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3.1正整数指数函数


第三章 指数函数与对数函数
§1、正整数指数函数(第1课时)

高一年级数学组

观察事例1: 1、某种细胞分裂时,由一个分为2个,2 个分 为4个,……一直分下去。 (1)列表表示1个细胞分裂次数分别是1,2,3,4, 演 示 5,6,7,8时,得到的细胞个数。 (2)用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N+)与得 到的细胞个数

y之间的关系。 演 示 (3)写出y与n之间的关系式,试用科学计算器 计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数。
演 示

观察事例2 :

一根1米长的绳子,第一次剪掉绳长的一半,第二次剪 掉剩余绳长的一半……剪了n次后剩余绳子的长度为y米, 试写出y和n的关系式并用图像表示。
第1次 第2次 第3次 第4次

第n次

通过分析剩余绳子的长度为y与所剪的次数n如下关系:
y
1 2

? ( ) 2
? ( ) 2 ? ( ) 2 1 1
2

1

1

n 1 2

表达式:

1 4

y ? (

1 2

)

n

(n ? N

?

)

1 8

3

3 … n

……

y

? ( ) 2

1

n

列表
n 1 2 3 4 5

y 描点

1 2
1 2

1 4
y

1 8

1 16

1 32

3
1
1 8

8
4

O

1

2

3

4

5

n

思考:在我们刚研究的两个关系式

y ? 2 (n ? N ? )
n

y ? ( ) (n ? N ? ) 2
n

1

中,y与n之间是否为函数关系?

正整数指数函数的概念: 一般地,函数 y=ax( a>0,a≠1, x∈N+ )叫做 正整数指数函数,它的定义域是N+.

特别指出的是 y ? a

x

有如下特点:

① x是自变量,定义域是正整数集 N ? , x在指数上. ② 当a>1时,是单调递增函数,当0<a<1时,是单 调递减函数. ③ 规定底数a大于0且不等于1.

④形式 y ? a 的严格性:a 变量x在指数的位置上.
x

x

前的系数必须是1,自

例1:判断下列函数是否为正整数指数函数
(1) y ? 3 ( x ? N ? )
x

(




)

(2) y ? 3 ( x ? N ? ) (3)
y ? 2 ?3 (x ? N? )
x

?x

(
( (

)

× )
× )

(4)

y ? x (x ? N ? )
3

例2.下列给出的正整数指数函数是减函数 的是( c )
A. B. C. D.

y ? 1 .2 ( x ? N ? )
x

y ? 3 (x ? N? )
x

y ? 0 .6 ( x ? N ? )
x

y ? e (x ? N ? )
x

? 例3

某地现有森林面积1 000 h m 2 ,每年增长5%, 经过 x ( x ? N ) 年,森林面积为 y ,写出x,y 间的函数关系式,并求出经过5年森林的面积。
?

分析:要想知道森林面积为 y 与年经过的年数x间的 函数关系式,先请同学们思考每一年的增长 情况! 演 示 解:y与x之间的函数关系式:
y ? 1 0 0 0 (1 ? 5 % ) ( x ? N ? )
x

经过5年,森林的面积
y ? 1 0 0 0 ? (1 ? 5 % ) ? 1 2 7 6 .2 8( h m )
5 2

练习 P63:1,2

? 请同学们从报纸﹑杂志中或上网搜集有关

正整数指数函数的实例,并进行交流。

据国家统计局最新统计数字2000年中国人均 GDP这7078元,人均GDP增长率7.3%,那么到 2020年人均GDP为多少元?
解:设经过x年人均GDP达到y元. 则.
y ? 7 0 7 8(1 ? 7 .3 % )
x

那么经过20年:
y ? 7078 ? 1.073
20

? 7078 ? 4.093 ? 28970( 元 )

答:到2020年人均GDP为28970元

课堂小结
1.正整数指数函数的概念

2.正整数指数函数的图像特征

作 业
P63: 3-1
1,2


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