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2013届高三数学寒假作业4(数列1)


2013 届高三数学寒假作业 4(数列 1)
1.35; 6.6; 2. 2n ?10 ; 7. ?7 ; 8. 3. ?

1 ; 2
9.

4.1 或

1 ; 2
10.4;

5. 2n ? 2n ? 2 ;
2

8 ; 3

7 ; 15

11.10 ;提示:当 1≤ n ≤4 时, a n >0,当 6≤ n ≤9 时, a n <0,但其绝对值要小于 1 ≤ n ≤4 时相应的值,当 n ? 5,10 时 an ? 0∴当 1≤ n ≤10 时,均有 S n >0. 12. 3
k ?1

nk ;提示: {a n } 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,∴ an ? 2n ;∴ ank ? 2?
k

3k ?1 ,∴ nk ? 3k ?1 . a1 , a3 , a n1 ,? a n ,? 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列,∴ ank ? 2?
13.解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a ? 3d ? ?3, ? a ? 2, ? a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ? d ? ?3, ? d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8. 所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (2)当 an ? ?3n ? 5 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3. 记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n .

当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7) (n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ?5? ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2 n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2 14.解: (1)由已知 an ?1 ? rSn 可得 an ? 2 ? rSn ?1 ,两式相减可得

an? 2 ? an?1 ? r ( S ) , n ?1 ? S n ? ra n ?1
又 a2 ? ra1 ? ra



an ? 2 ? (r ? 1)an ?1 ,

∴r=0 时,数列 ? an ? 为:a,0,…,0,…; 当 r ? 0, r ? ?1 时,由已知 a ? 0 得 an ? 0 ( n ? N ) ,
*

∴由 an? 2 ? (r ? 1)an?1 可得

an ? 2 ? r ? 1? n ? N * ? . an ?1
n?2

∴ a2 , a3 ,? an ,? 成等比数列,∴当 n ? 2 时, an ? r (r ? 1) 综上,数列 ? an ? 的通项公式为 an ? ?

a.

? a,

n ?1

n?2 ? r (r ? 1) a, n ? 2 * (2)对于任意的 m ? N ,且 m ? 2 , am?1 , am , am? 2 成等差数列,证明如下:

当 r=0 时,由(1)知, am ? ?
*

? a, m ? 1 . ?0, m ? 2
*

∴对于任意的 m ? N ,且 m ? 2 , am?1 , am , am? 2 成等差数列; 当 r ? 0, r ? ?1 时,若存在 k ? N ,使得 Sk ?1 , Sk , Sk ? 2 成等差数列, 则 Sk ?1 ? Sk ? 2 ? 2Sk ,∴ 2Sk ? 2ak ?1 ? ak ? 2 ? 2Sk ∴对于任意的 m ? N ,且 m ? 2 有 am?1 ? ?2am ,
*

即 ak ? 2 ? ?2ak ?1 ∴ am ? 2 ? 4am .

由(1)知, a2 , a3 ,? an ,? 成等比数列且公比 r ? 1 ? ?2 , ∴ am?1 ? am ? 2 ? 2am ,∴ am?1 , am , am? 2 成等差数列, 综上,对于任意的 m ? N ,且 m ? 2 , am?1 , am , am? 2 成等差数列.
*

n an n ?1 方法一:∴ (n ? 1)an?1 ? nan ? 0 ,∴ ?nan ? 是以 1 为首项,0 为公差的等差数列.
15. 解: (1)∵ an ?1 ? ∴ nan ? 1 , ∴ an ? 方法二:∴

a a a2 1 2 n ?1 ? , 3 ? , …, n ? (n ? 2) a1 2 a2 3 an ?1 n a 1 1 ∴累加可得 n ? (n ? 2) ∴当 n ? 2 时, an ? ;∵ n ? 1 时 a1 ? 1 亦满足上式. a1 n n 1 ∴ an ? . n 1 1 1 (2) an ?1 ? an ? 2 ? ??? ? a2 n ? ? ? ??? ? n ?1 n ? 2 2n 令 bn ? an ?1 ? an ? 2 ? ??? ? a2 n ,∴ bn ?1 ? an ? 2 ? an ?3 ? ??? ? a2 n ? 2 1 1 1 1 ∴ bn ?1 ? bn ? a2 n ? 2 ? a2 n ?1 ? an ?1 ? ? ? ? 2n ? 2 2n ? 1 n ? 1 2(2n ? 1)(n ? 1) ∴ ?n ? 1, n ? N , bn ?1 ? bn ? 0 恒成立; ∴数列 ?bn ? 对 n ? 2 , n ? N 上单调递增.
∴ (bn ) min ? b2 ? a3 ? a4 ?

1 . n

1 1 7 1 2 ? ? ;∴由题意可知 log a (a ? 1) ? ? (bn ) min 3 4 12 12 3

1? 5 1 ; ∴1 ? a ? . 2 a 16. (1)∵ 3Sn ? 5an ? an ?1 ? 3Sn ?1 (n ? 2) ,∴ 3Sn ? 3Sn ?1 ? 5an ? an ?1 (n ? 2) ,
∴ log a (a ? 1) ? ?1 又 a ? 1 ;∴ 0 ? a ? 1 ? ∴ 3an ? 5an ? an ?1 (n ? 2) ,即 2an ? an ?1 (n ? 2) ;∵ a1 ? 2 ,

1 1 1 为公比的等比数列. ∴ an ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 . 2 2 2 1 (2) bn ? (2n ? 1)an ? (2n ? 1)( ) n ?2 2 1 ?1 1 0 11 1 n?2 ∴ Tn ? ( ) ? 3( ) ? 5( ) ? ? ? (2n ? 1)( ) , 2 2 2 2 1 1 0 11 1 2 1 Tn ? ( ) ? 3( ) ? 5( ) ? ? ? (2n ? 1)( ) n?1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ?1 ? 1 2 n?2 ? ∴ Tn ? 2 ? 2 ?1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? ? (2n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 ? ( ) n ?1 1 2 ? 2 ? 2? ? (2n ? 1)( ) n ?1 1 2 1? 2 1 1 ? 6 ? ( ) n ?3 ? (2n ? 1)( ) n ?1 , 2 2 1 n?4 1 n?2 1 ∴ Tn ? 12 ? ( ) ? (2n ? 1)( ) ? 12 ? (2n ? 3)( ) n ?2 . 2 2 2
∴ ? an ? 是以 2 为首项,


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