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第13课时 二次函数的概念、图象与性质


第13课时 二次函数的概念、 图象与性质(二)

第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)

考 点 聚 焦
考点1 二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax2 方程ax2+bx+c 2 判别式b -4ac +bx+c(a≠0)与 =0有实根 的符号 x轴的交点个数 的个数 不相等 的实根 2个

b2-4ac>0 两个________ 相等 的实根 1个 b2-4ac=0 两个________ 没有 b2-4ac<0 __________ 实根 没有

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二) 考点2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征 与a,b,c及判别式b2-4ac的符号之间的关系
项目 字母 a b 字母的符号 a>0 a<0 b= 0 ab>0(b 与 a 同号) ab<0(b 与 a 异号) c=0 c>0 c<0
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图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧 经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交

c

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)

b2-4ac

特殊 关系

与 x 轴有唯一的交点 b -4ac=0 (顶点) 与 x 轴有两个不 b2-4ac>0 同的交点 b2-4ac<0 与 x 轴没有交点 当 x=1 时,y=a+b+c 当 x=-1 时,y=a-b+c 若 a+b+c>0,即 x=1 时,y>0 若 a-b+c>0,即 x=-1 时,y>0
2

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二) 考点3 二次函数图象的平移
任何抛物线 y=a(x-h)2+k(a≠0)都可以通过抛物线 y =ax2 平移得到,因此抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的解析式 通过配方化为 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,我们可以由抛 物线 y=ax2 平移得到.

图 15-1
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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)

防错提醒: (1)上、下平移 k(k>0)个单位,左、右平移 h(h>0) 个单位; (2)规律:上加下减,左加右减. [ 注意 ] 确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点 式,利用顶点的平移来研究图象的平移.

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)

归 类 示 例
? 类型之一

二次函数与一元二次方程

命题角度: 1.二次函数与一元二次方程之间的关系; 2.图象法解一元二次方程; 3.二次函数与不等式(组).

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)
[2013· 株洲] 二次函数 y=2x2+mx+8 的图象如 图 15-2 所示,则 m 的值是( B )

A.-8

B. 8

图 15-2 C.±8

D.6

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)



析 由图可知,抛物线与x轴只有一个交点,

所以,Δ =m2-4×2×8=0, 解得m=± 8. m ∵对称轴为直线x=- <0, 2×2 ∴m>0, ∴m的值为8.

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)
? 类型之二

二次函数的图象的平移

命题角度: 1. 二次函数的图象的平移规律; 2. 利用平移求二次函数的图象的解析式. [2013· 邵阳] 如图 15-3 所示,已知抛物线 y=-2x2
-4x 的图象 E,将其向右平移两个单位后得到图象 F. (1)求图象 F 所表示的抛物线的解析式; (2)设抛物线 F 和 x 轴相交于点 O、点 B(点 B 位于点 O 的 右侧),顶点为点 C,点 A 位于 y 轴负半轴上,且到 x 轴的距离 等于点 C 到 x 轴的距离的 2 倍,求 AB 所在直线的解析式.
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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)

解 析

图15-3 (1)根据二次函数图象左加右减,上加下减的平

移规律进行解答; (2)先根据抛物线F的解析式求出顶点C,和x轴交点B的 坐标,再设A点坐标为(0,y),根据点A到x轴的距离等于点C 到x轴的距离的2倍,列出关于y的方程,解方程求出y的值, 然后利用待定系数法求出AB所在直线的解析式.
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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)
(1)∵抛物线 y=-2x2-4x=-2(x+1)2+2 的图象 E, 将其向右平移两个单位后得到图象 F,∴图象 F 所表示的抛物线 的解析式为 y=-2(x+1-2)2+2,即 y=-2(x-1)2+2. (2)∵y=-2(x-1)2+2,∴顶点 C 的坐标为(1,2). 当 y=0 时,-2(x-1)2+2=0,解得 x=0 或 2, ∴点 B 的坐标为(2,0). 设点 A 坐标为(0,y),则 y<0. ∵点 A 到 x 轴的距离等于点 C 到 x 轴的距离的 2 倍, ∴-y=2×2,解得 y=-4,∴点 A 坐标为(0,-4). 设 AB 所在直线的解析式为 y=kx+b,

? ? ?b=-4, ?k=2, 由题意,得? 解得? ? ? ?2k+b=0, ?b=-4,

∴AB 所在直线的解析式为 y=2x-4.
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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)

点 析

由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所

以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出 原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解 析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.注 意二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律.

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)
? 类型之三

二次函数的图象特征与a,b,c之间的关系 命题角度:
1. 二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 与坐标轴的交点情况与 a,b,c 的关系;

2. 图象上的特殊点与 a,b,c 的关系. [2013· 长沙] 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如 图 15-4 所示,则下列关系式错误的是( D ) A.a>0 B.c>0 C.b2-4ac>0 D.a+b+c>0 图15-4
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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)

解 析

观察图象可知,该抛物线开口向上,所以

a>0,即A对;抛物线与y轴的交点在x轴上方,所以c> 0,即B对;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac> 0,即C对;抛物线顶点在x轴下方,即最小值为a+b+c <0,所以D错.

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)

二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无 交点、与y轴的交点及对称轴的位置,确定a,b,c及b2 -4ac的符号,有时也可把x的值代入,根据图象确定y 的符号.

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)
? 类型之四

二次函数的图象与性质的综合运用 命题角度: 二次函数的图象与性质的综合运用.
[2013· 温州] 如图15-5,抛物线y=a(x-1)2+4与

x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴交抛物 线的对称轴于点D,连结BD,已知点A的坐标为(-1,0). (1)求该抛物线的解析式; (2)求梯形COBD的面积.

图15-5
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第14课时┃二次函数的概念、图象 与性质(一)

解 析

(1)将点A的坐标代入抛物线的解析式,求

出a的值,即可确定抛物线解析式; (2)在抛物线的解析式中,令x=0求出y的值,即求出OC 的长,根据对称轴求出CD的长,令y=0求出x的值,确 定出OB的长,利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的 面积.

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)



(1)将点A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4中,得0

=4a+4,解得a=-1, 则抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4. (2)在抛物线的解析式中,令x=0,得到y=3, 即OC=3. ∵抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,其对称轴为直 线x=1,∴CD=1. ∵A(-1,0),∴B(3,0),即OB=3, (1+3)×3 则S梯形COBD= =6. 2
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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)

(1)二次函数的图象是抛物线,是轴对称图形,充分 利用抛物线的轴对称性,是研究利用二次函数的性质解 决问题的关键. (2)已知二次函数图象上几个点的坐标,一般用待定 系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式. (3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴, 便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标.

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)

回 归 教 材
讨论二次函数的图象与x轴的交点个数
教材母题
?2 x2 ?1 当t取什么值时,抛物线y= +?2x+t? -1与x轴有重 4 ? ? 合的两个交点?

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第14课时┃二次函数的概念、图象 与性质(一)
?2 x2 ?1 把抛物线解析式y= + ?2x+t? -1化为一般形式 4 ? ?



1 2 为y= x +tx+t2-1, 2 1 2 2 ∵t -4× (t -1)=2-t2,当2-t2=0时,抛物线与x轴 2 有重合的两个交点. 由2-t2=0,解得t=± 2.
?2 x2 ?1 因此当t= 2 或- 2 时, 抛物线y= + ?2x+t? -1与x 4 ? ? 轴有重合的两个交点.
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第14课时┃二次函数的概念、图象 与性质(一)

点 析

抛物线与x轴的交点的个数与对应一元二次

方程根的个数是相同的,因此抛物线与x轴的交点与判别 式b2-4ac的关系与一元二次方程中根与判别式的关系是 相通的.中考对二次函数与一元二次方程的考查角度,有 利用二次函数的图象求方程的近似解,也有利用一元二次 方程求二次函数图象与x轴的交点坐标、图象上其他点的 坐标等.

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)

中 考 预 测
已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴 的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+ m=0的两实数根是( B ) A.x1=1,x2=-1 C.x1=1,x2=0 B.x1=1,x2=2 D.x1=1,x2=3

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第15课时┃二次函数的概念、图象 与性质(二)
解 析 ∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m(m为

常数), 3 ∴该抛物线的对称轴是直线x= . 2 又∵二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1,0), ∴根据抛物线的对称性质知,该抛物线与x轴的另 一个交点的坐标是(2,0), ∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根 分别是x1=1,x2=2. 故选B.
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A

D

B

B

考点1 待定系数法确定二次函数的解析式

考点1 待定系数法确定二次函数的解析式
【点评】

根据不同条件,选择不同设法. (1)若已知图象上的三个点,则设所求的二次函数为一般 2 式 y=ax +bx+c(a≠0),将已知条件代入,列方程组,求出 a、b、c 的值; (2)若已知图象的顶点坐标或对称轴方程,函数最值,则 2 设所求二次函数为顶点式 y=a(x+m) +k(a≠0),将已知条 件代入,求出待定系数; (3)若已知抛物线与 x 轴的交点,则设抛物线的解析式为 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),再将另一条件代入,可求 出 a 值.

考点1 待定系数法确定二次函数的解析式
对应训练 1.(2013·宁波)已知抛物线y与x轴交于点A(1,0),B(3,0)且过点C (0,-3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标; (2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上, 并写出平移后抛物线的解析式.

考点1 待定系数法确定二次函数的解析式

考点2 利用二次函数的图象、性质解答

考点2 利用二次函数的图象、性质解答

考点2 利用二次函数的图象、性质解答

考点2 利用二次函数的图象、性质解答
对应训练

考点2 利用二次函数的图象、性质解答


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