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2017届高考数学大一轮总复习 第十章 统计、统计案例及算法初步 10.1 随机抽样课件 文


第十章 统计、统计案例及算法初步

第一节

随机抽样

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲 1.理解随机抽样的必要性和重要性;2.会用简单随机抽样方 法从总体中抽取样本;3.了解分层抽样和系统抽样方法。
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br /> J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.抽样调查 (1)抽样调查 通常情况下,从调查对象中按照一定的方法抽取一部分,进行 调查或观测 ,获取数据,并以此对调查对象的某项指标作出____ 推断, ________________ 这就是抽样调查。

(2)总体和样本
全体 称为总体,被抽取的__________ 一部分 称为样本。 调查对象的_________ (3)抽样调查与普查相比有很多优点,最突出的有两点: 迅速、及时 ; ①__________ ②节约人力、物力、财力。

2.简单随机抽样
(1) 定义:设一个总体含有 N 个个体,随机地抽取 n 个个体作为样本 (n<N),在抽取的过程中,要保证每个个体被抽到的______________ 概率相同 ,这样

的抽样方法叫作简单随机抽样。 抽签法 和随机数法。 (2)方法:___________
3.分层抽样

(1)定义:
将总体按其属性特征分成若干类型 (有时称作层),然后在每个类型中 按所占比例随机抽取一定的样本,这种抽样方法称为分层抽样,有时也称

为类型抽样。
(2)分层抽样的应用范围: 当总体是由 差异明显的几部分 组成时,往往选用分层抽样。

4.系统抽样
(1)定义: 系统抽样是将总体中的个体进行编号,等距分组,在第一组中按照 简单随机 抽样抽取第一个样本,然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取 _____________ 其他样本,这种抽样方法有时也叫 (2)系统抽样的步骤: 等距抽样 或机械抽样。

要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,可采取以下步骤:
①先将总体的N个个体编号。

N N N ②确定抽样距 k,对编号进行分段,当 是整数时,取 k= ;当 不是 n n n 整数时,通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数 N′能被 n 整除, N′ 这时,k= 。 n

简单随机抽样 ③在第1段用__________________ 确定第一个个体编号l(l≤k)。 ④按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号 l+k ,再加k得到第3个个体编号_______ _______ l+2k ,依次进行下去,直到获取整 个样本。

基 础 自 测
[判一判] (1)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有 关,第一次被抽到的可能性最大。( × ) 解析 错误。在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性都相 等,与第几次抽取无关。

(2)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体。( √
解析 正确。根据系统抽样的概念可知正确。

)

(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样。( √ ) 解析 正确。符合系统抽样的特点。

(4)分层抽样中每个个体被抽中的可能性与其所在的层有关。( × ) 解析 在层无关。 (5)若为了适合分段或分层而剔除几个个体后再抽样,则对剔除的个体 来说是不公平的。( × ) 解析 错误。剔除和入样对每个个体都是等可能的,故每个个体被剔 除的几率都相等。 错误。分层抽样中每个个体入样的可能性都等于抽样比,与所

[练一练]

1.在抽样过程中,每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样,在
分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中,不放回抽样的有( A .0 个 B.1个 )

C.2个
答案 D

D.3个

解析 三种抽样都是不放回抽样。

2.在“世界读书日”前夕,为了了解某地5 000名居民某天的阅读时 间,从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中, 5

000名居民的阅读时间的全体是(
A.总体 C.样本的容量 解析

)
B.个体 D.从总体中抽取的一个样本

由题意知,5 000名居民的阅读时间是总体,200名居民的阅

读时间为一个样本;每个居民的阅读时间为个体; 200为样本容量;故

选 A。
答案 A

3.下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有(

)

①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本;
②箱子里有100支铅笔,今从中选取10支进行检验。在抽样操作时,从 中任意拿出一支检测后再放回箱子里; ③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本。 A .0 个 C.2个 解析 B.1个 D.3个 ①不满足样本的总体数较少的特点;②不满足不放回抽取的

特点;③不满足逐个抽取的特点。

答案 A

4 . 老 师 在 班 级 50 名 学 生 中 , 依 次 抽 取 学 号 为 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查,这种抽样方法是( A.随机抽样 B.分层抽样 )

C.系统抽样
解析 系统抽样。 答案 C

D.以上都不是

因为所抽取学生的学号成等差数列,即为等距离抽样,属于

5. (2015·福建卷 )某校高一年级有 900名学生,其中女生400名。按男 女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为 45的样本,则 25 应抽取的男生人数为________ 。

解析

设男生抽x人,女生有400人,男生有500人,则x=500×=25,

故抽取男生的人数为25。

R

热点命题

深度剖析

考点一

简单随机抽样

【例 1】 (1)利用简单随机抽样,从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的 1 样本。若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为 ,则在整个抽样 3 过程中,每个个体被抽到的概率为( 1 A. 3 5 B. 14 1 C. 4 ) 10 D. 27

9 1 【解析】 由题意知 = , n-1 3 10 5 ∴n=28。∴ P= = 。 28 14 【答案】 B

(2) 总体由编号为 01,02 ,?, 19,20 的 20 个个体组成,利用下面的随机

数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始
由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 【解析】 B.07 C.02 D.01 )

由随机数法的随机抽样的过程可知选出的 5 个个体是

08,02,14,07,01,所以第5个个体的编号是01。 【答案】 D

【规律方法】 抽签法与随机数表法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数表法适用于总体中 个体数较多的情况。 (2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点: 一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀。一般地,当总体容量和样 本容量都较小时可用抽签法。

变式训练1 第二十八届大学生运动会将于2015年在韩国光州举行,中
国留学生为了支持大运会,从报名的60名留学生中选10人组成志愿小组, 请用抽签法和随机数法设计抽样方案。

解 抽签法。
第一步:将60名志愿者编号,编号为1,2,3,?,60; 第二步:将 60 个号码分别写在 60 张外形完全相同的纸条上,并揉成 团,制成号签; 第三步:将60个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀; 第四步:从盒子中逐个抽取10个号签,并记录上面的编号; 第五步:所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员。

随机数表法。 第一步:将60名学生编号,编号为01,02,03,?,60;

第二步:在随机数表中任选一数开始,按某一确定方向读数;
第三步:凡不在01~60中的数或已读过的数,都跳过去不作记录,依 次记录下所得数;记够10个数为止;

第四步:找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组。

考点二 系统抽样
【例2】 A.50 C.25 (1)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法, ) B.40 D.20 从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为(

1 000 【解析】 由题意知分段间隔为 =25,故选 C。 40 【答案】 C

(2)(2015·湖南卷)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩 (单位:分

钟)的茎叶图如图所示。

若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取 4 7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________ 。 【解析】 依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组, 每组5人。然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间[139,151]上的运动员恰 好是第2,3,4,5组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4。

【规律方法】 【规律方法】 系统抽样的特点 系统抽样的特点 (1) (1)适用于元素个数很多且均衡的总体。 适用于元素个数很多且均衡的总体。 (2) (2)各个个体被抽到的机会均等。 各个个体被抽到的机会均等。 (3) (3)总体分组后,在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样。 总体分组后,在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样。 N N;如果总 (4) 如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除,则抽样间隔为 k = (4)如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除,则抽样间隔为 k= n ;如果总 n 体容量 体容量 N N 不能被样本容量 不能被样本容量 n n 整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按 整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按 系统抽样的方法抽样。 系统抽样的方法抽样。

变式训练 2 (1)从 2 007 名学生中选取 50 名学生参加全国数学联赛, 若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样从 2 007 人中剔除 7 人, 剩下的 2 000 人再按系统抽样的方法抽取,则每人入选的概率( A.不全相等 50 C.都相等,且为 2 007 B.均不相等 1 D.都相等,且为 40 )

解析 从 N 个个体中抽取 M 个个体则每个个体被抽到的概率都等于 M 50 ,即 P= 。 N 2 007 答案 C

(2)(2015·豫晋冀高三二调)某校三个年级共有24个班,学校为了了解同
学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到24,现用系统抽样方法,抽取 4个班进行调查,若抽到编号之和为48,则抽到的最小编号为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

24 解析 系统抽样的间隔为 =6,设抽到的最小编号为 x,则 x+(6+x) 4 + (12+ x)+(18+x)=48,解得 x=3,所以选 B。 答案 B

考点三

分层抽样

分层抽样是三种抽样方法中最重要的一种抽样方式,也是高考命题的 热点,多以选择题或填空题的形式出现,试题难度不大,多为容易题或中 档题,且主要有以下几个命题角度:

角度一:求总体或样本容量
1 .某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80件,60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样

方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3
件,则n=( A .9 ) B.10

C.12

D.13

3 1 1 n 解析 由题意可知抽样比为 = ,所以 = ,解得 n=13,故 60 20 20 260 选D 答案 D

2.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示。为了解
该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调 查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )

A.200,20 C.200,10

B.100,20 D.100,10

解析

由题图1知该地区中小学生的总人数为2 000+4 500+3 500

=10 000,因此样本容量为10 000×2%=200。又高中生人数为2 000, 所以应抽取的高中生人数为2 000×2%=40。由题图2知高中生的近视率

为50%,所以抽取的高中生近视人数为40×50%=20。故选A。
答案 A

角度二:求某层入样的个体数 3.某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调 查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老 年教师人数为( ) 类别 老年教师 中年教师 青年教师 人数 900 1 800 1 600

合计 A.90
C.180

4 300 B.100
D.300

解析 16 。 9

1 600 解法一:由题意,总体中青年教师与老年教师的比例为 = 900

设样本中老年教师的人数为 x, 由分层抽样的性质可得总体与样本中青 年教师与老年教师的比例相等, 320 16 即 = ,解得 x=180。故选 C。 x 9 320 1 解法二:由已知分层抽样中青年教师的抽样比为 = ,由分层抽样 1 600 5 1 的性质可得老年教师的抽样比也等于 ,所以样本中老年教师的人数为 5 1 900× =180。故选 C。 5 答案 C

4.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用 分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进 行调查。已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________ 名学生。 60 4 解析 依题意知, 应从一年级本科生中抽取 ×300=60(名)。 4+5+5+6

【规律方法】 分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算。 (2)已知某层个体数量,求总体容量或反之;根据分层抽样就是按比例

抽样,列比例式进行计算。
(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情 况。

S

思想方法

感悟提升

⊙1组比较——三种抽样方法的比较

类别
简单随 机抽样 系统抽 样

共同点

各自特点
从总体中逐个抽取

相互联系

适用范围
总体中的个 体数较少 总体中的个 体数较多 总体由差异 明显的几部 分组成

抽样过 程中每 将总体均分成几部分,在起始部分抽样

个个体 按事先确定的规则在 时采用简单随机
被抽取 各部分抽取 的机会 将总体分成几层进行 抽样 各层抽样时采用 简单随机抽样或 系统抽样

分层抽

相等



抽取


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