当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 拓展资料:由数列的递推公式求通项公式的常用方法


由数列的递推公式求通项公式的常用方法
一 准备知识 所谓数列,简单地说就是有规律的(有限或无限多个)数构成的一列数,常 记作 {an } ,an 的公式叫做数列的通项公式.常用的数列有等差数列和等比数列. 等差数列 数列 {an } 的后一项与前一项 定义 的差 an ? an ?1 为常数 d
d 为公差

等比数列 数列 {an } 的

后一项与前一项的比
an 为常数 q(q≠0) a n ?1

专有名词 通项公式 前 n 项和

q 为公比
an ? a1qn?1
Sn ? a1 (1 ? q n ) 1? q

an ? a1 ? (n ? 1)d
Sn ? na1 ? n(n ? 1)d ? a1 ? an ? n ? 2 2

数列的前 n 项和 Sn 与通项公式 a n 的关系是: an ? Sn ? Sn?1 (n ≥ 2) . 有些数列不是用通项公式给出,而是用 a n 与其前一项或前几项的关系来给出 的,例如: an?1 ? 2an ? 3 ,这样的公式称为数列的递推公式.由数列的递推公式我 们可以求出其通项公式. 数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形,然后将 它看成新数列(通常是等差或等比数列)的通项公式或递推公式,最后用新数列 的性质解决问题. 二 例题精讲 例 1. (裂项求和)求 Sn ? 解:因为 an ?
8 ?1 8? 2 ? ? 12 ? 32 32 ? 52 ? 8? n . (2n ? 1) 2 ? (2n ? 1) 2

8? n 1 1 ? ? 2 2 2 (2n ? 1) ? (2n ? 1) (2n ? 1) (2n ? 1) 2

1 1? ?1 1? 所以 Sn ? ? ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 ?? ?1 3 ? ? 3 5 ?

? ? 1 1 1 ?1? ?? ? 2 2 ? (2 n ? 1) 2 (2n ? 1) ? ? (2n ? 1)

例 2. (倒数法)已知数列 {an } 中, a1 ? , an ?1 ?
-1-

3 5

an ,求{an}的通项公式. 2an ? 1

解:

1 a n ?1

?

2a n ? 1 1 ? ?2 an an

∴?

?1 ? 5 1 5 6n ? 1 , ? 是以 为首项,公差为 2 的等差数列,即 ? ? 2(n ? 1) ? an 3 3 3 ? an ?
3 . 6n ? 1
S n ?1 ,求{an}的通项公式. 2 S n ?1 ? 1

∴ an ?

练习 1.已知数列 {an } 中,a1=1, S n ? 解:
1 2S n ?1 ? 1 1 ? ? ? 2, Sn S n ?1 S n ?1

∴?

?1 ? ? 是以 1 为首项,公差为 2 的等差数列. ?Sn ?
1 1 =1+2(n-1)=2n-1,即 Sn ? . Sn 2n ? 1 2 1 1 =? ? (2n ? 1)( 2n ? 3) 2n ? 1 2n ? 3



∴ an ? Sn ? Sn?1 ?

1 ? ( n ? 1) ? ∴ an ? ? 1 1 ( n ≥ 2) ? ? ? 2n ? 1 2n ? 3

例 3. (求和法,利用公式 an ? Sn ? Sn?1 (n ≥ 2) ) 已知正数数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? ? an ?
1? 2? 1? ? ,所以 a1 ? 1 . a1 ?
1 S n ? S n ?1

1? 2?

1? ? ,求 {an } 的通项公式. an ?

解: S1 ? a1 ? ? a1 ?

∵ an ? Sn ? Sn?1 , ∴ 2Sn ? Sn ? Sn ?1 ? ∴ Sn ? Sn ?1 ?

1 ,即 Sn2 ? Sn2?1 ? 1 . S n ? S n ?1

∴ S n 2 是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列. ∴ Sn2 ? n ,即 Sn ? n .

? ?

-2-

∴ an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ? 1 (n≥2) ∴ an ? n ? n ? 1 .
1? 例 4. (叠加法)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn? 2 ? 3 ? ? , ?? ? ( n≥ 3 ) ? 2?
n ?1

且 S1 ? 1, S2 ? ? ,求 {an } 的通项公式. 解:先考虑偶数项有: S2n-S2n-2=-3· ? ?
?1? ?2?
2 n ?3

3 2

?1? ?2?

2 n ?1

S2n-2-S2n-4=-3· ? ? ……
?1? S4-S2=-3· ? ? ?2?
3

3 n ?1 ?1? ? ?1? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?2? ? ? ?4? ? ?, 将以上各式叠加得 S2n-S2=-3× 1 1? 4

1? 所以 S2 n ? ?2 ? ? ? ? ?2?

2 n ?1

(n ≥ 1) .

再考虑奇数项有: S2n+1-S2n-1=3· ? ?
?1? ?2?
2n?2

?1? ? 2?

2n

S2n-1-S2n-3=3· ? ? ……
?1? S3-S1=3· ? ? ?2?
2

1? 将以上各式叠加得 S2n ?1 ? 2 ? ? ? ? (n ? 1) . ?2?

2n

-3-

所以 a2n+1=S2n+1-S2n=4-3× ? ? ,a2n=S2n-S2n-1=-4+3× ? ?
n ?1 ? ?1? ? 4 ? 3 ? ? ? , n为奇数 ? ?2? 综上所述 an ? ? , n ?1 ? ?1? ??4 ? 3 ? ? 2 ? ,n为偶数 ? ? ?

?1? ? 2?

2n

?1? ?2?

2 n ?1



? 1? ? 即 an ? (?1)n?1 ? ?4 ? 3 ? ? ? ? ?.
n ?1

? ?

? 2?

? ?

例 5. ( an?1 ? pan ? r 类型数列) 在数列 {an } 中,an+1=2an-3,a1=5,求 {an } 的通项公式. 解:∵an+1-3=2(an-3) ∴{an-3}是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列. ∴an-3=2n ∴an=2n+3. 练习 2.在数列 {an } 中,a1=2,且 an ?1 ?
2 2 解: an an ? , ?1 ?

an 2 ? 1 ,求 {an } 的通项公式. 2

1 2

1 2

2 2 ∴ an (an ? 1) . ?1 ? 1 ?

1 2

∴{an+12-1}是以 3 为首项,公比为 ∴an+12-1=3× ? ?
?1? ?2?
n ?1

1 的等差数列. 2

,即 an ? 1 ?

3 . 2 n ?1

例 6( an?1 ? pan ? f (n) 类型) 已知数列 {an } 中,a1=1,且 an ? an?1 ? 3n?1 ,求 {an } 的通项公式. 解: (待定系数法)设 an ? p ? 3n ? an?1 ? p ? 3n?1 , 则 an ? an?1 ? 2 p ? 3n?1 ,与 an ? an?1 ? 3n?1 比较可知 p ? ? . 所以 ?a n ?
? ? 3n ? 3 1 ? 是常数列,且 a1 ? ? ? . 2 2 2?
1 2

-4-

所以 an ?

3n ? 1 3n 1 . ? ? ,即 an ? 2 2 2

练习 3.已知数列 {an } 满足 Sn ? an ? 2n ? 1 ,其中 Sn 是 {an } 的前 n 项和,求 {an } 的 通项公式. 解:∵ an ? Sn ? Sn?1 , ∴ 2Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 (待定系数法)设 2(Sn ? pn ? q) ? Sn?1 ? p(n ? 1) ? q , 化简得: ? pn ? p ? q ? 2n ? 1 ,所以 ? ∴ 2(Sn ? 2n ? 1) ? Sn ? 2(n ? 1) ? 1 , 又∵ S1 ? a1 ? 2 ? 1 ? 3 ,∴ S1 ? , S1 ? 2 ? 1 ? , ∴ {Sn ? 2n ? 1}是以 为公比,以
n n

? ? p?2 ? p ? ?2 ,即 ? ?? p ? q ? 1 ? q ?1

3 2

1 2

1 2

1 为首项的等比数列. 2
n

1? ?1? ?1? ∴ S n ? 2n ? 1 ? ? ? ? ,即 Sn ? ? ? ? 2n ? 1 , an ? 2n ? 1 ? Sn ? 2 ? ? ? . 2 2 2 ? ? ? ? ? ?
r 例 7. ( an ?1 ? pan 型)

(2005 年江西高考题) 已知数列 {an } 各项为正数,且满足 a1 ? 1 , an ?1 ? ⑴求证: an ? an?1 ? 2 ;⑵求 {an } 的通项公式. 解:⑴略. ⑵ an?1 ? ? (an ? 2)2 ? 2 , ∴ an?1 ? 2 ? ? (an ? 2)2 , ∴ 2 ? an?1 ? (an ? 2)2
? ? ∴由⑴知 2 ? an ? 0 ,所以 log 2 (2 ? an ?1 ) ? log 2 ? (2 ? an ) 2 ? ? 2 log 2 (2 ? an ) ? 1 , 1 ?2 ?

1 a n (4 ? a n ) . 2

1 2

1 2

1 2

∴ log2 (2 ? an?1 ) ? 1 ? 2[log2 (2 ? an ) ? 1] , 即 {log2 (2 ? an ) ? 1} 是以 ?1 为首项,公比为 2 的等比数列,

-5-

∴ log2 (2 ? an ) ? 1 ? ?1? 2n?1 , 化简得 an ? 2 ? 21?2 . 练习 4. (2006 年广州二模)已知函数 f ( x) ?
( x ? 1) 4 ? ( x ? 1) 4 (x?0) . ( x ? 1) 4 ? ( x ? 1) 4
n?1

在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? f (an ) ( n ? N? ) ,求数列 {an } 的通项公式. 解: an?1 ? 从而有 ln
(an ? 1)4 ? (an ? 1)4 an ?1 ? 1 (an ? 1)4 ? an ? 1 ? ? ? ?? ? , (an ? 1)4 ? (an ? 1)4 an ?1 ? 1 (an ? 1)4 ? an ? 1 ?
4

an ?1 ? 1 a ?1 ? 4ln n , an ?1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 ? ln 3 ? 0 知: a1 ? 1

由此及 ln

数列 ?ln

? an ? 1 ? ? 是首项为 ln 3 ,公比为 4 的等比数列, ? an ? 1 ?
n?1

a ? 1 n?1 a ? 1 4n?1 34 ? 1 故有 ln n ( n ? N? ) . ? 4 ln 3 ? n ? 3 ? an ? 4n?1 an ? 1 an ? 1 3 ?1

例 8. (三角代换类型)已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ? 式.

1 ? an ?1 ,求 {an } 的通项公 1 ? an ?1

π ? tan ? ?π ? 4 解:令 an?1 ? tan ? ,则 an+1= an ?1 ? ? tan ? ? ? ? , π 4 ? ? 1 ? tan ? tan ? 4 tan
? ∴ an ? tan ? (n ? 1) π ? ? arctan 2 ? . ? 4 ?

-6-


相关文章:
高中数学 第一章 由数列的递推公式求通项公式的常用方...
高中数学由数列的递推公式求通项公式的常用方法拓展资料素材 北师大版必修5_数学_高中教育_教育专区。由数列的递推公式求通项公式的常用方法 准备知识...
高中数学 第一章 求数列通项公式的常用方法拓展资料素...
高中数学求数列通项公式的常用方法拓展资料素材 北师大版必修5_数学_...2 三、 累加法和累乘法 若已知数列的递推公式为 an+1=an+f(n)可采用累加...
...第一章 由数列的递推公式求通项公式的常用方法拓展...
陕西省高中数学由数列的递推公式求通项公式的常用方法拓展资料素材 北师大版必修5_数学_高中教育_教育专区。由数列的递推公式求通项公式的常用方法 ...
高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 高考要求:数列
高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 高考要求:数列...等差数列、等比数列的通项公式与前 项和公式. ⑶...由数列的前几项写出通项. 由递推关系式求通项. ...
...高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 拓展资料:常见的...
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 拓展资料:常见的新定义数列问题_数学_高中教育_教育专区。常见的新定义数列问题近年高考中,常常出现新定义...
高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 聚焦高考:数列
高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 聚焦高考:数列...(湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状...公式,通过对数列知识 点的考查充分体现了通项公式...
...高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 拓展资料:叠加、...
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 拓展资料:叠加、叠乘...叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法...
...高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 拓展资料:数列定...
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 拓展资料:数列定义在解题中的潜在功能_数学_高中教育_教育专区。数列定义在解题中的潜在功能高考作为一种...
...第一章 由数列的递推公式求通项公式的常用方法拓展...
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学由数列的递推公式求通项公式的常用方法拓展资料素材 北师大版必修5_数学_高中教育_教育专区。由数列的递推公式求通项公式的...
高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 数列的概念 参考教案
高中数学(北师大版)必修五教案:1.1 数列的概念 ...理解数列的概念,了解数列的表示法,能够根据通项公式...这个关系用 一个公式来表示,叫做递推公式. (板书)...
更多相关标签: