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福建省福州三中2011届高三第六次模拟考试(数学文)


福建省福州三中 2010-2011 学年高三下学期第六次模拟考试 (数 学文)
参考公式: ,线性回归方程系数:

? b?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

? ? , a ? y ? bx , V球 ?

4 ? R3 3


?x
i ?1

2

i

? nx

2

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .本试卷共 4 页.满分 150 分.考试 时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 设 M ? {x | x ? 1}, N ? {x | x2 ? 4} ,则 M ? N ? ( ) A. {x | ?1 ? x ? 2} B. {x | ?3 ? x ? ?1} C. {x |1 ? x ? ?4} D. {x | ?2 ? x ? 1} ( ) 2. 已知 i 为虚数单位, 则复数 z ? i (2 ? i ) 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限 )

3. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若S3 ? 9, S5 ? 20, 则a7 ? a8 ? a9 ? ( A.63 B.45 C.36 ) , D.27

? ? ? ? 4. 已知向量 a ? (n,1), b ? (4, n) ,则 n ? 2 是 a / / b (
A.充分不必要条件 C.充要条件 5. 已知函数 f(x)=sin( ?x ?

B.必要不充分条件 D.既不充分又不要必条件

?
3

)( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,则该函数的图象(



? ,0)对称 3 ? C. 关于点( ,0)对称 4
A. 关于点(

? 对称 4 ? D. 关于直线 x= 对称 3
B. 关于直线 x= )

6. 设 m、n 表示不同直线, ? 、 ? 表示不同平面,下列命题中正确的是 ( A. 若 m ?

? ,m ? n,则 n ? ?

B. 若 m ? ? ,n ? ? ,m ? ? ,n ? ? ,则 ? ? ? C. 若 ? ? ? ,m ? D. 若 ? ? ? , m ? 7. 下 列 结 论 错 误 的 是 ...
第 1 页 共 10 页

? ,m ? n,则 n ? ? ? ,n ? m,n ? ? ,则 n ? ?
( )

A. 命 题 “ 若 p , 则 q ” 与 命 题 “ 若 ?q, 则 ? p ” 互 为 逆 否 命 题 ;
x B. 命 题 p : ? x ?[ 0 , 1]e ? , 命 题 q : ? x ? R x ? x?1 ?0则 p ? q 为 真 ; , 1 , 2 ,

C. “ 若 am2 ? bm2 , 则 a ? b ” 的 逆 命 题 为 真 命 题 ; D. 若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题. 8. 函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数是 A.0 B.1 C.2 ( D.3 )

9. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,在包围 该三棱锥的外接球内任取一点,该点落在三棱锥内部的概率为 ( ) A.

4 4
正视图

4 27?

B.

2 27?

C.

4 9?

D.

2 9?

2
侧视图

10. 若圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 上总存在两点关于直线

1 1 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 对称,则 ? 的最小值为( a b
A.1 11. 已知双曲线 B.2 C.3

) D.4

俯视图

视图

y 2 x2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 x2 ? 4 y 的焦点重合,且双曲线的实轴长 2 a b
( C. )

是虚轴长的一半,则该双曲线的方程为

5 A. y ?
2

5 2 x ?1 4

B.

x2 y2 ? ?1 5 4

y2 x2 ? ?1 5 4
y
3 2 1

5 D. x ?
2

5 2 y ?1 4

12. 图中的阴影部分由底为 1 ,高为 1 的等腰三角 形及高为 2 和 3 的两矩形所构成.设函数 S ? S ( a ) ( a ≥ 0 ) 是图中阴影部分介于平行 线 y ? 0 及 y ? a 之间的那一部分的面积, 则函数 S ( a ) 的图象大致为( )
S(a) S(a)

y=a
1 2 3

O
S(a)

x

S(a)

O

1

2

3 a

O

1

2

3 a

O

1

2

3

a

C D 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡相应横线上. 频率/组距 13. 如图所示的是某班 60 名同学参加 2011 年高中数学毕业
0.03 0.025 0.015 0.01 0.005

A

B

O

1

2

3

a

第 2 页 共 10 页

会考所得成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布 直方图,根据图中可得出的该班不及格(60 分以下)的同 学的人数为

?x ? y ? 2 ? 0 ? 14.若变量 x、y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若 2x ? y 的最大值为 ?1 ?y ? a ?
则a ? 15. 右图所示的程序流程图输出 I 的结果是______________
开始 S←1

16. 若对任意 x ? A, y ? B( A ? R, B ? R) 有唯一确定的 f ( x, y) 与之对应,则称 f ( x, y) 为关于 x,y 的二元函数,现定义满足 下列性质的 f ( x, y) 为关于实数 x,y 的广义“距离”: (1)非负性: f ( x, y) ? 0 ,当且仅当 x=y 时取等号; (2)对称性: f ( x, y) ? f ( y, x); (3)三角形不等式: f ( x, y) ? f ( x, z ) ? f ( z, y) 对任意的 实数 z 均成立。 给出三个二元函数:① f ( x, y) ?| x ? y |; ② f ( x, y) ? ( x ? y)2 ; ③ f ( x, y) ?
I←3 是

S > 100 否 S←S×I I←I+2

输出 I 结束

第 15 题图

x ? y.


则所有能够成为关于 x,y 的广义“距离”的序号为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3sin x ? cos x, 1) , n ? (cos x, (1) 求函数 f (x) 的最小正周期;

u r

r

r r 1 ) ,若 f ( x) ? m ? n . 2

(2) 已知 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a ? 3, f ( (A 为锐角) 2sin C ? sin B ,求 A、 c、b 的值. , 18. (本小题满分 12 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有如下对应数据:

A ? 3 ? )? 2 12 2

x
y
(Ⅰ)求回归直线方程;
第 3 页 共 10 页

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(Ⅱ)试预测广告费支出为 10 万元时,销售额多大? (Ⅲ) 在已有的五组数据中任意抽取两组, 求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对
2 值不超过 5 的概率。 (参考数据: ? xi ? 145 i ?1 5

? yi2 ? 13500
i ?1

5

?x y
i ?1 i

5

i

? 1380 )

19. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的上顶点坐标为 (0, 3) ,离心率为 .(Ⅰ)求 2 2 a b

椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点, A 为椭圆左顶点, F 为椭圆右焦点,求 PA ? PF 的取值范围.

??? ??? ? ?

20. (本小题满分 12 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , D 为 BC 中点, E 为 CC1 中点,侧面 B

BCC1B1 为正方形。
A (1) 证明: AC // 平面 AB1D ; 1 (2) 证明: BE ? AB1 ; (3) 设 ?BAC ? ? ,若 AB ? 2 ,求 VA1 ? ABC 的最大值。 A1 B1

D C

E

C1

21. (本小题满分 12 分) 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在 校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过 6000 元.某大学 2010 届毕业生王某在本科期间共申请了 24000 元助学贷款,并承诺在毕业后 3 年内 (按 36 个月计)全部还清. 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1500 元,第 13 个月开始,每月工资 比前一个月增加 5% 直到 4000 元.王某计划前 12 个月每个月还款额为 500 ,第 13 个月 开始,每月还款额比前一月多 x 元. (Ⅰ)用 x 和 n 表示王某第 n 个月的还款额 an ; (Ⅱ)若王某恰好在第 36 个月(即毕业后三年)还清贷款,求 x 的值; (Ⅱ)当 x ? 40 时,王某将在第几个月还清最后一笔贷款?他当月工资的余额是否能满
第 4 页 共 10 页

足每月 3000 元的基本生活费? (参考数据: 1.0518 ? 2.406,1.0519 ? 2.526,1.0520 ? 2.653,1.0521 ? 2.786 )

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 1 ( x ? R ) ,其中 a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极大值和极小值; (Ⅲ)当 a ? 2 时,是否存在函数 y ? f ( x) 图像上两点以及函数 y ? f ?( x) 图像上两点,使 得以这四点为顶点的四边形 ABCD 满足如下条件:○四边形 ABCD 是平行四边形;○ AB ? x 1 2 轴;○ | AB |? 4 。若存在,指出四边形 ABCD 的个数;若不存在,说明理由。 3

2011 年福州三中高三文科数学模拟考答案 一、选择题 1-6 DBDAAD 7-12 CBABAC

二、填空题 13. 15

14. -1

15. 9

16. ○ 1

三、解答题 17. 解 :(1) f ( x) ? m ? n ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

r r

1 3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? 2 2 2 2

?

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2

∴ f ( x ) 的最小正周期为 ? .

第 5 页 共 10 页

(2)∵

A ? 3 ? ? f ( ? ) ? sin A ? , ? 0 ? A ? ,? A ? 2 12 2 2 3

∵ 2sin C ? sin B .由正弦定理得 b ? 2c, ①
2 2 ∵ a ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? b ? c ? 2bc cos

?
3

, ②

解①②组成的方程组,得 ? 18. (Ⅰ)解: x ?
5

?c ? 3 . ?b ? 2 3

2+4+5+6+8 25 30+40+60+50+70 250 = ? 5, y ? = ? 50 5 5 5 5
5

2 又已知 ? xi ? 145 , ? xi yi ? 1380 i ?1 i ?1

? 于是可得: b ?

? x y ? 5x y
i ?1 5 i i

5

?x
i ?1

?

2 i

? 5x

2

1380 ? 5 ? 5 ? 50 ? ? ? 6.5 , a ? y ? bx ? 50 ? 6.5 ? 5 ? 17.5 145 ? 5 ? 5 ? 5

因此,所求回归直线方程为: y ? 6.5x ?17.5 (Ⅱ)解: 根据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 万元时,

?

? ? 6.5?10 ?17.5=82.5 (万元) 即这种产品的销售收入大约为 82. 5 万元. y
(Ⅲ)解:

x
y

2 30 30.5

4 40 43.5

5 60 50

6 50 56.5

8 70 69.5 (30,40) ,

? y

基本事件: (30,60)(30,50)(30,70)(40,60)(40,50)(40,70) , , , , , , (60,50)(60,70)(50,70)共 10 个 , , 两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过 5: (60,50) 所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率为 1 ?

1 9 ? 10 10

19. (Ⅰ)由题意得椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

第 6 页 共 10 页

(Ⅱ)设 P( x, y) ,则 PA ? (?2 ? x, ? y), PF ? (1 ? x, ? y) ,

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? 1 PA ? PF ? (?2 ? x, ? y )(1 ? x, ? y ) ? ( x ? 2)( x ? 1) ? y 2 ? x 2 ? x ? 2 ? y 2 ? x 2 ? x ? 1(?2 ? x ? 2) 4
B

??? ??? ? ? ? PA ? PF ?[0, 4]
20. (1)连 A B 交 AB1 于 O,因为 D 为 BC 中点,所以 AC // OD 1 1 又? AC ? 面 AB1D , OD ? 面 AB1D 1

D A C

E B1

? AC // 平面 AB1D 1
(2)因为 BCC1B1 为正方形, D 为 BC 中点, E 为 CC1 中点, 所以△ B1BD ? △ BCE , 所以 ?EBC ? ?BB1D 又因为 ?BB1D ? ?BDB1 ? 900 ,所以 ?EBC ? ?BDB1 ? 900 所以 BE ? B1D 因为 AB ? AC , D 为 BC 中点,所以 AD ? BC 又因为面 ABC ? 面 BCC1B1 ,面 ABC ? 面 BCC1B1 ? BC , AD ? 面 ABC 所以 AD ? BCC1B1 ,所以 AD ? BE 又因为 AD ? B1D ? D ,所以 BE ? 面 AB1D ,所以 BE ? AB1 (3)因为 AA1 ? 面 ABC,所以 VA1 ? ABC ? A1

C1

1 1 1 ? ? AB ? AC ? sin ? ? AA1 ? ? 2 ? sin ? ? BC 3 2 6

在△ABC 中, BC 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? cos? ? 4 ? 4cos? (0 ? ? ? ? ) 所以

1 2 2 VA1 ? ABC ? ? 2 ? sin ? ? 4(1 ? cos ? ) ? (1 ? cos 2 ? )(1 ? cos ? ) ? cos3 ? ? cos 2 ? ? cos ? ? 1 6 3 3
令 t ? cos? , f (t ) ? t ? t ? t ? 1, t ? (?1,1)
3 2 2 则 f ?(t ) ? 3t ? 2t ? 1,令 f ?(t ) ? 0 ,得 t ? ?

1 或 t ? 1 (舍去) 3

因为 t ? (?1, ? ) 时, f ?(t ) ? 0 , t ? ( ? ,1) 时, f ?(t ) ? 0 所以 f (t ) 在 ( ?1, ? ) 递增,在 ( ? ,1) 递减,故 max ? f ( ? ) ?

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

32 1 ,此时 cos ? ? ? 27 3

第 7 页 共 10 页

所以当 cos ? ? ?

1 2 32 8 6 时, VA1 ? ABC 取最大值 ? 3 3 27 27

?500(1 ? n ? 12, n ? N * ) ? 21. 解: (Ⅰ) an ? ? * ?500 ? (n ? 12) x(13 ? n ? 36, n ? N ) ?
(Ⅱ)依题意,从第 13 个月开始,每个月的还款额为 an 构成等差数列,其中 a1 ? 500 ? x , 公差为 x . 从而,到第 36 个月,王某共还款 12 ? 500 ? 24a1 ? 令 12 ? 500 ? (500 ? x) ? 24 ?

24 ? (24 ? 1) ? x ? 24000 ,解之得 x ? 20 (元). 2 即要使在三年全部还清,第 13 个月起每个月必须比上一个月多还 20 元.
(Ⅲ)设王某第 n 个月还清,则应有

24 ? (24 ? 1) ?x 2

(n ? 12)(n ? 12 ? 1) ? 40 ? 24000 2 2 整理可得 n ? 2n ? 1068 ? 0 ,解之得 n ? ?1 ? 1069 ? ?1 ? 32 ? 31,取 n ? 32 . 即王某工作 32 个月就可以还清贷款. 12 ? 500 ? (500 ? 40) ? (n ? 12) ?
这个月王某的还款额为

(31 ? 12) ? (31 ? 12 ? 1) ? 40] ? 900 (元) 2 20 第 32 个月王某的工资为 1500 ?1.05 ? 1500 ? 2.653 ? 3979.5 元. 因此,王某的剩余工资为 3979.5 ? 900 ? 3079.5 ,能够满足当月的基本生活需求. 24000 ? [12 ? 500 ? (500 ? 40) ? (31 ? 12) ?
22. (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x3 ? x2 ? x ? 1 ,得 f (2) ? ?1 ,且 f ?( x) ? ?3x2 ? 2 x ? 1 ,

f ?(2) ? ?7 . , 所 以 , 曲 线 f ( x) ? ? x3 ? 2x2 ? x ? 1 在 点 ( 2 f y ? 1 ? ?7( x ? 2) ,
整理得 7 x ? y ? 13 ? 0 . (Ⅱ)解: f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 1 , f ?( x) ? ?3x2 ? 2ax ? a2 ? ?(3x ? a)( x ? a) . 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?

( 2 处 )的 切 线 方 程 是 )

a 或 x ? a. 3

由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论. (1)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

x
f ?( x )

a? ? ? ?∞,- ? 3? ?

?

a 3

? a ? ? ? ,a ? ? 3 ?

a
0

(a,∞) ?

?

0

?

?

第 8 页 共 10 页

因此,函数 f ( x ) 在 x ? ?

a 处取得极小值 3

? a? f ? ? ? ,且 ? 3?

5 ? a? f ? ? ? ? 1 ? a3 ; 27 ? 3?

函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极大值 f ( a ) ,且 f (a) ? 1 ? a3 . (2)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

x
f ?( x )

? ?∞,a ?
?

a
0

a? ? ? a,- ? 3? ?

?

a 3

? a ? ? ? ? ,∞? ? 3 ?

?

0

?

因此,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 f ( a ) ,且 f (a) ? 1 ? a3 ; 函数 f ( x ) 在 x ?

a 处取得极大值 3

? a? f ? ? ? ,且 ? 3?

5 ? a? f ? ? ? ? 1 ? a3 . 27 ? 3?

(Ⅲ)若存在满足题意的四边形 ABCD,则方程 | f ( x) ? f ?( x) |? 4 至少有两个相异实根,且 每个实根对应一条垂直于 x 轴且与 f ( x)、f ?( x) 图像均相交的的线段, 这些线段长度 均相等。

f ( x) ? ? x3 ? 2 x2 ? 4 x ? 1, f ?( x) ? ?3x2 ? 4x ? 4 ? ?(3x ? 2)( x ? 2) | f ( x) ? f ?( x) |?| ? x3 ? 2x2 ? 4x ?1 ? (?3x2 ? 4 x ? 4) |?| x3 ? 5x2 ? 3|? 4
3 2 2 1 ○ x ? 5 x ? 3 ? 4 时, x ? 5x ? 1 ? 0 ,令 g ( x) ? x ? 5x ?1 , g ?( x) ? 3x ?10 x
3 2 3 2

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?

10 3
0

x
g ?( x )

? ?∞,0?
?

? 10 ? ? 0, ? ? 3?

10 3
0

10 ( , ∞) ? 3

0

?

?

由 表 格 知 , g (0) 为 g ( x) 的 极 大 值 , g (

10 ) 为 g ( x) 的 极 大 值 , 而 g (0) ? ?1 ? 0, 3

10 500 g( ) ? ? ? 1 ? 0 ,故 g ( x) 的图像与 x 轴有且只有一个交点, g ( x) 有且只有一个零 3 27
点。
3 2 2 2 ○ x ? 5x ? 3 ? ?4 时, x ? 5 x ? 7 ? 0 ,令 g ( x) ? x ? 5x ? 7 , g ?( x) ? 3x ?10 x ,
3 2 3 2

由 ○ 知 g (0) 为 g ( x) 的 极 大 值 , g ( 1

10 ) 为 g ( x) 的 极 大 值 , 而 g (0) ? 7 ? 0, 3

第 9 页 共 10 页

10 500 g( ) ? ? ? 7 ? 0 ,故 g ( x) 的图像与 x 轴有三个交点, g ( x) 有三个零点。 3 27
由○○知, 1 2 方程 | x3 ? 5x2 ? 3|? 4 有四个不同的实根, 从小到大依次记为 x1、x2、x3、x4 , 这 四 个 根 对 应 的 四 条 线 段 中 的 每 两 条 对 应 一 个 平 行 四 边 形 ABCD , 共 有

( x1、 x2),( x1 x) , (、 ),4 ( x2 ),x3 、 x2 x、 )3 个,所以满足题意的平行四边 、 3 x1 x 、 ( ), 4 ( x6 x4
形 ABCD 有 6 个。

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