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1.3.2函数的奇偶性教案(人教A版必修1)



一、教学背景分析











1、教材分析:本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学 1》 (人教 A 版)第一章第三节第二课《1.3.2 奇偶性》 。奇偶性是函数的重要性质之一:一方 面,奇偶性是初中学习的图象对称性内容的延

伸 , 另一方面,学习性质也为进一 步研究基本初等函数等内容做好准备。 而奇偶性是在学生学习了函数的有关概念 和单调性的基础上,对函数知识进一步深入和拓广。 2、学情分析:我所教学的学生是我校高一的学生,学生还处在适应期,大 部分学生的抽象思维能力和演绎推理能力较弱, 所以在授课时注重从具体的例子 出发,即先给出几个特殊函数的图象,让学生通过图象直观获得函数奇偶性的感 性认识,然后在这个基础上形成概念.教学过程中注重引导、启发、研究和探讨以 符合这类学生的心理发展特点,从而促进思维能力的进一步发展。

二、教学目标
1、知识与技能: (1)建立奇偶性的概念 通过观察一些函数图象的对称性,形成奇偶性的直观认识。然后利用表格探 究数量变化特征,通过代数运算,验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值 都成立,最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。 (2)掌握函数奇偶性的判别方法。 通过对典型例子的探讨, 加深对奇偶性实质的理解,进一步形成判断的方法 步骤,从而能应用到例题中去。 (3)函数奇偶性的研究经历了从直观到抽象,从图形语言到数学语言,理 解奇函数、偶函数概念的本质特征。在这个过程中,让学生通过自主探究活动, 体验数学概念的形成过程, 使学生学习数学思考的基本方法,培养学生的数学思 维能力。 2、过程与方法: 通过“观察” 、 “思考” 、 “探究”与“合作交流”等一系列教学活动,利用几 何画板、实物投影仪等辅助教学,激发学生积极主动地参与教学活动。使学生学 会数学思考,学会反思与感悟,形成良好的数学观。本节课,通过动手实践,观察 图象创设问题情境引导学生概括出图象特点并抽象出奇偶性的概念; 通过典型例 子,学生探索质疑,加深对奇偶性概念实质的理解;接着就奇偶性概念的特点, 概括出判断的方法步骤,最后通过例子练习加深巩固。在引导分析时,留出“空 白” ,让学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,围绕中心各抒己见,把思 路方法和需要解决的问题弄清。 3、情感态度与价值观: 培养学生合作、交流的能力和团队精神;培养学生善于观察、勇于探索、严 密细致的科学态度; 同时通过欣赏生活中一些对称的图形, 使学生感受到数学美, 陶冶了情操。 三、教学重点与难点 重点:①形成奇偶性的形式化定义。 ②掌握函数奇偶性的判别方法。 难点:形成奇偶性定义的过程中,如何从图象的直观认识过渡到函数奇偶性 的数学符号语言表述。

四、教学过程
教学基本流程:
复 习 回 顾 课 题 引 入 研 讨 探 究 知 识 形 成 应 用 练 习 课 堂 小 结 布 置 作 业

教学 环节













设计意图

[来源: ]

请同学们填写下表并画出下列 学生动手填表并画图 函数图象: (1) y 3 (1)正比例函数 f(x)=2x; 2
x f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
1 -3-2-1 -1 1 2 3 x -2 -3

(2)反比例函数 f ( x) ? 1 ; x
x f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

(2)

y 3 2 1 -3-2-1 -1 1 2 3 x -2 -3 y 3 2 1 -3-2-1 -1 1 2 3 x -2 -3

(3)一次函数 f(x)=-2x+1;
x -3 -2 -1 0 1 2 3

(3)

创设 f(x) 情景 引入 (4)二次函数 f(x)=x2+1; 新课 x -3 -2 -1 0 1
f(x)

(4)
[来源: ]

2

3

y 5 4 3 2 1 -3-2-1 1 2 3 x y 5 4 3 2 1 -3-2-1 1 2 3 x

(5)分段函数 f(x)=|x|
x f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

(5)

通过填表 和作图,让 学生获取函 数性质的直 观认识,从 而 引 入 新 课. 所列出 的 五 个 函 数,恰好包 括了函数奇 偶性的三种 类型:奇函 数、 偶函数、 既不是奇函 数也不是偶 函数。 (既奇 又偶函数在 后面另外讨 论)

师:这些图形不仅显示了增减 性,还显示了其他特征,尤其 是有一种我们初中就学过的优 美的对称性——中心对称和轴 对称。今天我们就来研究这种 性质。 (板书课题) 1、观察(1) (2)两个表格,注意它 师:引导学生观察表格 启发学生 们函数值的变化, 能发现它们有什么 生:看表,并说出自已的看法。 由图象的对 共同特征吗? 称性,联系 探索 师:引导学生观察图象的对称 到函数值的 研究 2、 再观察函数(1)(2)的图象,你能发 性,导入新课 变化,为进 现它们有什么共同特征吗? 生: 观察图象左右两半的特征, 一步学习定 (可用几何画板演示图象的对称性) 并回答问题。 (图象是关于原点 义 奠 定 基

础.几何画 板的使用, 师:引导学生把图象特征跟函 会使数与形 3、图象的这一特征能从表格里的函 数值的变化联系起来。 的结合表现 数值的变化中体现出来吗? 生:尝试把几何特征跟代数特 得 更 加 自 征联系起来。 然。

对称的)

发现 规律

继续 探索 研究

学生经过思考后,回答: 学生 1: (1)f(x)=2x 时,f(-x)=2(-x)=-2x,有 f(-x)=-f(x) 学生 2: (2) f ( x) ? 1 时, f (? x) ? ?1x ? ? 1 ,有 f(-x)=-f(x) x x 图象是关于原点对称的 进一步研究(3) 学生 3:(3)f(x)=-2x+1 时,f(-x)=-2(-x)+1=2x+1.看不出 f(-x)与 f(x)有什么关系。图象也没有关于原点对称。 师:象(1) (2)这样的函数,我们称它为奇函数; (3)不是奇函数 师:引导学生观察表格 4、观察(4) (5)两个表格,注意它 生:看表,并说出自已的看法。 们函数值的变化, 能发现它们有什么 共同特征吗? 师:引导学生观察图象的对称 性,导入新课 5、 再观察函数(4)(5)的图象,你能发 生:观察图象左右两半的特特 现它们有什么共同特征吗? 征,并回答问题。 (图象是关于 (可借助几何画板演示图象的对称 y 轴对称的) 性) 师:引导学生把图象特征跟函 数值的变化联系起来。 6、图象的这一特征能从表格里的函 生:尝试把几何特征跟代数特 数值的变化中体现出来吗? 征联系起来。

指导学生 从定性分析 到定量分析 几个函数的 共性特点。 从直观认识 过渡到数学 符号表述. 在前面的 基础上进一 步探讨偶函 数的特征.

学生 4: (4)f(x)= x2+1 时,f(-x)=(-x)2+1=x2+1,有 f(-x)=f(x) 学生 5: (5)f(x)=|x|时,f(-x)=|-x|=|x|,有 f(-x)=f(x) 发现 图象关于 y 轴对称。 规律 师:象(4) (5)这样的函数,我们称为偶函数。

用数学符 号表述图象 特征.

(1)如果对于函数 f(x)定义域 引导学生归纳总结,教师补充,并根 内 的 任 意 一 个 x , 都 有 据学生回答进行板书。 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x) 叫做奇函数;奇函数图象关于 原点对称。 定义

从具体到 一般引出奇 偶函数的定 义 . 让学生 参与到知识 的形成过程 (2) 如果对于函数 f(x) 定义 中,获得数 域 内 的 任 意 一 个 x , 都 有 学学习的成 f(-x)= f(x),那么函数 f(x) 就感。 叫做偶函数;偶函数图象关于 y 轴对称。

师:函数奇偶性的定义,由两名话组成,一句描述自变量,一句描述 函数值。各用了一个关键的字眼: “任意” (一个 x) 、 “都有” (一个 恒等式) 。对这两个关键词一定都要真正理解,知道吗? 学生(齐) :知道! 师:这两句话中,哪一句对函数性质的刻划更实质?对我们掌握这个 概念更重要? 学生 6:我想是第二句“都有 f(-x)=-f(x)”与“都有 f(-x)=f(x)” 。 师:对。为了判断一个函数是否有奇偶性,我们要去验证恒等式: f(-x)=±f(x)是否成立。反过来,若已知函数有奇偶性,便必有上述 恒等式成立。现在,我们就根据这个标准来判别上述五个函数的奇偶 性。 学生 7: (1) (2)是奇函数, (4) (5)为偶函数, (3)不知道奇偶性 师: (3)这种函数 f(-x)既不恒等于-f(x),又不恒等于 f(x),我们今 后就称它为“既不是奇函数也不是偶函数”的函数。 师:下面,我们来讨论一个更深入的问题。 2x 2 ? 2x f ( x ) ? 函数(6) : 的奇偶性如何? x ?1 (让学生分小组讨论后提问) 学生 8:既不是奇函数也不是偶函数。 师:为什么? 2x 2 ? 2x f ( ? x ) ? 学生 8 :因为 与 ? f ( x) 及 f ( x) 的表达式都不一样。 定义 ? x ?1 的理 师:其它同学的意见呢? 解 2 x 2 ? 2 x 2 x( x ? 1) ? ? 2 x 。它就是我们 生 9:是奇函数,因为 f ( x) ? x ?1 x ?1 上面说的第(1)个函数,所以是奇函数。 师:好,我理解你的意思:因为函数(6)与函数(1)是同一个函数, 而函数(1)是奇函数,所以函数(6)也是奇函数,是这样吗? 学生 9:是的。 师:现在我们有两个意见,一个说既不是奇函数也不是偶函数,一个 说奇函数,你们大家独立思考,畅所欲言。 学生 10:函数(6)与(1)不是同一函数,因为它们的定义域不尽 相同。 (1)的定义域为全体实数; (6)的定义域是{x|x≠-1}.但是, 我不知道定义域的这一点微小变化是否影响函数的奇偶性。 师:好,我们重新研究一下奇偶性的定义,想想,定义里奇偶函数对 定义域有哪些要求呢? 学生思考,讨论,交流,学生代表(举手)发言 11: 象函数 f(x)=2x(x≠-1)中,当 x=1 时,f(-x)≠-f(x),与定义 中的“任意”一个 x 不相符,所以它不是奇函数,更不会是偶函数。 师:由上面的讨论我们可以看到,虽然函数奇偶性定义中最本质的是 恒等式 f (? x) ? ? f ( x) ,但这有一个前提,即 f(x)与 f(-x)同时有定 义,也就是 x 与-x 同时属于函数的定义域,由此,可以得出一个简 单推论。 (出示推论全文) 推论:奇、偶函数的定义域在 x 轴上对应的点集关于原点对称。 师:现在,我们继续讨论下一个问题。按照定义,有的函数为“奇函
[来源: ]

引导学生 把握定义里 的关键词, 提高学生概 括能力,学 会抓重点。

这个例子 不仅强调了 定 义 中 的 “定义域” , 而且是对奇 偶性概念进 行 反 面 理 解。 教法上以 学生为主, 通过学生的 争论,教师 的 宏 观 指 导,及时点 拔,很自然 地加深了对 定 义 的 理 解。

数学思维 中最积极的 成 分 是 问 题,不断地 提出问题, 解决问题。

数”,有的函数为“偶函数” ,还有的为“既不是奇函数也不是偶函 数” ,那么,有没有“既是奇函数又是偶函数”的函数呢? 师:这是一个探索性的问题,我们可以先假设某一个函数具有这样的

使思维不断 地升华。 师:从上面分析,可以概括出两点: (1)奇偶函数的定义域必须关于原点对称; (2)判断函数的奇偶性,将有 4 种结论:是奇函数而不是偶函数; 是偶函数而不是奇函数;既是奇函数又是偶函数;既不是奇函数也不 是偶函数。 小结 下面,我们就来学习函数奇偶性的判别方法。 提高 在这一教 学过程中, 教师通过设 问、启发、 引导、 讨论, 让学生参与 了知识的发 生过程,把 握了概念的 实质。

如何判断函数的奇偶性呢?

应用 巩固

教师概括出三个步骤: (1)求函数的定义域。目的在 于确定定义域是否关于原点对 称,若是,则进行后面步骤; 若不对称,则可判定为“既不 是奇函数也不是偶函数” (2)计算 f(-x) (3)判断 f(-x)=±f(x)是否 成立,可按上述 4 种结论选择 其一。

在对实质 认识的基础 上,进一步 提炼出程序 性、操作性 的方法。学 生认识水平 获 得 了 提 高。

例 1 判断下列函数的奇偶性: 1 (1) f ( x) ? x ? ; x 1 (2) f ( x ) ? 2 ; x x3 (3) f ( x) ? ; x ?1 (4) f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 ; (5) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1

第(1)题教师板书讲解。 解:函数定义域为 {x|x ≠ 0,x ∈R} 1 ∵f(-x)=(-x)+ ?x 1 =-(x+ ) x =-f(x) ∴f(x)是奇函数 第(2)题请一名学生口述解答 过程。 (偶函数) 第(3) (4) (5)题请三名同学 上黑板析演。 (既不是奇函数也不偶函 数、既奇又偶、既不奇也不偶) 解答略

教师首先 作出书写格 式的示范, 让学生有本 可依。然后 看看学生的 板演,有针 对性地作出 修 订 与 讲 评。 五道题的 选择都是有 针对性的。

奇偶函数图象对称性的应用: 学生画图,请两位同学板演; 例 2 已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇 教师巡视,指点学生作图。 例 2 的设 函数,试将下图补充完整。 计主要是理 (教师可用几何画板演示另一 解奇偶函数 半图象的形成过程) 的 图 象 特 y 征,与课题 f(x) 引入中例子 遥相呼应。 x
y

g(x)
x

例3 学生练习 , 讨论 , 学生口述 , 教 (1)若 f(x)为奇函数,且 x=0 时有 师板演. 定义,则 f(0)的值为多少? (1)解:∵f(x)是奇函数 3 ∴ f(-x)=-f(x) (2)若函数 f ( x) ? x ? x ? a ( x ? R) ∴ f(-0)=-f(0) 为奇函数,求 a 的值. ∴ 2f(0)=0 ∴ f(0)=0 (2)解:∵f(x)是奇函数 ∴f(-x)=-f(x) ∴(-x)3+(-x)+a=-(x3+x+a) ∴2a=0 ∴a=0 课堂练习: 1、下列函数是偶函数的是: A.y=x2,x∈[-1,2] B.y=x2+x,x∈R 3 C.y=2|x|-1,x∈R D.y=x 2、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2) f ( x) ? (1 ? x)

进一步加 深对概念的 理解,并能 利用概念解 决一些简单 的问题。





巩固课堂 所学知识。

1? x 1? x
学生自己 小结,使学 生对自己所 学知识有更 深 刻 的 认 识。 作业是课 堂的延续, 除了检验学 生对本节课 知识的理解 程度,还在 于引导学生 对本课知识 的进一步探 究,让学生 在更大的深 度与广度之 间 进 行 思 考。

教师提出下列问题让学生思考: ①通过奇偶函数概念的形成过程,你学习到了什么? 课堂 ②奇偶函数的图象有什么特点?如何根据图象画出另一半的图象? 小结 ③怎样判别函数的奇偶性? 师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结,让学生充分发表自已 的意见。 思考题: 对于问题(2)可用几何画板展示 1、在公共定义域上,奇偶函数的 函数 f(x)=x3 的图象, 让学生去思 和、差、积、商的奇偶性如何? 考。 2、已知是 f(x)是奇函数,而且在 (0, + ∞)上是增函数, f(x)在 (- ∞ ,0) 上 是 增 函 数 还 是 减 函 数? 作业 布置 课后作业: 1、课本 P36 练习 1、2 2、课本 P39 习题 1.3 A 组 第六题 B 组第三题 3、 《高中数学教学与测试》必修 1 P13 函数的简单性质——奇偶性

五、教学评价: 本节课以“教师为主导,学生为主体”为指导思想,充分考虑到学生的个性

发展,通过引导学生以自主探究,讨论交流方式去获取新知。在形成奇偶性的形 式化定义过程中,让学生参与到分组讨论,在讨论中解决问题,逐步突破本节难 点。让所有学生都在数学学习中获得成功体验。同时从《课标》评价理念出发, 鼓励学生发表自已的观点。充分质疑,树立自信心,充分培养学生观察、类比、 分析、概括以及合作、交流能力。


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