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2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试数学


2016 届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试 数学Ⅰ
说明:本试卷共 20 题,总分 160 分,考试时间 120 分钟.请将答案填写在答卷纸上. 一?填空题:本大题共 14 小题, 每小题 5 分, 共计 70 分. 请把答案填在答卷纸相应位置上. a 1.已知集合 M={0,2,4},N={x|x= ,a∈M},则集合 M∩N= 2 2.已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z|的取值范围是 ▲ ▲ . . ▲ .

3.若直线 l1:x+2y-4=0 与 l2:mx+(2-m)y-3=0 平行,则实数 m 的值为

4.某学校有 A,B 两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则 三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ . ▲ .

5.如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是

开始
a ? 5, S ? 1
频率/组距 0.0005 0.0004

S ? S ?a a ? a ?1

a≥ 4 Y

N
输出S

0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

结束

(第 5 题)

(第 6 题)

6.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图(如图) .为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从 这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查, 则月收入在[2500, 3000)范围 内的应抽出 ▲ 人. ▲ .(填所有真

7.已知 l 是直线,α、β 是两个不同的平面,下列命题中的真命题是 命题的序号)
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①若 l∥α,l∥β,则 α∥β②若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β ③若 l∥α,α∥β,则 l∥β ④若 l⊥α,l//β,则 α⊥β 8.如图,抛物线形拱桥的顶点距水面 4 米时,测得拱桥内水面宽为 16 米;当水面升高 3 米后,拱桥内水面的宽度为 ▲ 米.

(第 8 题)

9.已知正数 a,b,c 满足 3a-b+2c=0,则

ac 的最大值为 b





10.在 ΔABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a= 5,b=3,sinC=2sinA,则 ΔABC 的面积为 ▲ . ▲ .

11. 已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项的和,若 S2≥4, S4≤16,则 a5 的最大值是

π π? 12. 将函数 f(x)=sin(2x+θ)? ?-2<θ<2?的图象向右平移 φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P?0,

?

3? ,则 φ 的值为 2?





→→ 13. 在半径为 1 的扇形 AOB 中, ∠AOB=60o, C 为弧上的动点, AB 与 OC 交于点 P, 则 OP · BP 的最小值是 ▲ .

1 14.用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值.已知函数 f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-lnx,设函 4 数 h(x)=min{f(x), g(x)}(x>0), 若 h(x)有 3 个零点, 则实数 a 的取值范围是 ▲ .

二?解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明?证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(cosθ, 2sinθ),B(sinθ,0),其中 θ∈R. → 2π (1)当 θ= 时,求向量 AB 的坐标; 3 → π (2)当 θ∈[0, ]时,求| AB |的最大值. 2

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16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 E-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,AC 与 BD 交于点 O,EC⊥底 面 ABCD,F 为 BE 的中点. (1)求证:DE//平面 ACF; (2)若 AB= 2CE,在线段 EO 上是否存在点 G,使得 CG⊥平面 BDE?若存在,请 证明你的结论;若不存在,请说明理由.

(第 16 题)

17.(本小题满分 14 分) 如图,某水域的两直线型岸边 l1,l2 成定角 120o,在该水域中位于该角角平分线上且 与顶点 A 相距 1 公里的 D 处有一固定桩. 现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔 离网 BC(B,C 分别在 l1 和 l2 上) ,围出三角形 ABC 养殖区,且 AB 和 AC 都不超过 5 公里.设 AB=x 公里,AC=y 公里. (1)将 y 表示成 x 的函数,并求其定义域; A (2)该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区? x B l1 D
(第 17 题)

120o 1

y C l2

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18.(本小题满分 16 分) 已知点 P 是椭圆 C 上的任一点,P 到直线 l1:x=-2 的距离为 d1,到点 F(-1,0)的 d 2 距离为 d2,且 2= . d1 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B(A,B 都在 x 轴上方),且 ∠OFA+∠OFB=180? . (i)当 A 为椭圆 C 与 y 轴正半轴的交点时,求直线 l 的方程; (ii)是否存在一个定点,无论∠OFA 如何变化,直线 l 总过该定点?若存在,求 出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

(第 18 题)

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 g(x)=2alnx+x2-2x,a∈R. (1)若函数 g(x)在定义域上为单调增函数,求 a 的取值范围; (2)设 A,B 是函数 g(x)图象上的不同的两点,P(x0,y0)为线段 AB 的中点. (i)当 a=0 时,g(x)在点 Q(x0,g(x0))处的切线与直线 AB 是否平行?说明理由; (ii)当 a≠0 时,是否存在这样的 A,B,使得 g(x)在点 Q(x0,g(x0))处的切线与直 线 AB 平行?说明理由.

20.(本小题满分 16 分) 已知数列{an},{bn}满足:bn=an+1-an(n∈N*) . (1)若 a1=1,bn=n,求数列{an}的通项公式; (2)若 bn+1bn-1=bn(n≥2) ,且 b1=1,b2=2. (i)记 cn=a6n-1(n≥1) ,求证:数列{cn}为等差数列; a (ii)若数列{ n}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项 a1 应满 n 足的条件.

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2016 届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试 数学Ⅱ附加题部分
说明:本试卷共 4 小题,满分 40 分,考试时间 30 分钟.请将答案填写在答卷纸上. 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域 ....... ......... 内作答 .若多做,则按作答的前两题评分. ... 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图,△ABC 内接于圆 O,D 为弦 BC 上一点,过 D 作直线 DP // AC,交 AB 于点 E, 交圆 O 在 A 点处的切线于点 P. 求证: △PAE∽△BDE. P A E B D
(第 21—A 题)

C

B.选修 4—2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) π 变换 T1 是逆时针旋转 角的旋转变换,对应的变换矩阵是 M1;变换 T2 对应的变换矩 2 1 阵是 M2=? ?0 1? . 1?

(1)点 P(2,1)经过变换 T1 得到点 P',求 P'的坐标; (2)求曲线 y=x2 先经过变换 T1,再经过变换 T2 所得曲线的方程.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点
?x=3+2cosθ, A,B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,求 AB 的最 ?y=4+2sinθ

大值 . D.选修 4—5:不等式选讲
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(本小题满分 10 分) 已知:a≥2,x∈R. 求证:|x-1+a|+|x-a|≥3. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指定区域内 作答. ........ 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=2px(p>0)的准线 l 与 x 轴交于点 M, 过 M 的直线与抛物线交于 A,B 两点.设 A(x1,y1)到准线 l 的距离为 d,且 d=λp(λ>0) . (1)若 y1=d=1,求抛物线的标准方程; → → (2)若AM+λ AB =0,求证:直线 AB 的斜率为定值.
l

y
B A
O

M

x

(第 22 题)

23. (本小题满分 10 分) 设 f(n)=(a+b)n(n∈N*,n≥2) ,若 f(n)的展开式中,存在某连续 3 项,其二项式系数 依次成等差数列,则称 f(n)具有性质 P. (1)求证:f(7)具有性质 P; (2)若存在 n≤2016,使 f(n)具有性质 P,求 n 的最大值.

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2016 届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试
数学 I 答卷纸
题号 得分 注意事项:1. 答题前,考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座位号填写清楚; 2. 在草稿纸、试题卷上答题无效.
得分 评卷人



15

16

17

18

19

20

总分

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请将答案 填写在题号后的横线上. 4. 5. 9. 10. 14.

1. 2. 3. 6. 7. 8.

11. 12. 13.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.
得分 评卷人 15 . (本小题满分 14 分)

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得分 评卷人 16 . (本小题满分 14 分)

(第 16 题)

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得分 评卷人 17 . (本小题满分 14 分)

A x B C l1 D
(第 17 题)

120o 1

y

l2

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得分 评卷人 18 . (本小题满分 16 分)

(第 18 题)

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得分

评卷人

19. (本小题满分 16 分)

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得分

评卷人

20. (本小题满分 16 分)

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2016 届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试
数学 II 答卷纸
题号 得分 注意事项:1. 答题前,考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座位号填写清楚; 2. 在草稿纸、试题卷上答题无效. 解答题:共 4 小题,共计 40 分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 得分 评卷人 21. (本小题满分 10 分) 21(1) 21(2) 22 23 总分

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得分 评卷人 10 分) 21 . (本小题满分

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得分 评卷人 10 分) 22 . (本小题满分
l

y
B A
O

M

x

(第 22 题)

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得分 评卷人 10 分) 23 . (本小题满分

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2016 届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试
数学Ⅰ参考答案与评分建议
一? 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. {0,2} 7.④ 13.- 1 16 2.(1, 5) 8. 8 9. 2 3. 3 3 4. 4 5.20 5π 12. 6 6.25

6 10.311.9 12

5 3 14.(- ,- ) 4 4

二?解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. → 15、解: (1)由题意,得 AB =(sinθ-cosθ,- 2sinθ), ……………… 2 分 2π 2π 2π 1+ 3 当 θ= 时,sinθ-cosθ=sin -cos = , …… 4 分 3 3 3 2 2π 6 - 2sinθ=- 2sin =- , 3 2 → 1+ 3 6 所以 AB =( ,- ). ……………… 6 分 2 2 → (2)因为 AB =(sinθ-cosθ,- 2sinθ), → 所以 | AB |2=(sinθ-cosθ)2+(- 2sinθ)2 ……………… 8 分 =1-sin2θ+2sin2θ =1-sin2θ+1-cos2θ π =2- 2sin(2θ+ ). …………10 分 4 π π π 5π 因为 0≤θ≤ ,所以 ≤2θ+ ≤ . …… 12 分 2 4 4 4 → π 5π 2 所以当 2θ+ = 时,| AB |2 取到最大值 2- 2× (- )=3, 4 4 2 → π 即当 θ= 时,| AB |取到最大值 3. ……………… 14 分 2 16、 (1)证明:连接 OF 由四边形 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 的中点 又 F 为 BE 的中点,所以 OF//DE……………… 2 分 又 OF?平面 ACF,DE?平面 ACF 所以 DE//平面 ACF……………… 6 分 (2) 解:在线段 EO 上存在点 G,使 CG⊥平面 BDE,证明如下: 取 EO 的中点 G,连接 CG,在四棱锥 E-ABCD 中

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AB= 2CE,CO=

2 AB=CE,所以 CG⊥EO ………… 8 分 2

又由 EC⊥底面 ABCD,BD?底面 ABCD, 所以 EC⊥BD……………… 10 分 由四边形 ABCD 是正方形可知,AC⊥BD 又 AC∩EC=C 所以 BD⊥平面 ACE ,而 BD?平面 BDE……………… 12 分 所以,平面 ACE⊥平面 BDE,且平面 ACE∩平面 BDE=EO 因为 CG⊥EO,CG?平面 ACE,所以 CG⊥平面 BDE … 14 分 17 解:(1)由 SΔABD+SΔACD=SΔABC 1 1 1 得 xsin60? + ysin60? = xysin120? …………… 2 分 2 2 2 x 所以 x+y=xy,所以 y= …………… 4 分 x-1 5 又 0<y≤5,0<x≤5,所以 ≤x≤5 4 5 所以定义域为{x| ≤x≤5} ……………… 6 分 4 (2)设△ABC 的面积为 S,则结合(1)易得 1 1 x 3x2 5 方法一:S= xysinA= x· · sin120? = ,( ≤x≤5) 2 2 x-1 4(x-1) 4 (x-1)2+2(x-1)+1 x2 1 = =(x-1)+ +2≥4,…………10 分 x-1 x-1 x-1 1 当仅当 x-1= ,x=2 时取等号. x-1 故当 x=y=2 时,面积 S 取最小值 3(平方公里) ……… 12 分 1 1 3 x 方法二:S=SΔABD+SΔACD= xsin60? + ysin60? = (x+ ) 2 2 4 x-1 = = x-1+1 3 3 1 (x+ )= (x+ +1) 4 4 x-1 x-1 3 1 [(x-1)+ +2]≥ 3…………10 分 4 x-1 1 ,即 x=2 时取等号. x-1

当且仅当 x-1=

故当 x=y=2 时,面积 S 取最小值 3(平方公里)………12 分 答:该渔民总共至少可以围出 3平方公里的养殖区. …………14 分 18、解: (1)设 P(x,y),则 d1=|x+2|,d2= (x+1)2+y2, (x+1)2+y2 d2 2 x2 = = 化简得: +y2=1, d1 2 2 |x+2|
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…………2 分

x2 ∴椭圆 C 的方程为: +y2=1…………4 分 2 1-0 (2) (i)由(1)知 A(0,1),又 F(-1,0),∴kAF= =1, 0-(-1) ∵∠OFA+∠OFB=180? ,∴kBF=-1, ∴直线 BF 方程为:y=-1(x+1)=-x-1 x2 代入 +y2=1 得:3x2+4x=0, 2 4 解得 x=0 或 x=- , 3
?x=0 代入 y=-x-1 得? (舍)或 ?y=-1

…………6 分

?x=-3 ? 1 , ?y=3

4

4 1 ∴B(- , ) ,kAB= 3 3 .

1 1- 3 4 0-(- ) 3

1 = 2

1 ∴直线 AB 的方程为:y= x+1 …………9 分 2 (ii)解法一:由于∠OFA+∠OFB=180? ,所以 kAF+kBF=0 ……11 分 x2 2 设直线 AB 方程为:y=kx+b,代入 +y =1 2 1 2 2 2 得:(k + )x +2kbx+b -1=0, 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2) b2-1 2kb 则 x1+x2=- ,x1x2= …………13 分 1 1 k2+ k2+ 2 2 kx +b kx +b y y 所以,kAF+kBF= 1 + 2 = 1 + 2 x1+1 x2+1 x1+1 x2+1 (kx +b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1) = 1 =0 (x1+1)(x2+1) 所以,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b b2-1 2kb =2k× -(k+b)× +2b=0 1 1 2 k+ k2+ 2 2 ∴b-2k=0, 所以直线 AB 方程为:y=k(x+2) 所以直线 l 总经过定点 M(-2,0)……16 分 解法二:由于∠OFA+∠OFB=180? , 所以 B 关于 x 轴的对称点 B1 在直线 AF 上 …………11 分 x2 2 设直线 AF 方程:y=k(x+1),代入 +y =1 得: 2
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1 (k2+ )x2+2k2x+k2-1=0 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

k2-1 ,x1x2= …………13 分 1 1 k2+ k2+ 2 2 y -y y -y ∴kAB= 1 2,AB:y-y1= 1 2(x-x1),令 y=0,得: x1-x2 x1-x2 x -x x y -x y x=x1-y1 1 2= 2 1 1 2 y1-y2 y1-y2 ∵y1=k(x1+1),-y2=k(x2+1) x y -x y x × k(x1+1)+x1× k(x2+1) 2x1x2+x1+x2 ∴x= 2 1 1 2= 2 = y1-y2 k(x1+1)+k(x2+1) x1+x2+2 k2-1 2k2 2× - 1 1 k2+ k2+ 2 2 = =-2. 2k2 2- 1 k2+ 2 则 B1(x2,-y2)且 x1+x2=- 2k2

? 直线 l 总经过定点 M(-2,0)…………16 分
19、解: (1)函数 g(x)的定义域为(0,+∞), ∵g ′(x)= 2(x2-x+a) 2a +2x-2= , x x

若函数 g(x)在定义域上单调增,则由 g ′(x)≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立, 即 x2-x+a≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立, 所以 a≥-x2+x 对 x∈(0,+∞)恒成立, 1 记 h(x)=-x2+x,x∈(0,+∞),易得 h(x)max= , 4 1 ∴a≥ .…………4 分 4 (2) (i)a=0 时,g(x)=x2-2x,g ′(x)=2x-2,g ′(x0)=2x0-2, ∴kAB= g(x1)-g(x2) (x1+x2-2)(x1-x2) = =x1+x2-2=2x0-2 x1-x2 x1-x2

∴函数在 Q(x0,g(x0))点处的切线与直线 AB 平行.…………8 分 (ii)当 a≠0 时,若存在 A(x1,g(x1)),B(x2,g(x2))(0<x1<x2) ,使得 g(x)在 点 Q(x0,g(x0))处的切线与直线 AB 平行,则有 g′(x0)=
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g(x1)-g(x2) , x1-x2



(2alnx1+x1-2x1)-(2alnx2+x2-2x2) 2a +2x0-2= x0 x1-x2

2

2

x +x 又因为 x0= 1 2, 2 x 2aln 1 x2 2a ∴ +x1+x2-2= +x1+x2-2 x1+x2 x1-x2 2 x 2(x -x ) ∴即 ln 1= 1 2 x2 x1+x2 (* )

2(t-1) x 设 1=t,则(* )式整理得 lnt= , x2 t+1 问题转化成该方程在(0,1)上是否有解. …………12 分

2(t-1) (t-1)2 1 4 设函数 h(t)=lnt- ,则 g ′(x)= - = ≥0, t (t+1)2 t(t+1)2 t+1 所以函数 h(t)在(0,+∞)单调递增, 所以当 t∈(0,1)时,h(t)<h(1)=0, 2(t-1) 所以方程 lnt= 在(0,1)上无解, t+1 所以,不存在这样的 A、B,使得 g(x)在点 Q(x0,g(x0))处的切线与直线 AB 平行. …………16 分

20、解: (1)当 n≥2 时,有 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) n2 n =a1+b1+b2+…+bn-1= - +1. ……2 分 2 2 n2 n 又 a1=1 也满足上式,所以数列{an}的通项公式是 an= - +1.……4 分 2 2 b+ b+ 1 (2) (i)因为对任意的 n∈N*,有 bn+6= n 5= = n 1=bn, bn+4 bn+3 bn+2 所以 cn+1-cn=a6n+5-a6n-1 =b6n-1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4 1 1 =1+2+2+1+ + =7 2 2 所以,数列{cn}为等差数列.
*

…………8 分

(ii)设 cn=a6(n-1)+i(n∈N )(其中 i 为常数且 i∈{1,2,3,4,5,6}, 所以 cn+1-cn=a6(n-1)+6+i-a6(n-1)+i =b6(n-1)+i+b6(n-1)+i+1+b6(n-1)+i+2+b6(n-1)+i+3
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+b6(n-1)+i+4+b6(n-1)+i+5=7, 即数列{a6(n-1)+i}均为以 7 为公差的等差数列. …………10 分 7 7 7 (i+6k)+ai- i a- i 6 7 i 6 a + a +7k 6 设 fk= 6k i = i = = + (其中 n=6k+i, 6 i+6k 6k+i i+6k i+6k k≥0,i 为{1,2,3,4,5,6}中一个常数) 7 a 7 当 ai= i 时,对任意的 n=6k+i,有 n= ; 6 n 6

……12 分

7 7 ai- i ai- i 6 6 -6 7 7 当 ai≠ i 时,fk+1-fk= - =(ai- i) 6 6 [i+6(k+1)](i+6k) i+6(k+1) i+6k a + 7 ①若 ai> i,则对任意的 k∈N 有 fk+1<fk,所以数列{ 6k i }为递 6 6k+i 减数列; a + 7 ②若 ai< i,则对任意的 k∈N 有 fk+1>fk,所以数列{ 6k i }为递 6 6k+i 增数列. 7 4 1 1 1 7 4 1 1 1 综上所述, 集合 B={ }∪{ }∪{ }∪{- }∪{- }={ , , , - , - }. 当 6 3 2 3 6 6 3 2 3 6 a + a a1∈B 时, 数列{ n}中必有某数重复出现无数次; 当 a1?B 时, 数列{ 6k i }(i n 6k+i =1,2,3,4,5,6)均为单调数列,任意一个数在这 6 个数列中最多出现 a 一次,所以数列{ n}任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.16 分 n

2016 届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试
数学Ⅱ参考答案与评分建议
A.选修 4—1:几何证明选讲 【证明】因为 PA 是圆 O 在点 A 处的切线,所以∠PAB=∠ACB. 因为 PD∥AC,所以∠EDB=∠ACB, 所以∠PAE=∠PAB=∠ACB=∠BDE. 又∠PEA=∠BED,故△PAE∽△BDE. …………………… 10 分
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B.选修 4—2:矩阵与变换 0 -1? 解:(1)M1=? ?10 ?,……………………2 分 2? ?-1? M1? ?1?=?2 ?.所以点 P(2,1)在 T1 作用下的点 P'的坐标是 P'(-1,2). ……5 分 1 -1? (2)M=M2·M1=? ?10 ?,……………………7 分 x? ?x0? 设? ?y?是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是?y ?,
0

? x0-y0=x, ? x0=y, x0? ?x? ? 则 M? = , 也就是 即? ?y0? ?y? ?x0=y ?y0=y-x.

所以,所求曲线的方程是 y-x=y2.……………………10 分 C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:曲线 C1:(x-3)2+(y-4)2=4,曲线 C2:x2+y2=1……………………5 分 曲线 C1 是以(3,4)为圆心,1 为半径的圆;曲线 C2 是以(0,0)为圆心,1 为半径的圆, 可求得两圆圆心距为 32+42=5, AB≤5+2+1=8,所以 AB 的最大值为 8. ………………10 分 D.选修 4—5:不等式选讲 证明:因为|m|+|n|≥|m-n|, 所以|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-(x-a)|=|2a-1|. ………………… 8 分 又 a≥2,故|2a-1|≥3. 所以|x-1+a|+|x-a|≥3. ………………………………… 10 分 p 22.解: (1)由条件知,A(1- ,1),代入抛物线方程得 p=1. 2 所以抛物线的方程为 y2=2x. ………………………4 分 p (2)设 B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y=k(x+ ). 2 k2p2 将直线 AB 的方程代入 y2=2px,消 y 得 k2x2+p(k2-2)x+ =0, 4 -p(k2-2)-2p 1-k2 -p(k2-2)+2p 1-k2 所以 x1= ,x2= . 2 2k 2k2 ……6 分

→ → p p 因为 d=λp,所以 x1+ =λp,又AM+λ AB =0,所以 x1+ =λ(x2-x1), 2 2 2p 1-k2 所以 p=x2-x1= , k2 …………………………………8 分 ………………10 分

所以 k2=2 2-2,所以直线 AB 的斜率为定值.
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23. 解: (1)f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为 C7=7,C7=21,C7=35, 因为 C7+C7=2C7,即 C7,C7,C7成等差数列, 所以 f(7)具有性质 P. (2)设 f(n)具有性质 P, 则存在 k∈N*,1≤k≤n-1,使 C 所以 C
k-1 k+1 k n +C n =2Cn. k-1 k k+1 n CnC n 成等差数列, 1 3 2 1 2 3 1 2 3

…………………………4 分

整理得,4k2-4nk+(n2-n-2)=0,

…………………7 分

即(2k-n)2=n+2,所以 n+2 为完全平方数. 又 n≤2016,由于 442<2016+2<452, 所以 n 的最大值为 442-2=1934,此时 k=989 或 945. ……10 分

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