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必考解答题 压轴提升练(二)


必考解答题——压轴提升练(二) 解析几何 (建议用时:45 分钟) 1.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l, 使得直线 l 与抛物 5 线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 5 ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p,所以 p=2,故所 求抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2) 假设存在符合题意的直线 l ,设其方程为 y =- 2x + t ,由 ? ?y=-2x+t, ? 2 得 y2+2y-2t=0,因为直线与抛物线有公共点, ? ?y =4x, 1 所以 Δ=4+8t≥0,得 t≥-2. |t| 5 又两平行线的距离 d= = 5 ,解得 t=± 1,舍去 t=-1,所以符 5 合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0. 2.已知圆 C:(x+ 3)2+y2=16,点 A( 3,0),Q 是圆上一动点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于点 M,设点 M 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; (2)过点 P(1,0)的直线 l 交轨迹 E 于两个不同的点 A,B,△AOB(O 4 是坐标原点)的面积 S=5,求直线 AB 的方程. 解 (1)由题意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4>2 3, 所以轨迹 E 是以 A,C 为焦点,长轴长为 4 的椭圆, x2 2 即轨迹 E 的方程为 4 +y =1. (2)记 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意,直线 AB 的斜率不可能为 0,而直线 x=1 也不满足条件, 故可设 AB 的方程为 x=my+1, 2 2 ? ?x +4y =4, 由? 消 x 得(4+m2)y2+2my-3=0, ?x=my+1, ? 2m , ?y +y =4- +m 所以? 3 y· y =- . ? 4+m 1 2 2 1 2 2 2 m2+3 1 1 2 S=2|OP||y1-y2|=2 ?y1+y2? -4y1y2= 2 . m +4 4 由 S=5,解得 m2=1,即 m=± 1. 故直线 AB 的方程为 x=± y+1, 即 x+y-1=0 或 x-y-1=0 为所求. 3.已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G:x2=2py(p>0)相交于 B, 1 → =4AB →. C 两点.当直线 l 的斜率是2时,AC (1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 1 解 (1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是2时,l 的方程为 1 y=2(x+4),即 x=2y-4, 2 ? ?x =2py, 联立? ? ?x=2y-4 得 2y2-(8+p)y+8=0, 8+p y1+y2= 2 ,y1y2=4, → =4AB → ,∴y =4y , 由已知AC 2 1 由韦达定理及 p>0 可得 y1=1,y2=4,p=2, ∴抛物线 G 的方程为 x2=4y. (2)由题意知直线 l 的斜率存在,且不为 0, 设 l:y=k(x+4),BC 中点坐标为(x0,y0), 2 ? ?x =4y, 由? 得 x2-4kx-16k=0, ?y=k?x+4? ? 由 Δ>0 得 k<-4 或 k>0, xB + xC ∴x0= 2 =2k,y


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