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立体几何练习题及答案


立体几何
1.如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 中,CA=CB=1, ?BCA ? 90 ? ,棱 AA1 ? 2 ,M、 N 分别 A1B1、A1A 是的中点. (1) 求 BM 的长; (2) 求 cos? BA1 , CB1 ? 的值; (3) 求证: A1 B ? C1 N . A1 M A x 2.如图,三棱锥 P—ABC 中, P

C ? 平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点, 且 CD ? 平面 PAB. (1) 求证:AB ? 平面 PCB; P (2) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; (3)求二面角 C-PA-B 的大小的余弦值.
D

z C1 N C B B1

y

B

C

A

3.如图所示,已知在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a(a>0) ,PA⊥平面 AC,且 PA=1. P (1)试建立适当的坐标系,并写出点 P、B、D 的坐标; (2)问当实数 a 在什么范围时,BC 边上能存在点 Q, 使得 PQ⊥QD? (3)当 BC 边上有且仅有一个点 Q 使得 PQ⊥QD 时, 求二面角 Q-PD-A 的余弦值大小. A D B Q C

4. 如图,在底面是棱形的四棱锥 P? ABCD 中, ?ABC ? 60 ? , PA ? AC ? a, PB ? PD ? 2 a ,点 E P 在 PD 上,且 PE : ED =2:1. (1) 证明 PA ? 平面 ABCD ; (2) 求以 AC 为棱, EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小; (3) 在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF ∥平面 AEC ?证明你的结论. B E A D C

5. 如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG⊥平面 ABCD,垂足为 G,G

在 AD 上,且 PG=4, AG ?

1 GD ,BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点. 3

(1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值; (2)求点 D 到平面 PBG 的距离; (3)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求

PF 的值. FC

P

F A G D

6.已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD,E 是 SC 上的任意一点. (1)求证:平面 EBD⊥平面 SAC; (2)设 SA=4,AB=2,求点 A 到平面 SBD 的距离; SA (3)当 的值为多少时,二面角 B-SC-D 的大小为 120° ? AB

B

E

C

7. (直线与直线的距离)如图,在三角形⊿ABC 中,∠ACB=90? ,AC=b,BC=a,P 是⊿ABC 所在平 面外一点,PB⊥AB,M 是 PA 的中点,AB⊥MC, 求异面直 MC 与 PB 间的距离.
A

P

M

N

B

C

8. (直线与直线的关系)已知长方体 ABCD— A1B1C1D1 中, A1A=AB, E、F 分别是 BD1 和 AD 中点. (1)求异面直线 CD1、EF 所成的角; (2)证明 EF 是异面直线 AD 和 BD1 的公垂线.

9. (直线与直线的关系)⊿ABC 是边长为 2 的正三角形,在⊿ABC 所在平面外
3 7 有一点 P,PB=PC= 2 ,PA= 2 ,延长 BP 至 D,使 BD= 7 ,E 是 BC 的中点,

求 AE 和 CD 所成角的大小和这两条直线间的距离.

10. (直线与直线所成角)在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E、F 分别是 AB、CD 的中点,EF= 3 ,求 AD 与 BC 所成角的大小 (本题考查中位线法求异面二直线所成角)

11. (直线与直线的关系)如图,P 是正角形 ABC 所在平面外一点,M、N 分别 是 AB 和 PC 的中点,且 PA=PB=PC=AB=a。 (1)求证:MN 是 AB 和 PC 的公垂线 (2)求异面二直线 AB 和 PC 之间的距离

D

12.(直线与直线所成角) 设空间四边形 ABCD,E、F、G、H 分别是 AC、BC、DB、DA 的中点,若 AB=12 2 ,CD=4 且四边形 EFGH 的面积为 12

2,

H C

G

3 ,求 AB 和 CD 所成的角.
A

E

F B

13.(直线与直线所成角) 已知空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N 分别为 BC、AD 的中点。 求:AM 与 CN 所成的角的余弦值;

14.(线线、线面垂直) 已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证 MN⊥面 PCD.(12 分)

15.(线面的关系) 已知正三棱柱 ABC-A1BC1,底面边长为 8,对角线 B1C=10,D 为 AC 的中点. (1) 求证 AB1∥平面 C1BD; (2) 求直线 AB1 到平面 C1BD 的距离.

16. (线面的关系)已知:ABCD 是矩形,SA⊥平面 ABCD,E 是 SC 上一点.

求证:BE 不可能垂直于平面 SCD.

17.(求直线长) 已知 PA,PB,PC 与平面α 所成的角分别为 60°,45°,30°,PO⊥平 面α ,O 为垂足,又斜足 A,B,C 三点在同一直线上,且 AB=BC=10cm,求 PO 的长.

18.(线面垂直) 已知:如图,P 是∠BAC 所在平面外一点,PD⊥AB,D 为垂足,PE⊥AC, E 为垂足,在平面 BAC 内过 D 作 DF⊥AB,过 E 作 EF⊥AC,使得 EF∩DF=F.连结 PF, 求证:PF⊥平面 BAC.

19.(线面角) 已知各棱长均为 a 的正四面体 ABCD,E 是 AD 边的中点,连结 CE.求 CE 与底面 BCD 所成角的正弦值.

20.(点面距离) 已知 ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC 垂 直于 ABCD 所在的平面,且 GC=2.求点 B 到平面 EFG 的距离.

21.(二面角) 在立体图形 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA= AB,Q 是 PC 中点. AC,BD 交于 O 点. (Ⅰ)求二面角 Q-BD-C 的大小: (Ⅱ)求二面角 B-QD-C 的大小.

22. 面面垂直) 已知如图, ? 平面 ABC, ( P PA=PB=PC, ∠APB=∠APC=60°, ∠BPC=90 ° 求证:平面 ABC⊥平面 PBC 解析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证 明直线与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D, 证明 AD 垂直平 PBC 即可

23.(综合) 已知平面α ⊥平面β ,交线为 AB,C∈ ? ,D∈ ? , AB ? AC ? BC ? 4 3 , E 为 BC 的中点,AC⊥BD,BD=8. ①求证:BD⊥平面 ? ; ②求证:平面 AED⊥平面 BCD; ③求二面角 B-AC-D 的正切值.

24.(二面角) 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 把△ABD 折起,使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′落在 BC 上,求二面角 A-BD-C 的大小的余弦值.

25.(线线之间的关系) 已知空间四边形 ABCD 中,AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F 分别为 AB、CD 的中点, (1)求证:EF 为 AB 和 CD 的公垂线 (2)求异面直线 AB 和 CD 的距离

3 3 , 26.(综合) 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长的 3,侧棱 AA1= 2 D 是 CB
延长线上一点,且 BD=BC. (Ⅰ)求证:直线 BC1//平面 AB1D; (Ⅱ)求二面角 B1—AD—B 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 C1—ABB1 的体积.
C1 B1 A1

C

A

B

D

27. (线线角、二面角)如图,正方体 AC1 中,已知 O 为 AC 与 BD 的交点,M 为 DD1 的 中点。 (1)求异面直线 B1O 与 AM 所成角的大小。 (2)求二面角 B1—MA—C 的正切值。 (14 分)

28. (线面垂直)如图:在斜边为 AB 的 Rt△ABC 中,过点 A 作 PA⊥平面 ABC,AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F, (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)求证:PB⊥平面 AEF. P E F A C B

29.(综合)如图,已知平行六面体 ABCD? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是 菱 形 , 且 ?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD ? 60 ,( 1 ) 证 明 :
0

C1C ? BD ;
CC1 ? 3 2 ,记面 C1 BD 为α ,面 CBD 为 β,求二面

(II)假定 CD=2,

角 α -BD -β 的平面角的余弦值;

CD CC1 的值为多少时,能使 A1C ? 平面C1 BD ?请给出证明. (III)当

30. (线面关系)空间四边形 PABC 中,PA、PB、PC 两两相互垂直,∠PBA=45°,∠PBC =60°,M 为 AB 的中点.(1)求 BC 与平面 PAB 所成的角;(2)求证:AB⊥平面 PMC.

. 31. ( 在空间四边形 ABCP 中,PA⊥PC,PB⊥BC,AC⊥BC.PA、PB 与平面 ABC 所成角 分别为 30°和 45°。(1)直线 PC 与 AB 能否垂直?证明你的结论;(2)若点 P 到平面 ABC 的 距离为 h,求点 P 到直线 AB 的距离.

1 解析:以 C 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz . (1) 依题意得 B(0,1,0) ,M(1,0,1) ? BM ? (1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3 . . z (2) 依题意得 A1(1,0,2) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0) 1(0,1,2). ,B
? BA1 ? (1,?1,2), CB1 ? (0,1,2), BA1 ? CB1 ? 3, BA1 ? 6 , CB1 ? 5

C1 A1 M C N

B1

? cos ? BA1 , CB1 ??

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

30 . 10
1 1 2 2 1 1 2 2

B A x

y

(3) 证明:依题意得 C1(0,0,2) ( , ,2),? A1B ? (?1,1,?2),C1N ? ( , ,0) . ,N
1 1 ? A1B ? C1 N ? ? ? ? 0 ? 0,? A1B ? C1 N 2 2

2.解析: (1) ∵PC⊥平面 ABC, AB ? 平面 ABC, ∴PC ? AB.∵CD ? 平面 PAB, AB ? 平面 PAB, ∴CD ? AB.又 PC ? CD ? C ,∴AB ? 平面 PCB. (2 由(I) AB ? 平面 PCB,∵PC=AC=2, 又∵AB=BC,可求得 BC= 2 .以 B 为原点, 如图建立坐标系.则A(0, 2,0) ,B(0,0,0) ,C( 2,0,0) ,P( 2,0,2) . ??? ? ??? ? AP =( 2,- 2,2), BC =( 2,0,0). P ??? ??? ? ? 则 AP ? BC = 2× 2+0+0=2. ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 2 AP ? BC cos ? AP,BC ? = ??? ??? = = . ? ? 2 AP ? BC 2 2 ? 2 ∴异面直线 AP 与 BC 所成的角为

z

D

? . 3

B

C ??? ? ??? ? AB =(0, - 2,0), AP =( 2, x (3)设平面 PAB 的法向量为 m= (x,y,z). - 2,2), ??? ? ? AB ? m ? 0, ? ? 2 y ? 0, ? y ? 0, ? ? ? 则 ? ??? 即? 解得 ? 令 z= -1,得 m= ( 2 ,0,-1). ? ?x ? ? 2z ? 2 x ? 2 y ? 2z ? 0. ? AP ? m ? 0. ? ? ?

A y

由 PC ? 平面 ABC 易知:平面 PAC ? 平面 ABC,取 AC 的中点 E,连接 BE,则 平面 PAC 的一个法向量, 为 n= (1,1,0).

?

BE 为

BE ? (

?

2 2 2 , ,0) ? (1,1,0) ,故平面 PAC 的法向量也可取 2 2 2

cos ? m, n ??

3 2 3 m?n = . ∴二面角 C-PA-B 的大小的余弦值为 . ? m n 3 3 3? 2

z P

N

3.解析: (1)以 A 为坐标原点,AB、AD、AP 分 别为 x、y、z 轴建立坐标系如图所示. ∵PA=AB=1,BC=a, ∴P(0,0,1) ,B(1,0,0) , D(0,a,0) . (2)设点 Q(1,x,0) ,则

???? ??? ? DQ ? (1, x ? a,0), QP ? (?1, ? x,1) .
由 DQ ? QP ? 0 ,得 x2-ax+1=0. 显然当该方程有非负实数解时,BC 边上才存在点 Q,使得 PQ⊥QD,故只须⊿=a2-4≥0. 因 a>0,故 a 的取值范围为 a≥2. (3)易见,当 a=2 时,BC 上仅有一点满足题意,此时 x=1,即 Q 为 BC 的中点. 取 AD 的中点 M,过 M 作 MN⊥PD,垂足为 N,连结 QM、QN.则 M(0,1,0) ,P(0, 0,1) ,D(0,2,0) .∵D、N、P 三点共线, ???? ? ???? ???? MD ? ? MP (0,1,0) ? ?(0, ?1,1) (0,1 ? ?, ? ) ? ? ? ∴ MN ? . 1? ? 1? ? 1? ? ???? ??? ? ? ??? ? 又 PD ? (0,2, ?1) ,且 MN ? PD ? 0 ,

???? ??? ?

(0,1 ? ?, ?) 2 ? 3? 2 ? (0,2, ?1) ? ?0?? ? . 1? ? 1? ? 3 2 2 ???? (0,1 ? 3 , 3 ) ? 1 2 ? (0, , ) . 于是 MN ? 2 5 5 1? 3 ???? ???? ???? ? ? ???? ??? ? ? 1 2 故 NQ ? NM ? MQ ? ?MN ? AB ? (1, ? , ? ) . 5 5 ??? ???? ? 1 2 ∵ PD ? NQ ? 0 ? 2 ? (? ) ? (?1) ? (? ) ? 0 , 5 5 ??? ???? ? ∴ PD ? NQ . (资料来源:www.maths168.com)
故 ∴∠MNQ 为所求二面角的平面角. ???? ???? ? NM ? NQ 6 ? ∵ cos ?MNQ ? ???? ???? ? , | NM |? NQ | 6 | 注:该题还有很多方法解决各个小问,以上方法并非最简.

4 解析: (1)传统方法易得证明(略) (2)传统方法或向量法均易解得 ? ? 30? ; (3)解 以 A 为坐标原点,直线 AD, AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直于平面 PAD 的直线 为 x 轴,建立空间直角坐标系(如图) .由题设条件,相关各点的坐标为
A(0,0,0), B( 3 1 3 1 a,? a,0),C ( a, a,0) 2 2 2 2
P z

F A B x C

E D y

2 1 D(0, a,0), P(0,0, a), E (0, a, a) 3 3

所以 AE ? (0, a, a) , AC ? (
AP ? (0,0, a ), PC ? (
BP ? (?

2 3

1 3

3 1 a, a,0) , 2 2

3 1 a, a,?a) 2 2

3 1 3 1 a, a, a) ,设点 F 是棱 PC 上的点, PF ? ? PC ? ( ?a, ?a,??a) ,其中 0 ? ? ? 1 ,则 2 2 2 2

? 3 3 a (1 ? ? ) ? a?1 ? 2 ? 2 1 2 3 1 ?1 BF ? BP ? PF ? ( a(? ? 1), a(1 ? ? ), a(1 ? ? )) .令 BF ? ?1 AC ? ?2 AE 得 ? a (1 ? ? ) ? a?1 ? a?2 2 2 3 2 2 ? 1 ? a (1 ? ? ) ? a?2 ? 3 ?

解得 ? ? , ?1 ? ? , ?2 ? , ? ? 即

1 2

1 2

3 2

1 1 3 时,BF ? ? AC ? AE . 亦即, 是 PC 的中点时,BF, AC, AE F 2 2 2

共面,又 BF ? 平面 AEC ,所以当 F 是 PC 的中点时, BF ∥平面 AEC .

5 解析:(1)以 G 点为原点, GB 、 、 为 x 轴、y 轴、 GC GP z 轴建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(0,2,0), P(0,0,4),故 E(1,1,0), GE =(1,1,0), PC =(0,2,4)。
cos ? GE , ?? PC GE ? PC | GE | ? | PC | ? 2 10 , ? 10 2 ? 20

P

F A G D

10 ∴GE 与 PC 所成的余弦值为 . 10 (2)平面 PBG 的单位法向量 n=(0,± 1,0) 3 3 3 3 ∵ GD ? AD ? BC ? (? , , ) , 0 4 4 2 2 3 ∴点 D 到平面 PBG 的距离为 | GD ? n |= . 2 3 3 3 3 (3)设 F(0,y,z),则 DF ? (0 , ,) ? (? , ,) ? ( , ? ,) 。 y z 0 y z 2 2 2 2
∵ DF ? GC ,∴ DF ? GC ? 0 , (资料来源:www.maths168.com)

B

E

C

3 ,) ? (0, ,) ? 2 y ? 3 ? 0 , z 2 0 2 3 3 ∴y? , 又 PF ? ? PC ,即(0, ,z-4)=λ(0,2,-4), ∴z=1, 2 2
即 ( ,y ?

3 2

3 5 PF PF 3 1 3 故 F(0, ,1) , PF ? (0, , 3), ? (0, , 1) ,∴ ? 2 ? 3。 ? FC ? PC FC 2 2 2 5 2

6 解析:(1)∵SA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴SA⊥BD, ∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD,∴BD⊥ 平面 SAC, ∵BD?平面 EBD,∴平面 EBD⊥平面 SAC. (2)设 AC∩BD=F,连结 SF,则 SF⊥BD, ∵AB=2,SA=4,∴BD=2 2, SF= SA2+AF2= 42+( 2)2=3 2, 1 1 ∴S△SBD= BD· SF= · 2· 2=6, 2 3 2 2 设点 A 到平面 SBD 的距离为 h, 1 1 1 4 ∵SA⊥平面 ABCD,∴ ·△SBD· ·△ABD· S h= S SA,∴6· · 2· h= 2· 4,∴h= , 3 3 2 3 4 即点 A 到平面 SBD 的距离为 . 3 (3)设 SA=a,以 A 为原点,AB、AD、AS 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐 标系,为计算方便,不妨设 AB=1,则 C(1,1,0),S(0,0,a),B(1,0,0),D(0,1,0), ∴ SC =(1,1,-a), SB =(1,0,-a), SD =(0,1,-a), 再设平面 SBC、平面 SCD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? n1 SC ? x1 ? y1 ? az1 ? 0 ? 则 ? ??? ? ? n1 SB ? x1 ? az1 ? 0 ?
∴y1=0,从而可取 x1=a,则 z1=1,∴n1=(a,0,1),

??? ? ? n2 SC ? x2 ? y2 ? az2 ? 0 ? ? ? ??? ? n2 SB ? x2 ? az2 ? 0 ?
∴x2=0,从而可取 y2=a,则 z2=1,∴n2=(0,a,1), 1 ∴cos〈n1,n2〉= 2 , a +1 1 1 要使二面角 B-SC-D 的大小为 120° ,则 2 = ,从而 a=1, a +1 2 SA a 即当 = =1 时,二面角 B-SC-D 的大小为 120° . AB 1

7 解析:作 MN//AB 交 PB 于点 N. 分)∵PB⊥AB,∴PB⊥MN。 分)又 (2 (4

AB⊥MC,∴MN⊥MC. 分)MN 即为异面直线 MC 与 PB 的公垂线段, (8 (10
1 1 2 a ? b2 . 分)其长度就是 MC 与 PB 之间的距离, 则得 MN= 2 AB= 2

8(1)解析:∵在平行四边形 BAD1C1 中,E 也是 AC1 的中点,∴ EF // C1D , (2
D1 分) C1 ∴两相交直线 D1C 与 CD1 所成的角即异面直线 CD1 与 EF 所成的角.(4 分)又

A1A=AB,长方体的侧面 ABB1 A1 , CDD1C1 都是正方形 ,∴D1C ? CD1 ∴异面直线 CD1、EF 所成的角为 90°.(7 分) (2)证:设 AB=AA1=a, ∵D1F=
a2 ?

B1

A1 E C F D

B

A

AD2 ? BF, 4 ∴EF⊥BD1 . (9

分)

由平行四边形 BAD1C1 , E 也是 AC1 的中点, 知 且点 E 是长方体 ABCD—A1B1C1D1 的对称中心, 分) (12 ∴EA=ED, ∴EF⊥AD, EF⊥BD1, 又 ∴EF 是异面直线 BD1 与 AD 的公垂线.(14 分)
B1 C1 D1

A1 E C F D

B

A

9 解析:分别连接 PE 和 CD,可证 PE//CD, 分)则∠PEA 即是 AE 和 CD 所 (2 成角. 分)在 Rt⊿PBE 中, (4

3 9 3? ? 4 4 7 3 3 1 2? 3 ? 2 =2 . PB= 2 , BE=1, ∴PE= 2 。 在⊿AEP 中,AE= 3 ,cos ?AEP ?

∴∠AEP=60?,即 AE 和 CD 所成角是 60?. 分) (7 ∵AE⊥BC,PE⊥BC,PE//DC,∴CD⊥BC,∴CE 为异面直线 AE 和 CD 的公 垂线段, (12 分)它们之间的距离为 1. (14 分)

10 解析:取 BD 中点 M,连结 EM、MF,则
1 1 AD ? 1, MF // BC且MF ? BC ? 1, 2 2 EM 2 ? MF 2 ? EF 2 1 ? 1 ? 3 1 在?MEF中,? EF ? 3 ,由余弦定理得cos ?EMF ? ? ?? 2 ? EM ? MF 2 2 ? ? ?EMF ? 120 EM // AD, 且EM ? ? 异面直线AD, BC所成角的大小为 ? 60

11 解析: (1)连结 AN,BN,∵△APC 与△BPC 是全等的正三角形,又 N 是 PC 的中点 ∴AN=BN 又∵M 是 AB 的中点,∴MN⊥AB 同理可证 MN⊥PC 又∵MN∩AB=M,MN∩PC=N ∴MN 是 AB 和 PC 的公垂线。 (2)在等腰在角形 ANB 中,
? AN ? BN ? 3 1 2 a, AB ? a,? MN ? AN 2 ? ( AB) 2 ? a 2 2 2

2 a 即异面二直线 AB 和 PC 之间的距离为 2 .

12 解析: 由三角形中位线的性质知,HG∥AB,HE∥CD,∴ ∠EHG 就是异面

直线 AB 和 CD 所成的角.
1 ∵ EFGH 是平行四边形,HG= 2 AB=6 2 , 1 HE= 2 ,CD=2 3 ,

∴ SEFGH=HG· sin∠EHG=12 6 sin∠EHG,∴ 12 HE·
2 ∴ sin∠EHG= 2 ,故∠EHG=45° .

6 sin∠EHG=12 3 .

∴ AB 和 CD 所成的角为 45° 注:本例两异面直线所成角在图中已给,只需指出即可。

13 解析:(1)连接 DM,过 N 作 NE∥AM 交 DM 于 E,则∠CNE 为 AM 与 CN 所成的角。

∵N 为 AD 的中点, NE∥AM 省

1 ∴NE= 2 AM 且 E 为 MD 的中点。 1 3 3 4 且 ME= 2 MD= 4

设正四面体的棱长为 1,

1 3 则 NC= 2 · 2 =

3 1 7 在 Rt△MEC 中,CE2=ME2+CM2= 16 + 4 = 16

CN 2 ? NE 2 ? CE 2 ? 2 ? CN ? NE
∴cos∠CNE=

(

3 2 3 7 ) ? ( )2 ? 4 4 16 ? ? 2 3 3 3 2? ? 4 4 ,

? 又∵∠CNE ∈(0, 2 )
2 ∴异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 3 .

注:1、本题的平移点是 N,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN 外计 算 CE、CN、EN 长,再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有 通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成 的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角) 。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。

14 解析:
(1)取PD中点E , 又N为PC中点, 连NE , 则NE // CD, NE ? 又 ? AM // CD, AM ? ? MN // AE ? PA ? 平面ABCD? CD ? PA ? CD ? 平面ADP? , ?? ?? ? ? CD ? AE.(注 : 或直接用三垂线定理 CD ? 面ABCD ? CD ? AD? AE ? 平面ADP? 1 CD. 2

1 CD,? AM // NE ,?四边形AMNE为平行四边形 ? 2

(2)当?PDA ? 45? 时, Rt?PAD为等腰直角三角形 则AE ? PD, 又MN // AE,? MN ? PD, PD ? CD ? D ? MN ? 平面PCD.

15 证明:(1) 设 B1C∩BC1=O. 连 DO,则 O 是 B1C 的中点. 在△ACB1 中,D 是 AC 中点,O 是 B1C 中点. ∴ DO∥AB1,

又 DO ? 平面 C1BD,AB1 ? 平面 C1BD, ∴ AB1∥平面 C1BD. 解:(2) 由于三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱,D 是 AC 中点, ∴ BD⊥AC,且 BD⊥CC1, ∴ BD⊥平面 AC1, 平面 C1BD⊥平面 AC1,C1D 是交线. 在平面 AC1 内作 AH⊥C1D,垂足是 H, ∴ AH⊥平面 C1BD, 又 AB1∥平面 C1BD,故 AH 的长是直线 AB1 到平面 C1BD 的距离. 由 BC=8,B1C=10,得 CC1=6, 在 Rt△C1DC 中,DC=4,CC1=6,

sin ?C1 DC ?

6 4 ?6
2 2

?

3 13

在 Rt△DAH 中,∠ADH=∠C1DC



AH ? AD ? sin ?C1 DC ?

12 13 13 .

12 13 即 AB1 到平面 C1BD 的距离是 13 .
评述:证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线,如本题的 DO.本题的 第(2)问,实质上进行了“平移变换” ,利用 AB1∥平面 C1BD,把求直线到平面的距离变换 为求点 A 到平面的距离./

16 解析:用到反证法,假设 BE⊥平面 SCD,

∵ AB∥CD;∴AB⊥BE.

∴ AB⊥SB,这与 Rt△SAB 中∠SBA 为锐角矛盾. ∴ BE 不可能垂直于平面 SCD.

17:

18 证明:∵PD⊥AB,DF⊥AB,PD ? DF=D ∴AB⊥平面 PDF ∵PF ? 平面 PDF ∴ AB⊥PF 同理,AC⊥PF ∵ PF⊥AB,PF⊥AC,BA ? AC=A ∴ PF⊥平面 BAC

19 解析:作 AH⊥底面 BCD,垂足 H 是正△BCD 中心, 连 DH 延长交 BC 于 F,则平面 AHD⊥平面 BCD, 作 EO⊥HD 于 O,连结 EC, 则∠ECO 是 EC 与底面 BCD 所成的角 则 EO⊥底面 BCD.

HD ?

2 2 3 3 DF ? ? a? a 3 3 2 3

AH ? AD 2 ? HD 2 ? a 2 ?

a2 6 ? a 3 3

EO ?

1 1 6 6 3 AH ? ? a? a CE ? a 2 2 3 6 , 2

6 a EO 2 sin ?ECO ? ? 6 ? 3 EC 3 a 2 ∴

20 解析:如图,连结 EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD 分别交 AC 于 H、O. 因为 ABCD

是正方形,E、F 分别为 AB 和 AD 的中点,故 EF∥BD,H 为 AO 的中点. BD 不在平面 EFG 上.否则,平面 EFG 和平面 ABCD 重合,从而点 G 在平面的 ABCD 上, 与题设矛盾. 由直线和平面平行的判定定理知 BD∥平面 EFG,所以 BD 和平面 EFG 的距离就是点 B 到 平面 EFG 的距离. ——4 分 ∵ BD⊥AC, ∴ EF⊥HC. ∵ GC⊥平面 ABCD, ∴ EF⊥GC, ∴ EF⊥平面 HCG. ∴ 平面 EFG⊥平面 HCG,HG 是这两个垂直平面的交 线. ——6 分 作 OK⊥HG 交 HG 于点 K,由两平面垂直的性质定理知 OK⊥平面 EFG,所以线段 OK 的 长就是点 B 到平面 EFG 的距离. ——8 分 ∵ 正方形 ABCD 的边长为 4,GC=2, ∴ AC=4 2 ,HO= 2 ,HC=3 2 . ∴ 在 Rt△HCG 中,HG=

?3 2 ?

2

? 2 2 ? 22



由于 Rt△HKO 和 Rt△HCG 有一个锐角是公共的,故 Rt△HKO∽△HCG.

HO ? GC 2 ? 2 2 11 ? ? 11 . 22 ∴ OK= HG
2 11 即点 B 到平面 EFG 的距离为 11 .
——10 分

1 1 21 解析: (Ⅰ)解:连 QO,则 QO∥PA 且 QO= 2 PA= 2 AB
∵ PA⊥面 ABCD ∴ QO⊥面 ABCD 面 QBD 过 QO, ∴ 面 QBD⊥面 ABCD 故二面角 Q-BD-C 等于 90°. (Ⅱ)解:过 O 作 OH⊥QD,垂足为 H,连 CH.

Q

H D C

B

O

∵ 面 QBD⊥面 BCD, 又∵ CO⊥BD CO⊥面 QBD CH 在面 QBD 内的射影是 OH ∵ OH⊥QD ∴ CH⊥QD 于是∠OHC 是二面角的平面角. 设正方形 ABCD 边长 2, 则 OQ=1,OD= 2 ,QD= 3 . ∵ OH·QD=OQ·OD

2
∴ OH=

3.

又 OC= 2

2 OC 在 Rt△COH 中:tan∠OHC= OH = 2 · 3 = 3
∴ ∠OHC=60° 故二面角 B-QD-C 等于 60°.

22 证明: 取 BC 中点 D 连结 AD、PD ∵PA=PB;∠APB=60° ∴Δ PAB 为正三角形 同理Δ PAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTΔ BPC 中,PB=PC=a BC= 2 a

2 ∴PD= 2 a
在Δ ABC 中 AD=

AB2 ? BD2

=

2 2 a
2 2

? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 a? ? ? 2 a? ? ? ? ∵AD2+PD2= ?
=a2=AP2 ∴Δ APD 为直角三角形 即 AD⊥DP 又∵AD⊥BC ∴AD⊥平面 PBC ∴平面 ABC⊥平面 PBC

23 解析:①AB 是 AC 在平面β 上的射影,由 AC⊥BD 得 AB⊥BD.∵ α ⊥β .∴ DB⊥ α . ②由 AB=AC,且 E 是 BC 中点,得 AE⊥BC,又 AE⊥DB,故 AE⊥平面 BCD,因此可证 得平面 AED⊥平面 BCD. ③设 F 是 AC 中点,连 BF,DF.由于△ABC 是正三角形,故 BF⊥AC.又由 DB⊥平面α , 则 DF⊥AC,∠BFD 是二面角 B-AC-D 的平面角,

tg?BFD ?
在 Rt△BFD 中,

BD 4 ? BF 3 .

24

在 Rt△AA′O 中,∠AA′O=90°,

25 解析:构造等腰三角形证明 EF 与 AB、CD 垂直,然后在等腰三角形中求 EF 解;①连接 BD 和 AC,AF 和 BF,DE 和 CE 设四边形的边长为 a ∵ AD = CD = AC = a ∴ △ABC 为正三角形 ∵ DF = FC

3 a ∴ AF ? DC 且 AF = 2 3 2 A

同理 BF =

? BF ? FA
即△ AFB 为等腰三角形 在△ AFB 中, ∵ AE = BE ∴ FE ? AB 同理在 △ DEC 中 EF ? DC ∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的公垂线 ②在 △ AFB 中

∵ EF ? AB 且

AF ?

3 1 1 2 a, AE ? AB ? a EF ? AF 2 ? AE 2 ? a 2 a 2 2 ∴

∵ EF ? DC, EF ? AB

∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的距离

2 a ∴ AB 和 CD 的距离为 2

26(Ⅰ)证明:CD//C1B1,又 BD=BC=B1C1, ∴ 四边形 BDB1C1 是平行四边形, ∴ BC1//DB1.

又 DB1 ? 平面 AB1D, BC1 ? 平面 AB1D, ∴直线 BC1//平面 AB1D........... ......... 5 分 (Ⅱ)解:过 B 作 BE⊥AD 于 E,连结 EB1, ∵B1B⊥平面 ABD,∴B1E⊥AD , ∴∠B1EB 是二面角 B1—AD—B 的平面角,
BE ? 1 3 AC ? . 2 2

∵BD=BC=AB, ∴E 是 AD 的中点,

3 3 B1 B 2 tg?B1 BE ? ? ? 3. 3 BE 2 在 Rt△B1BE 中, ∴∠B1EB=60°。即二面角 B1—AD—B 的

大小为 60°????10 分 (Ⅲ)解法一:过 A 作 AF⊥BC 于 F,∵B1B⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 BB1C1C,

3 3 ?3 ? 3,? VC ? ABB ? V A ? BB C ? 1 S ? B B C ? AF 3 2 2 ∴AF⊥平面 BB1C1C,且 AF=
1 1 1 1 1 1 1 1

27 1 1 3 3 3 3 27 . ? ( ? ? 3) ? ? . 3 2 2 2 8 即三棱锥 C1—ABB1 的体积为 8 ????15 分

解法二:在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,

? S ?ABB ? S ?AA B ?VC1 ? ABB1 ? VC1 ? AA1B1 ? VA? A1B1C1
1 1 1

1 1 3 2 3 3 27 ? S?A1 B1C1 ? AA ? (4 ? ?3 )? ? . 1 3 3 4 2 8 即为三棱锥 C1—ABB1 的体积.

27 解析:
方法一 : BO ? AC,? B1O ? AC, 设正方体的棱长为 , 则 a 6 3 3 a, MO ? a, MB1 ? a 2 2 2 2 2 2 MB1 ? B1D ? MO ,? MO ? B1O B1O ? ? B1O ? 面MAO ? B1O ? AM

方法二:取 AD 中点 N,连结 A1N,则 A1N 是 B1O 在侧面 ADD1A1 上的射影. 易证 AM⊥A1N ∴AM⊥B1O(三垂线定理) (2)连结 MB1,AB1,MC,过 O 作 OH⊥AM 于 H 点,连结 B1H, ∵B1O 平面 MAC,∴∠B1HO 就是所求二面角 B1—MA—C 的平面角.
? 2 HO ? AM ? AC ? MO,? HO ? 30 10 B1O 在Rt?BHO中,? tan?B1 HO ? ? 5 HO

28 解析: (1)PA⊥面 ACB,∴PA⊥BC,BC⊥AC,∴BC⊥面 PAC.(2)(1)知 BC⊥AF 又 AF⊥PC,∴AF⊥面 PBC,∴AF⊥PB,又 PB⊥AE,∴PB⊥面 AEF.

29 解析: (I)证明:连结 A1C1 、AC,AC 和 BD 交于.,连结 C1O , ∵四边形 ABCD 是菱

? 形, ∴AC⊥BD, BC=CD, ? ?BCC1 ? ?DCC1 , 可证 ?C1 BC ? ?C1 DC , C1 B ? C1 D ,
故 C1O ? BD ,但 AC⊥BD,所以 BD ? 面AC1 ,从而 CC1 ? BD ; (II)解:由(I)知 AC⊥BD, C1O ? BD ,

?C1OC 是二面角α —BD—β 的平面角

, 在 ?C1 BC 中 , BC=2 ,

C1 C ?

3 0 2 , ?BCC1 ? 60 ,

∵ ∠ OCB=60 ° ,

? OB ?

1 13 9 BC ? 1 ? C1O 2 ? C1 B 2 ? OB 2 ? ? 1 ? 2 4 4 ,

, 故

3 3 OH ? 2 , C1O= 2 ,即 C1O=C1C,作 C1 H ? OC ,垂足为 H,∴点 H 是.C 的中点,且

cos?C1OC ?
所以

OH 3 ? C1O 3 ;

CD ?1 CC1 (III)当 时,能使 A1C ? 平面C1 BD CD ?1 CC1 证明一:∵ ,所以 BC ? CD ? C1C ,又 ?BCD ? ?C1CB ? ?C1CD ,由此可得

BD ? C1 B ? C1 D ,∴三棱锥 C ? C1 BD 是正三棱锥.,

30 解析:此题数据特殊,先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA⊥AB,∴∠APB=90° 在 RtΔ APB 中,∵∠ABP=45°,设 PA=a, 则 PB=a,AB= 2 a,∵PB⊥PC,在 RtΔ PBC 中, ∵∠PBC=60°,PB=a.∴BC=2a,PC= 3 a.
2 2 a ? ( 3a ) ∵AP⊥PC ∴在 RtΔ APC 中,AC= PA ? PC = =2a
2 2

(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面 PAB, ∴BC 在平面 PBC 上的射影是 BP. ∠CBP 是 CB 与平面 PAB 所成的角 ∵∠PBC=60°,∴BC 与平面 PBA 的角为 60°. (2)由上知,PA=PB=a,AC=BC=2a. ∴M 为 AB 的中点,则 AB⊥PM,AB⊥CM.

∴AB⊥平面 PCM. 说明 要清楚线面的垂直关系,线面角的定义,通过数据特点,发现解题捷径

31 解析:主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角,点面间距离 等概念应用,空间想象力及推理能力.

解 (1)AB 与 PC 不能垂直,证明如下:假设 PC⊥AB,作 PH⊥平面 ABC 于 H,则 HC 是 PC 在平面 ABC 的射影,∴HC⊥AB,∵PA、PB 在平面 ABC 的射影分别为 HB、HA,PB ⊥BC,PA⊥PC. ∴BH⊥BC,AH⊥AC ∵AC⊥BC,∴平行四边形 ACBH 为矩形. ∵HC⊥AB,∴ACBH 为正方形. ∴HB=HA ∵PH⊥平面 ACBH.∴Δ PHB≌Δ PHA. ∴∠PBH=∠PAH,且 PB,PA 与平面 ABC 所成角分别为∠PBH,∠PAH.由已知∠PBH= 45°,∠PAH=30°,与∠PBH=∠PAH 矛盾. ∴PC 不垂直于 AB. (2)由已知有 PH=h,∴∠PBH=45° ∴BH=PH=h.∵∠PAH=30°,∴HA= 3 h.
2 2 h ? ( 3h) ∴矩形 ACBH 中,AB= BH ? HA = =2h.
2 2

HB ? HA h ? 3h 3 作 HE⊥AB 于 E,∴HE= AB = 2h = 2 h.
∵PH⊥平面 ACBH,HE⊥AB, 由三垂线定理有 PE⊥AB,∴PE 是点 P 到 AB 的距离.

在 RtΔ PHE 中,PE= PH ? HE =
2 2

h2 ? (

3 2 7 h) 2 = 2 h.

7 即点 P 到 AB 距离为 2 h.
评析:此题属开放型命题,处理此类问题的方法是先假设结论成立,然后“执果索因” ,作 推理分析,导出矛盾的就否定结论(反证法),导不出矛盾的,就说明与条件相容,可采用演 绎法进行推理,此题(1)属于反证法.


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