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黄冈中学2012年春季高一期末试题-理科数学


黄冈中学 2012 年春季高一数学期末考试试题(理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 45? ,则实数 a、 b 满足的关系是 A. a ? b ? 0 2.给出下列命题: B. a ? b ? 0 C. a ? b ? 1

( D. a ? b ? 1 ( ) )

①平行于同一条直线的两直线互相平行;②平行于同一平面的两条直线互相平行; ③垂直于同一直线的两条直线互相平行;④垂直于同一平面的两条直线互相平行. 其中真命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4 )

3.已知直线 l1:ax ? 2 y ? 6 ? 0 与 l2:x ? (a ?1) y ? a2 ?1 ? 0 ,若 l1 // l 2 ,则 a ?( A. 2 B. 2或 ? 1 C. ?1 D. ?2 4.某几何体的正视图和侧视图均如图(1)所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( ...



图(1)

A.

B.

C.

D.

5.直线 x sin ? ? y ? m ? 0 ( ? ? R )的倾斜角 ? 的范围是 A. ? 0, ? ?
? ? 3? ? B. ? , ? ?4 4 ? ? ? ? ? 3? ? C. ?0, ? ? ? , ? ? ? 4? ? 4 ?


? ? ? ? ? ? 3? ? D. ? , ? ? ? , ? ?4 2 ? ? 2 4 ?



6.过点 P(-1,1)的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 相交于 A、B 两点,当|AB|取最小值时, 直线 l 的方程是 A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 ( D. x ? y ? 0 )

7.下列四个正方体图形中, A , B 为正方体的两个顶点, M , N , P 分别为其所在棱 的中点,能得出 AB // 平面 MNP 的图形的序号是
N A P M M M M M B M N P P A A M M M N B P B M N A







B

② B.①、③



④ M
M D.②、④

A.①、②

C. ②、③

1

8.若直线 y ? kx ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M,N 两点,且 M,N 关于直线

x ? 2 y ? 0 对称, 则实数 k ? m ?
A. ?1 B. 1 C. 0

( D. 2



9.一个四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是 等边三角形,该四棱锥的体积是 ( ) 1 1 正(主)视图 1 1 1 C. 3 3 D. 2 2 1 侧(左)视图

A. 3

B. 2 3

6 3

俯视图

10.已知矩形 ABCD , AB ? 1 , BC ? 2 .将△ ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进 行翻折,在翻折过程中,下列结论正确的是 ( ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. C.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. D.对任意位置,三对直线“ AC 与 BD ”“ AB 与 CD ”“ AD 与 BC ”均不垂直. , , 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案写在横线上. 11.若直线 l1 : x ? ay ? 3 与 l2 : 3x ? (a ? 2) y ? 2 互相垂直,则 a 的值是_________. 12.已知点 M (1,3) ,自点M向圆 x ? y ? 1引切线,则切线方程是___________.
2 2

13.将直线 y ?

1 x 绕原点顺时针旋转 90 0 ,再向左平移1个单位,所得到的 3
P O D B C

直线的方程为_________. 14.已知底面边长为 2 的四棱锥 P ? ABCD 的顶点都在球 O 的表

A 面上,且 PA⊥平面 ABCD.若 PA=2 2 ,则球 O 的表面积为_________.

x2 ?1
15.若方程

x ?1

? kx 有两个实数根,则实数 k 的取值范围是



2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心在直线 3x ? y ? 0 上,与 x 轴相切,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 ,求圆 C 的方程.

17. (本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=2,BC = 2 ,E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PA∥平面 EDB; (Ⅱ)求异面直线 AD 与 BE 所成角的大小. D A B P

E C

18. (本小题满分 12 分)如图,三棱锥 V—ABC 中, VA=VB=AC=BC=2,AB= 2 3 , VC=1. (Ⅰ)证明: AB⊥VC; (Ⅱ)求三棱锥 V—ABC 的体积. C A B V

3

? BC 19. 本小题满分 12 分) ( 已知 ?ABC 中, 边上的高所在的直线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , A
的角平分线所在的直线方程为 y ? 0 ,点 C 的坐标为 (1, 2) . (Ⅰ)求点 A 和点 B 的坐标; (Ⅱ)又过点 C 作直线 l 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于点 M , N ,求 ?MON 的面积最小 值及此时直线 l 的方程.

20. (本小题满分 13 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? 90 , ?PAB ? 60 ,
? ?

AB ? BC ? CA , PA ? 2 ,且平面 PAB ? 平面 ABC . (Ⅰ )求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的正切值; (Ⅱ )求二面角 B ? AP ? C 的正切值.
A

P C

B

21. (本小题满分 14 分)已知定点 O ? 0,0 ? , A ? 3,0 ? ,动点 P 到定点 O 距离与到定点 A 的 距离的比值是

1

?

.

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (Ⅱ)当 ? ? 4 时,记动点 P 的轨迹为曲线 D . ①若 M 是圆 E : ? x ? 2? ? ? y ? 4? ? 64 上任意一点,过 M 作曲线 D 的切线,切点是
2 2

N ,求 MN 的取值范围;

②已知 F , G 是曲线 D 上不同的两点,对于定点 Q(?3,0) ,有 QF ? QG ? 4 .试问无 论 F , G 两点的位置怎样,直线 FG 能恒和一个定圆相切吗?若能,求出这个定圆 的方程;若不能,请说明理由.

4

黄冈中学 2012 年春季高一数学期末考试试题(理科) 教师版详细解答
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 45? ,则实数 a、 b 满足的关系是 A. a ? b ? 0 解:A B. ( D. a ? b ? 1 )

a ?b ? 0

C. a ? b ? 1

因为斜率 k ? ?

a ? 1. b

2.给出下列命题: ①平行于同一条直线的两直线互相平行;②平行于同一平面的两条直线互相平行; ③垂直于同一直线的两条直线互相平行;④垂直于同一平面的两条直线互相平行. 其中真命题的个数是 A.1 解:B B.2 C.3 D.4 ( )

②和③的两直线还可以异面或相交. )

3.已知直线 l1:ax ? 2 y ? 6 ? 0 与 l2:x ? (a ?1) y ? a2 ?1 ? 0 ,若 l1 // l 2 ,则 a ? ( A.2 解:C B. 2或 ? 1 C. ?1 D. ?2

因为 a(a ? 1) ? 2 ? 0 ,得 a ? 2或 ? 1. 当 a ? 2 时两直线重合. )

4.某几何体的正视图和侧视图均如图(1)所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( ...

图(1)

A.

B.

C.

D.

解:D 因为图形为 D 时,正视图上方的矩形中间应该有一条虚线. 5.直线 x sin ? ? y ? m ? 0 ( ? ? R )的倾斜角 ? 范围是 ( ) ? 3? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? A. ? 0, ? ? B. ? , ? C. ?0, ? ? ? , ? ? D. ? , ? ? ? , ? ?4 4 ? ? 4? ? 4 ? ?4 2 ? ? 2 4 ? ? ? ? ? 3? ? 解:C 因为 ? ? R , 所以直线的斜率 k ?? ? 1,1? ,所以有 ? ? ?0, ? ? ? , ? ? . ? 4? ? 4 ? 6.过点 P(-1,1)的直线 l 与圆 x ? y ? 4 x ? 0 相交于 A、B 两点,当|AB|取最小值时,
2 2

直线 l 的方程是





5

A. x ? y ? 2 ? 0 解:D

B. x ? y ? 0

C. x ? y ? 2 ? 0

D. x ? y ? 0

|AB|取最小值,则直线 l 与点 P 和圆心的连线垂直,所以直线 l 的斜率等于-1,方程

为 x ? y ? 0. 7.下列四个正方体图形中, A , B 为正方体的两个顶点, M , N , P 分别为其所在棱 的中点,能得出 AB // 平面 MNP 的图形的序号是
N A P M M M B M M B M N B P P A A M M M N B P M M N A





① A.①、② 解:B

② B.①、③

③ C. ②、③

④M D.②、④

在①中 NP 平行所在正方体的那个侧面的对角线,从而平行 AB ,所以 AB // 平面

MNP ;在③中设过点 B 且垂直于上底面的棱与上底面交点为 C ,则由 NP / /CB ,

MN / / AC 可知平面 MNP / / 平行平面 ABC ,即 AB // 平面 MNP .
8.若直线 y ? kx ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M,N 两点,且 M,N 关于直线

x ? 2 y ? 0 对称,则实数 k ? m ?
A. ?1 B. 1 C. 0

( D. 2



解:B 由题意知 MN 的中垂线为直线 x ? 2 y ? 0 ,所以 k ? 2 ,此时圆:

x2 ? y 2 ? 2x ? my ? 4 ? 0 ,所以圆心坐标为 (?1, ?
所以 k ? m ? 1. 9.一个四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是 等边三角形,该四棱锥的体积是 ( )

m ) ,代入 x ? 2 y ? 0 得 m ? ?1 , 2

1

1

A. 3 C. 3 3

B. 2 3 D.

正(主)视图 1 1 1 2

2 1 侧(左)视图

6 3

俯视图

9.解:A 可得棱锥的直观图如右,等边三角形的高即为 棱锥的高,所以棱锥体积为 ?

1 1 (1 ? 2) ? 2 ? 3 ? 3 . 3 2

10.已知矩形 ABCD , AB ? 1 , BC ? 2 .将△ ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进
6

行翻折,在翻折过程中,下列结论正确的是 ( ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. C.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. D.对任意位置,三对直线“ AC 与 BD ”“ AB 与 CD ”“ AD 与 BC ”均不垂直. , , 解:C 易知 A 错,对于结论 B、C,我们首先考察两个特殊情形:在翻折过程中, 平面 ABD ? 平面 BCD ,和平面 ABC ? 平面 BCD ,可以发现 AB ? CD . 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案写在横线上. 11.若直线 l1 : x ? ay ? 3 与 l2 : 3x ? (a ? 2) y ? 2 互相垂直,则 a 的值是_________. 11.解:

3 ? a (a ? 2 ? ,得 ?1或3 . ) 0

12.已知点 M (1,3) ,自点M向圆 x 2 ? y 2 ? 1引切线,则切线方程是___________. 12.解:当斜率存在时,可以求得方程为 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ;当斜率不存在时,可以求得方程 为 x ? 1 . 故可填: x ? 1 和 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 . 13.将直线 y ?

1 x 绕原点顺时针旋转 90 0 ,再向左平移1个单位,所得到的直线的方程为 3 1 x 绕原点顺时针旋转 90 0 的直线为 y ? ?3x ,再将 y ? ?3x 向左平移1 3
P O D A C

_________. 13.解:直线 y ?

个单位得 y ? ?3? x ? 1? ,即 y ? ?3x ? 3 . 14.已知底面边长为 2 的四棱锥 P ? ABCD 的顶点都在球 O 的表

面上,且 PA⊥平面 ABCD.若 PA=2 2 ,则球 O 的表面积为_________. B 14 . 解 : 可 以 将 四 棱 锥 P ? ABCD 补 成 球 的 内 接 长 方 体 , 其 对 角 线 的 长 等 于

22 ? 22 ? (2 2) 2 ? 4 ,即球的半径长等于 2 ,所以其表面积等于 4? R 2 ? 16? .

x2 ?1
15.若方程

x ?1

? kx 有两个实数根,则实数 k 的取值范围是



15. 令 y ? 解:

x2 ?1 x ?1

?

( x ? 1)(x ? 1) x ?1

, x ? 1 时,y ? 当

x2 ?1 x ?1

当 ? x ?1 ? x ?1, x ? 1

? ? x ? 1, ?1 ? x ? 1, ? ? x?1 ? ? 时, y ? 综上 x ?1 ? x ? 1, x ? ?1,

x2 ? 1

? x ? 1,x ? 1, ? y? ? ? ? x ? 1, ?1 ? x ? 1, 作出它的 x ?1 ? ? x ? 1, x ? ?1, x2 ? 1

图象, 要使它与直线 y ? kx 有两个不同的交点, 则直线 y ? kx 必须通过蓝色或黄色区域内,
7

如图

,则此时当直线经过黄色区域时, k 满足

1 ? k ? 2 ,当经过蓝色区域时, k 满足 0 ? k ? 1 ,综上实数的取值范围是 0 ? k ? 1 或 1? k ? 2. 【答案】 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 2 .
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心在直线 3x ? y ? 0 上,与 x 轴相切,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 ,求圆 C 的方程. 16.解: 依题意设圆心 C (a,3a) ,则半径为 r ? 3 a . 因为圆被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 ,所以圆心到直线 y ? x 的距离 解得 a ? 1 ,和 a ? ?1 . 于是,所求圆 C 的方程为: ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 9 或 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 9 .
2 2 2 2

a ? 3a 2

? 9a 2 ? 7 ,

17. (本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=2,BC = 2 ,E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PA∥平面 EDB; (Ⅱ)求异面直线 AD 与 BE 所成角的大小. D 17.证明: (Ⅰ)连接 AC,设 AC∩BD=O,连接 EO, ∵四边形 ABCD 为矩形,∴O 为 AC 的中点. ∴OE 为△PAC 的中位线. ∴PA∥OE,而 OE ? 平面 EDB,PA ? 平面 EBD, ∴PA∥平面 EDB. ?????6 分 A P

E C

(Ⅱ)∵AD∥BC,∴ ?CBE 就是异面直线 AD 与 BE 所成的角或补角. ???8 分 ∵PD⊥平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD ,∴BC⊥PD.又四边形 ABCD 为矩形, ∴BC⊥DC.又因为 PD ? DC= D,所以 BC⊥平面 PDC.

8

在 rt? BCE 中 BC= 2 ,EC= ?

1 ? PC ? 2 ,∴ ?CBE ? . 2 4

即异面直线 AD 与 BE 所成角大小为

? . 4

?????12 分

18. (本小题满分 12 分)如图,三棱锥 V—ABC 中, VA=VB=AC=BC=2,AB= 2 3 , VC=1. (Ⅰ)证明: AB⊥VC; (Ⅱ)求三棱锥 V—ABC 的体积. 18.证明: (Ⅰ)取 AB 的中点为 D,连接 VD,CD. ∵VA=VB,∴AB⊥VD;同理 AB⊥CD. 于是 AB⊥平面 VDC.又 VC ? 平面 VDC,故 AB⊥VC. 解: (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AB⊥平面 VDC.由题设可知 VD=CD =1,又 VC=1, A B V

1 1 3 1 )?2 3 ? . 故三棱锥 V—ABC 的体积等于 ? ( ? 1 ? 1 ? 3 2 2 2

? BC 19. 本小题满分 12 分) ( 已知 ?ABC 中, 边上的高所在的直线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , A
的角平分线所在的直线方程为 y ? 0 ,点 C 的坐标为 (1, 2) . (Ⅰ)求点 A 和点 B 的坐标; (Ⅱ)又过点 C 作直线 l 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于点 M , N ,求 ?MON 的面积最小 值及此时直线 l 的方程. 20.解: (Ⅰ)因为点 A 在 BC 边上的高 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,又在 ? A 的角平分线 y ? 0 上,

所以解方程组 ?

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? y ? 0,

得 A( ? 1,0) .?????2 分

? BC 边上的高所在的直线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,? kBC ? ?2 ,

? 点 C 的坐标为 (1, 2) ,所以直线 BC 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,
? k AC ? ?1 , ?k AB ? ?kAC ? 1 ,所以直线 AB 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,
解方程组 ?

?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? y ? 4 ? 0

得 B(5, ? 6) ,

故点 A 和点 B 的坐标分别为 ( ? 1,0) , (5, ? 6) .
9

?????6 分

) ( Ⅱ ) 依 题 意 直 线 的 斜 率 存 在 , 设 直 线 l 的 方 程 为 : y ? 2 ? k ( x ? 1) (k ? 0, 则
M( k ?2 1 k ?2 1 4 , 0 ) N ( 0 ? 2k ,所以 S?MON ? ? , , ) ? (2 ? k ) ? (4 ? k ? ) k 2 k 2 k

1 1 ? [4 ? 2 ? ? (?4k )] ? 4 ,当且仅当 k ? ?2 时取等号,所以 (S?AOB )min ? 4 ,此时 2 k
直线 l 的方程是 2 x ? y ? 4 ? 0 . ?????12 分

20. (本小题满分 13 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? 90 , ?PAB ? 60 ,
? ?

AB ? BC ? CA , PA ? 2 ,且平面 PAB ? 平面 ABC . (Ⅰ )求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的正切值; (Ⅱ )求二面角 B ? AP ? C 的正切值.
A

P C

B

解: )过点 P 作 PO ? AB 于 O ,连接 OC .由平面 PAB ? 平面 ABC ,知 PO ? (Ⅰ 平面 ABC ,即 ?OCP为直线PC与平面ABC 所成的角.?????2 分 因为 ?APB ? 90?,?PAB ? 60?, 不妨设 PA=2, 则 OP= 3 , AO= 1,AB=4. 因为 AB ? BC ? CA ,所以 ?CAB ? 60? , OC= 4 ? 1 ? 2 ? 4 ? 1 ?
2 2

P
C

1 ? 13 . 2

A

B

O

在 Rt ?OCP中, ?OPC ? tan

OP 3 39 . ? ? OC 13 13
39 .?????6 分 13

即直线 PC 与平面 ABC 所成的角的正切值为

(2)过 C 作 CD ? AB 于D,由平面 PAB ? 平面 ABC ,知 CD ? 平面 PAB. 过点D作 DE ? PA 于 E,连接 CE,据三垂线定理可知 CE⊥ PA, 所以, ?CED为二面角B — AP — C的平面角.????9 分 P 由(1)知 AB=4,又 ?APB ? 90 , ?PAB ? 60 ,
? ?

E

C

所以 CD= 2 3 ,DE= 3 . 在 Rt△CDE 中,tan ?CED ?

A

D

B

CD 2 3 ? ?2 DE 3
10

故 二面角B —AP —C的正切值为2

?????13 分

21. (本小题满分 14 分)已知定点 O ? 0,0 ? , A ? 3,0 ? ,动点 P 到定点 O 距离与到定点 A 的 距离的比值是

1

?

.

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (Ⅱ)当 ? ? 4 时,记动点 P 的轨迹为曲线 D . ①若 M 是圆 E : ? x ? 2? ? ? y ? 4? ? 64 上任意一点,过 M 作曲线 D 的切线,切点是
2 2

N ,求 MN 的取值范围;

②已知 F , G 是曲线 D 上不同的两点,对于定点 Q(?3,0) ,有 QF ? QG ? 4 .试问无 论 F , G 两点的位置怎样,直线 FG 能恒和一个定圆相切吗?若能,求出这个定圆 的方程;若不能,请说明理由. 解(Ⅰ)设动点 P 的坐标为 ? x, y ? ,则由 ? PO ? PA ,得 ? ( x2 ? y 2 ) ? ( x ? 3)2 ? y 2 , 整理得:

? ? ? 1? x2 ? ? ? ? 1? y2 ? 6x ? 9 ? 0 .

?? ? 0 , ?当 ? ? 1 时,则方程可化为: 2 x ? 3 ? 0 ,故方程表示的曲线是线段 OA 的垂直平分线;
2 ? 3 ? ? 3 ? ? 2 当 ? ? 1 时,则方程可化为 ? x ? ? ,即方程表示的曲线是以 ? ?y ?? ? ?1? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? y 3 3 ? ? ? ,0 ? 为圆心, 为半径的圆. ?????5 分 ?? ? ?1 ? ? ?1 ? 2

(Ⅱ)当 ? ? 4 时,曲线 D 的方程是 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 ,
2 2

M · E · N ·O D x

故曲线 D 表示圆,圆心是 D ? ?1,0? ,半径是 2 . ①由 DE ?

? 2 ? 1?

2

? ? 4 ? 0 ? ? 5 ,及 5 < 8 - 2 有:
2

两圆内含,且圆 D 在圆 E 内部.如图所示,由 MN ? MD ? DN 有: MN ? MD ? 4 ,
2 2 2 2 2

故求 MN 的取值范围就是求 MD 的取值范围.而 D 是定点, M 是圆上的动点,故过 D 作 圆 E 的直径,得 MD min ? 8 ? 5 ? 3 , MD max ? 8 ? 5 ? 13 ,故 5 ≤ MN ≤165 ,
2

5 ≤ MN ≤ 165 . ?????9 分
②解法一:设点 Q 到直线 BC 的距离为 d , ?FQG ? ? ,

11

则由面积相等得到 QF ? QG sin? ? d FG ,且圆的半径 r ? 2 . 即d ?

4sin ? 4sin ? ? ? 1. 于是顶点 Q 到动直线 FG 的距离为定值, FG 2r sin ?

即动直线 FG 与定圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 相切. ②解法二:设 F , G 两点的坐标分别为 F ? x1 , y1 ? , G ? x2 , y2 ? ,则由 QF ? QG ? 4 有:
2 2 2 ( x1 ? 3)2 ? y12 ? (x2 ? 3)2 ? y2 ? 4,结合 x12 ? y12 ? 2x1 ? 3 ? 0, x2 ? y2 ? 2x2 ? 3 ? 0 有:

4x1 ? 12 ? 4x2 ? 12 ? 4 ? x1 x2 ? 3( x 1 ? x2 ) ? 8 ? 0 ,若经过 F 、G 两点的直线的斜率存在,
x 设 直 线 FG 的 方 程 为 y ? m ?

? y ? mx ? n n , 由 ? 2 , 消 去 y 有 : 2 ? x ? y ? 2x ? 3 ? 0

n2 2mn ? 2 ?1, , x1 x2 ? 1 ? m2 1 ? m2 n 2 ? 3 ?6mn ? 6 1 ? 8m 2 ? ? ? 0 ,由此可得 8m2 ? 6mn ? n 2 ? 1 , 所以 x1 x2 ? 3( x 1 ? x2 ) ? 8 ? 2 2 2 1? m 1? m 1? m

?1 ? m ? x ? ? 2mn ? 2? x ? n
2 2

2

? 3 ? 0 ,则 x 1 ? x2 ? ?

也即 (3m ? n)2 ? 1 ? m2 ,

3m ? n 1 ? m2
2

? 1 ????????( ※ ).

假设存在定圆 ? x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 ,总与直线 FG 相切,则
2

d?

ma ? b ? n 1? m
2

是定值 r ,即 d 与 m, n 无关,与

3m ? n

? a ? ?3 , ? 1 ??( ※ )对比,有 ? 1? m ?b ? 0
2

此时 d ? r ?

3m ? n 1? m
2

? 1 ,故存在定圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 ,当直线 FG 的斜率不存在时,

x1 ? x2 ? ?2 ,直线 FG 的方程是 x ? ?2 ,显然和圆相切.故直线 FG 能恒切于一个定圆

( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 .

?????14 分

y F · O D C G G

Q

x

12


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黄冈中学2012年秋季高一期末试题-数学
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黄冈中学2012年春季高一期末试题-物理
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湖北省黄冈中学2012年秋季高一数学期末考试试题及答案
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黄冈中学2012年春季高一期末试题-语文
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黄冈中学2012年春季高一期末试题-地理
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湖北省黄冈中学2012年秋季高一数学期末考试试题及答案
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