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必修一同步课件:2.2.2(第1课时)对数函数的图象及性质


2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质 一、对数函数的定义 1.解析式:____________________. y=logax(a>0,且a≠1) 2.自变量:__. x 思考:为什么在对数函数中要求a>0,且a≠1? 提示:根据对数式与指数式的关系知,y=logax可化为ay=x, 联想指数函数中底数的范围,可知a>0,且a≠1. 二、对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象 请在下列给出的平面直角坐标系中分别画出0<a<1和a>1时 的对数函数的图象 0<a<1 a>1 2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的性质 定义域 值域 定点 单调性 (0,+∞) ________ __ R (1,0) 即x=__ ______, 1 时,y=__ 0 (0,+∞) 上是_______ 减函数 当0<a<1时,y=logax在________ (0,+∞) 上是_______ 增函数 当a>1时,y=logax在________ 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对数函数的图象一定在y轴右侧.( ) ) (2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( (3)当a>1时,若x>1,则logax>0.( ) 提示:(1)正确.通过a>1和0<a<1时的对数函数的图象可知,对 数函数的图象一定在y轴右侧. (2)错误.当a>1时,对数函数y=logax在(0,+∞)上是增函数; 当0<a<1时,对数函数y=logax在(0,+∞)上是减函数. (3)正确.当a>1时,对数函数y=logax在(0,+∞)上是增函数, 若x>1,则logax>loga1=0. 答案:(1)√ (2)× (3)√ 三、反函数 在a>0且a≠1的前提下根据反函数的定义回答下列问题: 1.y=ax的反函数是_______. y=logax 2.y=logax的反函数是____. y=ax 思考:若函数y=ax的图象过点(m,n),则函数y=logax的图象 一定会过点(n,m)吗? 提示:若函数y=ax的图象过点(m,n),则有n=am,将其化为对 数式有m=logan,这说明函数y=logax的图象一定会过点(n,m). 【知识点拨】 1.对数函数概念的理解 (1)对数函数的概念与指数函数类似,都是形式化定义,如 y=log2(x-1),y=log2 都不是对数函数,可称其为对数型函数. (2)由指数式与对数式的关系知:对数函数的自变量 x恰好是 指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域是(0,+∞). x 5 2.对数函数图象和性质的关系 图象特征 函数性质 位于y轴右侧 恒过定点(1,0) 图象可以分为两类:一 类图象在区间(0,1)内 纵坐标都小于0,在区 间(1,+∞)内纵坐标都 大于0;另一类图象恰 好相反 自左向右看,a>1时图 象逐渐上升;0<a<1时 图象逐渐下降 定义域为(0,+∞),值域为R 对于任意的a>0且a≠1,总有loga1=0 当a>1时, (1)若0<x<1,则logax<0 (2)若x>1,则logax>0 当0<a<1时, (1)若0<x<1,则logax>0 (2)若x>1,则logax<0 当a>1时,y=logax是增函数; 当0<a<1时,y=logax是减函数 3.底数对对数函数图象的影响 (1)依据:对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象与直线y=1的 交点是(a,1). (2)对图象的影响:比

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