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1.2任意角的三角函数(一)


新课标高中数学-必修四导学案
§1.2 任意角三角函数 (一) 【知识要点】 1.任意角的三角函数 定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y), 则 sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0). 向线段 MP,OM,AT 分别叫做角 α 的正弦线,余弦线和正切线. 2.三角函数在各象限的符号: 【典型例题】 例 1:已知角 ? 的终边

经过点 P(2,-3) ,求 2sin ? +cos ? +tan ?

y x

变式训练⑴:已知角 ? 的终边经过点 P(2a,-3a)(a ? 0),求 2sin ? +cos ? +tan ? 的值.

变式训练⑵:角 ? 的终边经过点 P(-x,-6)且 cos ? =-

5 13

,求 x 的值.

例 2:确定下列三角函数值的符号 (1)cos
7? 12

(2)sin(-465?)

(3)tan

11? 3

变式训练⑴:若 cos ? >0 且 tan ? <0,试问角 ? 为第几象限角

变式训练⑵:使 sin ? cos ? <0 成立的角 ? 的集合为 ( A.{ ? | ?? + C.{ ? | 2k? +
?
2 3? 2


?
2

< ? < ?? + ? , ? ? ? } < ? < 2k? + 2? , ? ? ? }

B. { ? |2 ?? + D. { ? |2 ?? +

< ? <2 ?? + ? , ? ? ? } < ? <2 ?? +
3 ? ,? ?? 2

?
2

}

例 3:比较下列各组数的大小 (1)sin1 和 sin
?
3

(2)cos

4? 7

和 cos

5? 7

(3)tan

9? 8

和 tan

9? 7

(4)sin

?
5

和 tan

?
5

例 4:利用单位圆分别写出符合下列条件的角 ? 的集合 (1)sin ? =1 2

(2)sin ? >-

1 2

(3) |tan ? | ?

3

(4)sin ? >cos ?

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【课堂练习】 1、函数 y ?

sin x ? ? cos x 的定义域是
B. [2k? ?





A. (2k? , (2k ? 1)? ) , k ? Z C. [k? ?

?
2

, (2k ? 1)? ] , k ? Z

?
2

, (k ? 1)? ] , k ? Z

D.[2kπ , (2k+1)π ], k ? Z

2、若θ 是第三象限角,且 cos A.第一象限角

?

? 0 ,则 是 2 2
C.第三象限角

?

( D.第四象限角 ( D.第四象限 ( ) )



B.第二象限角

3、已知点 P( tan ? , cos ? )在第三象限,则角 ? 在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

4、若角α 终边上有一点 P(a, | a |)(a ? R且a ? 0) ,则 sin ? 的值为
2 2 B、- 2 2 5、下列各式中不成立的一个是

A、

C、±

2 2

D、以上都不对 ( C、 sin ? ?
? 6? ? 5 ? ??0 ?

A、 cos 260 ? ? 0

B、 tan(?1032 ? ) ? 0

D、 tan

) 17?
3

?0

6、已知 sin ? tan ? ≥0,则 ? 的取值集合为 7、角 ? 的终边上有一点 P(m,5) ,且 cos ? ? 8、已知α 终边经过 P(?5,12) ,则 sin ? ? 9、若解α 是第二象限角,则点 A(sin ? , cos ? ) 是第 10、已知角θ 的终边在直线 y =



m , (m ? 0) ,则 sin ? +cos ? =______. 13
. 象限的点. ; tan ? = .

3 x 上,则 sinθ = 3

11、设θ ∈(0,2π ) ,点 P(sinθ , cos2θ )在第三象限,则角θ 的范围是 12、设角 x 的终边不在坐标轴上,求函数 y ?
sin x cos x tan x ? ? 的值域. | sin x | | cos x | | tan x |



13、(1) 已知角 ? 的终边经过点P(4,-3),求2sin ? +cos ? 的值;

(2)已知角 ? 的终边经过点 P(4a,-3a)(a≠0),求 2sin ? +cos ? 的值;

(3)角 ? 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为 3∶4(且均不为零) ,求 2sin ? +cos ? 的值.

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【巩固提高】 π π 1、若 4 <θ < 2 ,则下列不等式中成立的是 A.sinθ >cosθ >tanθ C. tanθ >sinθ >cosθ B.cosθ >tanθ >sinθ D.sinθ >tanθ >cosθ ( )

2、角 ? (0< ? <2π )的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异.那么 ? 的值为( ) π A. 4 3、若 0< ? <2π ,且 sin ? < π π A. (- , ) 3 3 3π B. 4 7π C. 4 3π 7π D. 4 或 4

3 2

1 , cos ? > 2 .利用三角函数线,得到 ? 的取值范围是( ) 5π C. ( ,2 π ) 3 π 5π D. (0, )∪( ,2π ) 3 3 3π ;④sin 5 4π 5 .

π B. (0, ) 3

4、依据三角函数线,作出如下四个判断: π 7π π π π 3π ①sin 6 =sin 6 ;②cos(- 4 )=cos 4 ;③tan 8 >tan 8 其中判断正确的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 >sin

D.4 个 )

5、若角 ? (0 ? ? ? 2? ) 的正弦与余弦线的长度相等且符号相同,那么角α 的值为(
5? ? 5? C、 或 4 4 4 6、用三角函数线判断 1 与 | sin ? | ? | cos ? | 的大小关系是

A、

?

4

B、

D、以上都不对

A、 | sin ? | ? | cos ? | >1 B、 | sin ? | ? | cos ? | ≥1 C、 | sin ? | ? | cos ? | =1 D、 | sin ? | ? | cos ? | <1 7.已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α=( ) 4 A. 5 3 B. 5 ) 3 C.- 5 4 D.- 5

8.若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是( A.sin α+cos α<0 C.cos α-tan α<0

B.tan α-sin α<0 D.tan αsin α<0 )

9.如图,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P,若∠AOP=θ,则点 P 的坐标是(

A.(cos θ,sinθ) C.(sinθ,cos θ)

B.(-cos θ,sinθ) D.(-sinθ,cos θ) )

θ θ θ 10.设 θ 是第三象限角,且|cos |=-cos ,则 是( 2 2 2 A.第一象限角 C.第三象限角

B.第二象限角 D.第四象限角

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4 11.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cos α=- ,则 m 的值为( 5 1 A.- 2 C.- 3 2 1 B. 2 D. 3 2 ) )

12.已知点 P(sin π A. 4 5π C. 4

3π 3π ,cos )落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为( 4 4 3π B. 4 7π D. 4 )

13.在(0,2π)内使 sin x>cos x 成立的 x 取值范围是( π π 5π A.( , )∪(π, ) 4 2 4 π 5π C.( , ) 4 4 π B.( ,π) 4

π 5π 3π D.( ,π)∪( , ) 4 4 2 )

14.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0,则实数 a 的取值范围是( A.(-2,3] C.[-2,3) sin?cos θ? 15.若 θ 是第三象限角,那么 的值( cos?sin θ? A.大于零 C.等于零 B.(-2,3) D.[-2,3] ) B.小于零 D.不能确定正负或零

16. 如图, 设点 A 是单位圆上的一定点, 动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周, 点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图像大致为( )

17.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90° 到 B 点,则 B 点坐标为________. 18.已知角 β 的终边在直线 y= 3x 上,则 sin β=________. 1 19.设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 cos α= x,则 tan α=________. 5 20.函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域为________.

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