全部结果都已得证. 3 区间套定理 3.1 区间套定理 设一无穷闭区间列 ? ?a n , bn ? 时,区间列的长度 ? ?bn ? a n ? 共点. 3.2 区间套定理证明单调有界原理 证明:设数列 ?xn ? 递增有上界. 取闭区间 ?a1 ,b1 ? ,使 a1 不是数列 ?xn ? 的上界, b1 是数列 ?xn ? 的上界.显然在闭区 间 ?a1 ,b1 ? 内含有数列 ?xn ? 的无穷多项,而在 ?a1 ,b1 ? 外仅含有数列 ?xn ? 的有限项. 对分 ?a1 ,b1 ? ,取 ?a 2 ,b2 ?,使其具有 ?a1 ,b1 ? 的性质.故在闭区间 ?a 2 ,b2 ?内含有数列 (1)后一个 ? 适合下面两个条件:

区间在前一个区间之内, 即对任一正整数 n , an ? an?1 < bn?1 ? bn , 2) n ? ? 有 ( 当

? 所成的数列收敛于零,即 lim?bn ? a n ? ? 0 ,则区 n?? 间的端点所成两数列 ?an ? 及 ?bn ? 收敛于同一极限 ? ,并且 ? 是所有区间的唯一公

?xn ? 的无穷多项,而在 ?a2 ,b2 ?外仅含有数列 ?xn ? 的有限项.
以此方法,得区间列 ? ?a n , bn ?

?.

由区间套定理, ? 是所有区间的唯一公共点. 显然,在 ? 的任何邻域内有数列 ?xn ? 的无穷多项,即 ? ? >0, ? N ? N * ,当 n >

N 时,有 xn ? ? < ? .

所以 lim x n ? ?
n??

定理得证.

3.3 区间套定理证明致密性定理[1] 证明:设 ?yn ?为有界数列,即存在两个数 a, b ,使 a ? y n ? b .等分区间 ?a, b? 为两 个区间,则至少有一个区间含有 ?yn ?中的无穷个数.把这个区间记为 ?a1 ,b1 ? ,如 果两个区间都含有无穷个 y n , 则任取其一作为 ?a1 ,b1 ? .再等分区间 ?a1 ,b1 ? 为两半, 记含有无穷个 y n 的区间为 ?a 2 ,b2 ?.这个分割手续可以继续不断的进行下去,则得 到一个区间列 ? ?a n , bn ?

? ,这个区间列显然适合下面两个条件:

(1) ?a, b? ? ?a1 , b1 ? ? ?a2 , b2 ? ? … (2) bn ? a n ?
b?a ?0 2n

于是由区间套定理,必存在唯一点 ? ? ?a, b? 使 an ? ? , bn ? ? ,且 ? ? ?ak , bk ? ( k ? 1,2,3 …). 每一 ?a k , bk ? 中均含有 ?yn ?的无穷个元素. 在 ?a1 ,b1 ? 中任取 ?yn ?的一项,记为 y n1 ,即 ?yn ?的第 n1 项.由于 ?a 2 ,b2 ?也含有无穷 个 y n ,则它必含有 y n1 以后的无穷多个数,在这些数中任取其一,记为 y n2 ,则 n1 < n2 .继续在每一 ?a k , bk ? 中都这样取出一个数 y nk ,即得 ?yn ?的一个子列 y nk , 其中 n1 < n2 <…< nk <…,且 ak ? ynk ? bk .令 k ? ? ,由于 ak ? ? , bk ? ? , 故

? ?

ynk ? ? .这就是定理所要的结果.
4 致密性定理 4.1 致密性定理 又称魏尔斯特拉斯定理,任一有界数列必有收敛子列. 4.2 致密性定理证明单调有界原理 证明:不妨设 ?xn ? 单调递增且有界,根据致密性定理有收敛子列 xnk . 令 lim x nk ? a .于是,对 ? ? >0, ? k0 ,当 k > k0 时,有
k ??

? ?

x nk ? a < ?

(*)

由于 ?xn ? 单调递增,显然恒有 xn ? a ( n ? 1,2,3 …). 由此(*)式可改成 0 ? a ? xnk < ? 取 N ? nk0 ,当 n > N 时有 所以
lim x n ? a
n ??

( k > k0 )

0 ? a ? xn ? a ? xnk < ?

4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1] 证明:首先证明条件的必要性: 设 xn ? a ,则对任意给定 ? >0,有一正整数 N ,当 k > N 时,有

xk ? a <
从而当 m, n > N 时,有

? 2

? ? xn ? xm ? xn ? a ? a ? xm < + = ? 2 2 其次证明条件的充分性:
首先, 证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件, ? =1, 取 必有一正整数 N 0 , 当 m, n > N 0 时,有 xn ? xm <1 特别地,当 n > N 0 且 m ? N 0 ? 1时,有 x n ? x N 0 ?1 <1 从而当 n > N 0 时,有
x n ? x n ? x N 0 ?1 ? x N 0 ?1 <1+ x N 0 ?1

这就证明了 ?xn ? 的有界性.由致密性定理,必有收敛子列 xnk ,设 lim x nk ? a .
k ??

? ?

根据子列收敛定义,对任意给定的 ? >0,必有正整数 K ,当 k > K 时,有

xn ? a < ?
取一正整数 k0 ? max?K ? 1, N ? 1? .于是 k0 > K ,且 nko ? nN ?1 ? N ? 1 > N .因此, 当 n > N 时,由已知条件有 xn ? xnk0 < ? ,所以

xn ? a ? xn ? xnk0 ? xnk0 ? a < ? + ? =2 ?
即 5 柯西收敛原理
lim x n ? a
n ??

5.1 柯西收敛原理 数列 ?xn ? 有极限的必要与充分条件是:对任意给定的 ? >0, 有正整数 N ,当 m , n > N 时,有 xn ? xm < ? . 5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理 证明:反证法,设 ?xn ? 为一递增且有上界 M 的数列.假设其没有极限,则用柯西 收敛原理表达就是 ? ? >0,对 ?N ? N * ,当 m, n > N 时,有 xn ? xm ? ? 取 ? ? 1 ,必有一正整数 N1 ,当 n1 , n2 > N1 时,有 x n2 ? x n1 ? 1 . 又由于数列 ?xn ? 为一递增的数列,所以 x n2 ? x n1 ? x n2 ? x n1 ? 1 取 ? ? 1 ,必有一正整数 N1 ,当 n2 , n3 > N1 时,有 xn3 ? xn2 ? 1 取 ? ? 1 ,必有一正整数 N1 ,当 n3 , n4 > N1 时,有 xn4 ? xn3 ? 1 …………… …………… …………… 取 ? ? 1 ,必有一正整数 N1 ,当 nk , nk ?1 > N1 时,有 xnk ?1 ? xnk ? 1 将以上式子相加,得 xnk ?1 ? k ? 1 ? ? (k ? ?)

与数列 ?xn ? 有上界 M 矛盾,假设不成立. 即,单调有界数列有极限. 5.3 柯西收敛原理证明致密性定理 证明:反证法,设 ?xn ? 为一有上界 M 的数列. 假设其没有收敛子列. 由子列收敛的定义, ? ? >0, ?N ? N * , nk ?1 , nk > N 时, x nk ?1 ? x nk ? ? . 则 对 当 有 取 ? ? 1 ,必有一正整数 N1 ,当 n1 , n2 > N1 时,有 x n2 ? x n1 ? 1 取 ? ? 2 ,必有一正整数 N 2 ,当 n2 , n3 > N 2 时,有 x n3 ? x n2 ? 2 取 ? ? 3 ,必有一正整数 N 3 ,当 n3 , n4 > N 3 时,有 x n4 ? x n3 ? 3 …………… …………… …………… 取 ? ? k ,必有一正整数 N k ,当 nk , nk ?1 > N k 时,有 x nk ?1 ? x nk ? k 显然与数列 ?xn ? 有上界 M 矛盾,假设不成立. 即,任一有界数列必有收敛子列. 6 有限覆盖定理

6.1 有限覆盖定理 若开区间所组成的区间集 E 覆盖一个闭区间[ a , b ],则总可 以从 E 中选出有限个区间,使这有限个区间覆盖[ a , b ]. 6.2 有限覆盖定理证明确界定理 证明:在这里我们只说明定理的上确界部分. 设不为空集的区间 E ? R , ? x ? E ,有 x ? M ,任取一点 x0 ? E ,假设 E 无上确 界,那么 ? x ? [ x0 , M ]: ⅰ)当 x 为 E 的上界时, 必有更小的上界 x1 < x ,因而 x 存在一开邻域 ? x , 其中每 一点均为 E 的上界,称其为第一类区间; ⅱ)当 x 不是 E 的上界时,则有 x2 ? E 使 x2 > x ,那么 x 存在一开邻域 ? x ,其中 每点均不是 E 的上界,称其为第二类区间.

?

当 x 取遍[ x0 , M ]上每一点找出一个邻域 ? x .

显然 ? x 不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[ x0 , M ]的一个 开覆盖,由有限覆盖定理,必存在有限子区间覆盖[ x0 , M ].显然 M 所在的开区 间应为第一类区间,与其邻接的开区间 ? x 有公共点. 所以 ? x ? ? x , x 均为 E 的上界.而与 ? x 相邻接的开区间 ? 'x 有公共点,所以
? x ? ? 'x , x 均为 E 的上界.

依此类推, x0 所在的开区间也是第一类区间,则 x0 为 E 的上界. 又? x0 ? E ,? E 为常数集.由此矛盾引出. 得证. 同理, E 有下确界. 6.3 有限覆盖定理证明致密性定理 证明:设 ?xn ? 是一有界数列,现在证明 ?xn ? 有收敛子列. (1)如果 ?xn ? 仅由有限个数组成,那么至少有一个数 ? 要重复无限多次,即 (2)如果 ?xn ? 是由无穷多个数组成,由有界性知,存在闭区间 ?a, b? ,使对一切 自然数 n 都有 a < xn < b 在 ?a, b? 内至少存在一点 x0 , 使对于任意的正数 ? , ?x0 ? ? , x0 ? ? ? 内都含有 ?xn ? 在

? = xn1 ? xn2 ? …= x nk ? … 因而子列 ?xnk ?收敛于 ? .

中无穷多个数.事实上,倘若不然,就是说对于 ?a, b? 中每一点 x ,都有 ? x >0, 在 ?x ? ? x , x ? ? x ? 内,仅有 ?xn ? 中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集:

? ? ? ?x ? ? x , x ? ? x ?

? ,? 完全覆盖了闭区间 ?a, b? , 依有限覆盖定理, 存在 ? 中

的有限多个区间.

在每一个 ? i ( i ? 1,2, …, n )中都只含 ?xn ? 中的有限多个数.因此 ?xn ? 也最多是由 有限个数组成,这与假设矛盾.

?1 ? x1 ? ? x1 , x1 ? ? x1 ,…, ? n ? xn ? ? xn , xn ? ? xn ,他们也覆盖了 ?a, b? ,并且

?

?

?

?

1 于是,对于 ? k = ( k ? 1,2,3, …) ,于 ?x0 ? ? k , x0 ? ? k ? 内取 ?xn ? 中无穷多个点,就 k 1 得到 ?xn ? 的子列 xnk 满足: x nk ? x 0 < ? k ? ( k ? 1,2,3, …)从而 lim xn1 ? x0 得 k ?? k 证.

? ?

总结:六大定理可以分为两类: ① 有限覆盖定理:反映区间上的整体性质; ② 其余五个:反映函数在一点上的性质. 实数的六个基本定理在理论上很有用, 在之后的闭区间上的函数的性质的证明上 发挥着重要的作用. 本文在写作过程中得到了 XXX 老师的多次精心指导,在此表示感谢.
参考文献: [1] 陈传璋 金福临 朱学炎 .《数学分析(上) 》.高等教育出版社.1983.7


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